Fourier series yog qhov sawv cev ntawm kev ua haujlwm tsis txaus ntseeg nrog lub sijhawm tshwj xeeb raws li koob. Hauv cov ntsiab lus dav dav, qhov kev daws teeb meem no yog hu ua decomposition ntawm ib lub hauv paus hauv orthogonal. Kev nthuav dav ntawm kev ua haujlwm hauv Fourier series yog lub cuab yeej muaj zog rau kev daws teeb meem ntau yam vim yog cov khoom ntawm qhov kev hloov pauv no thaum sib koom ua ke, sib txawv, nrog rau kev hloov cov lus qhia hauv kev sib cav thiab kev sib cav.
Ib tug neeg uas tsis paub txog kev lej siab dua, nrog rau cov haujlwm ntawm Fabkis tus kws tshawb fawb Fourier, feem ntau yuav tsis nkag siab tias " kab" no yog dab tsi thiab lawv yog dab tsi. Lub caij no, qhov kev hloov pauv no tau dhau los ua tuab heev hauv peb lub neej. Nws yog siv tsis tau tsuas yog los ntawm lej, tab sis kuj los ntawm physicists, chemists, kws kho mob, astronomers, seismologists, oceanographers thiab ntau lwm tus neeg. Cia wb mus saib cov hauj lwm ntawm tus kws tshawb fawb Fab Kis zoo, uas tau tshawb pom ua ntej nws lub sijhawm.
Tus txiv neej thiab Fourier Hloov pauv
Fourier series yog ib txoj hauv kev (nrog rau kev tsom xam thiab lwm tus) ntawm Fourier hloov pauv. Cov txheej txheem no tshwm sim txhua zaus ib tug neeg hnov ib lub suab. Peb lub pob ntseg yeej hloov lub suabnthwv dej. Lub oscillatory motions ntawm elementary hais nyob rau hauv ib tug elastic nruab nrab yog decomposed rau hauv kab (raws li lub spectrum) ntawm successive qhov tseem ceeb ntawm lub ntim theem rau tones ntawm txawv heights. Tom ntej no, lub hlwb hloov cov ntaub ntawv no mus rau hauv lub suab paub peb. Tag nrho qhov no tshwm sim ntxiv rau peb lub siab xav lossis kev nco qab, ntawm nws tus kheej, tab sis txhawm rau nkag siab cov txheej txheem no, nws yuav siv sijhawm ntau xyoo los kawm lej siab dua.
Ntau txog Fourier Transform
Fourier hloov tuaj yeem ua tiav los ntawm kev txheeb xyuas, lej thiab lwm yam. Fourier series hais txog tus lej ntawm kev decomposing cov txheej txheem oscillatory - los ntawm dej hiav txwv tides thiab lub teeb nthwv dej mus rau lub voj voog ntawm hnub ci (thiab lwm yam khoom siv hnub qub). Siv cov txheej txheem lej no, nws tuaj yeem txheeb xyuas cov haujlwm, sawv cev rau cov txheej txheem oscillatory raws li cov khoom siv sinusoidal uas mus los ntawm qhov tsawg kawg nkaus mus rau qhov siab tshaj plaws thiab rov ua dua. Lub Fourier hloov pauv yog ib txoj haujlwm uas piav qhia txog theem thiab qhov loj ntawm sinusoids sib xws rau ib qho kev sib txawv. Cov txheej txheem no tuaj yeem siv los daws cov kev sib npaug sib luag uas piav txog cov txheej txheem dynamic uas tshwm sim nyob rau hauv lub zog ntawm thermal, lub teeb lossis hluav taws xob. Tsis tas li ntawd, Fourier series ua rau nws muaj peev xwm cais cov khoom tsis tu ncua hauv cov teeb meem oscillatory nyuaj, uas ua rau nws muaj peev xwm txhais tau qhov kev sim tau pom hauv tshuaj, chemistry thiab astronomy.
keeb kwm keeb kwm
Tshaj leej txiv ntawm qhov kev xav noJean Baptiste Joseph Fourier yog tus kws lej Fabkis. Qhov kev hloov pauv no tau muaj npe tom qab nws. Thaum xub thawj, tus kws tshawb fawb tau siv nws txoj hauv kev los kawm thiab piav qhia txog cov txheej txheem ntawm kev ua cua sov - kev sib kis ntawm cov cua sov hauv cov khib nyiab. Fourier tau hais tias qhov kev faib tawm tsis tu ncua ntawm cov cua sov tuaj yeem ua kom tawg mus rau hauv cov sinusoids yooj yim tshaj plaws, txhua qhov yuav muaj nws tus kheej qhov kub thiab txias siab tshaj plaws, nrog rau nws tus kheej theem. Nyob rau hauv cov ntaub ntawv no, txhua yam xws li yuav raug ntsuas los ntawm yam tsawg kawg nkaus mus rau siab tshaj plaws thiab vice versa. Qhov kev ua lej uas piav qhia txog qhov siab thiab qis ntawm qhov nkhaus, nrog rau theem ntawm txhua qhov kev sib haum xeeb, hu ua Fourier hloov pauv ntawm qhov kub thiab txias kev faib tawm. Tus kws sau txoj kev xav txo cov kev faib tawm dav dav, uas nyuaj los piav txog kev ua lej, mus rau ib qho yooj yim-rau-kawg series ntawm periodic cosine thiab sine functions uas ntxiv mus rau qhov qub faib.
Lub hauv paus ntsiab lus ntawm kev hloov pauv thiab kev xav ntawm cov neeg niaj hnub
Tus kws tshawb fawb cov neeg kawm - cov thawj coj ua lej ntawm lub xyoo pua puas xyoo - tsis lees txais qhov kev xav no. Qhov kev tsis pom zoo tseem ceeb yog Fourier qhov kev lees paub tias qhov kev ua haujlwm tsis tu ncua piav qhia txog txoj kab ncaj nraim lossis qhov nkhaus tsis tu ncua tuaj yeem sawv cev raws li cov lej ntawm cov kab lus sinusoidal uas txuas mus ntxiv. Ua piv txwv, xav txog Heaviside's "kauj ruam": nws tus nqi yog xoom rau sab laug ntawm qhov sib txawv thiab ib qho mus rau sab xis. Qhov kev ua haujlwm no piav qhia txog qhov kev cia siab ntawm cov hluav taws xob tam sim no ntawm lub sijhawm hloov pauv thaum lub voj voog kaw. Contemporaries ntawm txoj kev xav nyob rau lub sijhawm ntawd yeej tsis tau ntsib li ntawdIb qho xwm txheej uas qhov kev qhia tsis tu ncua yuav piav qhia los ntawm kev sib xyaw ua ke ntawm kev ua haujlwm tas mus li, zoo tib yam, xws li exponential, sinusoid, linear lossis quadratic.
Dab tsi tsis meej pem Fabkis cov lej hauv Fourier txoj kev xav?
Tom qab tag nrho, yog tias tus lej lej raug cai hauv nws cov lus, tom qab ntawd suav nrog qhov tsis kawg trigonometric Fourier series, koj tuaj yeem tau txais tus sawv cev tseeb ntawm cov kauj ruam qhia txawm tias nws muaj ntau cov kauj ruam zoo sib xws. Thaum pib ntawm lub xyoo pua kaum cuaj, xws li cov lus zoo li absurd. Tab sis txawm tias tag nrho cov kev tsis ntseeg, ntau tus lej tau nthuav dav qhov kev kawm ntawm qhov tshwm sim no, coj nws dhau ntawm qhov kev kawm ntawm thermal conductivity. Txawm li cas los xij, feem ntau cov kws tshawb fawb txuas ntxiv ua rau muaj kev ntxhov siab rau lo lus nug: "Puas yog cov lej ntawm cov kab mob sinusoidal tuaj yeem hloov mus rau qhov tseeb ntawm kev ua haujlwm tsis tu ncua?"
Convergence of Fourier series: piv txwv
Cov lus nug ntawm kev sib koom ua ke tau tsa thaum twg nws tsim nyog los suav cov lej tsis kawg. Yuav kom nkag siab qhov tshwm sim no, xav txog ib qho piv txwv classic. Koj puas tuaj yeem ncav cuag phab ntsa yog tias txhua kauj ruam txuas ntxiv yog ib nrab ntawm qhov loj ntawm yav dhau los? Piv txwv tias koj yog ob meters los ntawm lub hom phiaj, thawj kauj ruam coj koj los ze zog mus rau ib nrab ntawm txoj kev, ib qho ntxiv mus rau peb lub hlis twg, thiab tom qab thib tsib koj yuav npog yuav luag 97 feem pua ntawm txoj kev. Txawm li cas los xij, tsis muaj teeb meem koj ua ntau npaum li cas, koj yuav tsis ua tiav lub hom phiaj ntawm kev ua lej nruj. Siv cov lej suav, ib tus tuaj yeem ua pov thawj tias thaum kawg ib tus tuaj yeem tau ze li qhov nyiam.me me kev ncua deb. Qhov pov thawj no sib npaug los ua pov thawj tias tus nqi ntawm ib nrab, ib feem plaub, thiab lwm yam.
Nqe Lus Nug ntawm Kev Sib Koom Tes: Kev Los Zaum Ob, lossis Tswv Kelvin Cov Khoom Siv
Rov hais dua lo lus nug no tau tsa thaum kawg ntawm lub xyoo pua puas xyoo, thaum Fourier series tau sim siv los kwv yees qhov kev siv ntawm ebb thiab ntws. Nyob rau lub sijhawm no, Tswv Kelvin tau tsim ib lub cuab yeej, uas yog ib qho khoom siv analog uas tso cai rau cov neeg tsav nkoj ntawm cov tub rog thiab cov tub lag luam nkoj los taug qab qhov xwm txheej ntuj no. Cov txheej txheem no tau txiav txim siab cov theem ntawm cov theem thiab cov amplitudes los ntawm lub rooj ntawm qhov siab qhov siab thiab lawv cov sij hawm sib raug zoo, ua tib zoo ntsuas hauv qhov chaw nres nkoj hauv lub xyoo. Txhua qhov parameter yog ib qho sinusoidal tivthaiv ntawm qhov siab qhov siab qhia thiab yog ib qho ntawm cov khoom tsis tu ncua. Cov txiaj ntsig ntawm kev ntsuas tau nkag mus rau hauv Tswv Kelvin lub tshuab xam zauv, uas tau tsim ib qho nkhaus uas kwv yees qhov siab ntawm cov dej raws li lub sijhawm ua haujlwm rau xyoo tom ntej. Tsis ntev no cov nkhaus zoo sib xws tau kos rau txhua qhov chaw nres nkoj hauv ntiaj teb.
Thiab yog cov txheej txheem tawg los ntawm kev ua haujlwm tsis tu ncua?
Thaum lub sijhawm ntawd, nws zoo li pom tseeb tias tus kws ntsuas tidal nthwv dej nrog ntau tus lej suav tuaj yeem suav ntau theem thiab amplitudes thiab yog li muab kev kwv yees tseeb dua. Txawm li cas los xij, nws tau muab tawm tias qhov kev tsis tu ncua no tsis tau pom nyob rau hauv cov xwm txheej uas cov lus qhia tidal, uas ua rawssynthesize, muaj ib tug ntse dhia, uas yog, nws yog discontinuous. Thaum cov ntaub ntawv nkag mus rau hauv lub cuab yeej los ntawm lub rooj ntawm lub sij hawm lub sij hawm, ces nws xam ob peb Fourier coefficients. Lub luag haujlwm tseem ceeb yog rov qab ua tsaug rau cov khoom siv sinusoidal (raws li qhov pom coefficients). Qhov sib txawv ntawm qhov qub thiab rov qab qhia tau tuaj yeem ntsuas tau ntawm txhua qhov chaw. Thaum ua tiav kev suav rov qab thiab kev sib piv, nws tuaj yeem pom tias tus nqi ntawm qhov yuam kev loj tshaj plaws tsis txo qis. Txawm li cas los xij, lawv nyob hauv cheeb tsam sib haum rau qhov tsis sib xws, thiab zoo li xoom ntawm lwm qhov chaw. Xyoo 1899, qhov txiaj ntsig no tau lees paub los ntawm Joshua Willard Gibbs ntawm Yale University.
Kev sib koom ua ke ntawm Fourier series thiab kev loj hlob ntawm kev ua lej feem ntau
Fourier tsom xam tsis siv tau rau cov kab lus uas muaj tus lej tsis kawg ntawm kev tawg hauv qee lub sijhawm. Nyob rau hauv dav dav, Fourier series, yog hais tias tus thawj muaj nuj nqi yog tshwm sim ntawm ib tug tiag tiag lub cev ntsuas, ib txwm converge. Cov lus nug ntawm kev sib koom ua ke ntawm cov txheej txheem no rau cov chav kawm tshwj xeeb ntawm kev ua haujlwm tau ua rau muaj qhov tshwm sim ntawm ntu tshiab hauv lej, piv txwv li, txoj kev xav ntawm kev ua haujlwm dav dav. Nws yog txuam nrog cov npe xws li L. Schwartz, J. Mikusinsky thiab J. Tuam Tsev. Nyob rau hauv lub moj khaum ntawm txoj kev xav no, lub hauv paus ntsiab lus tseeb thiab meej tau tsim rau cov kev qhia xws li Dirac delta muaj nuj nqi (nws piav qhia txog ib cheeb tsam ntawm ib cheeb tsam uas muaj siab nyob rau hauv ib cheeb tsam me me infinitely ntawm ib qho taw tes) thiab Heaviside " kauj". Ua tsaug rau txoj haujlwm no, Fourier series tau siv raudaws qhov sib npaug thiab cov teeb meem uas cuam tshuam nrog cov ntsiab lus nkag siab: tus nqi taw tes, taw tes loj, sib nqus dipoles, nrog rau cov khoom hnyav ntawm lub nqaj.
Fourier method
Fourier series, raws li cov hauv paus ntsiab lus ntawm kev cuam tshuam, pib nrog kev decomposition ntawm cov ntaub ntawv nyuaj rau hauv cov qauv yooj yim. Piv txwv li, kev hloov pauv hauv cov cua sov tau piav qhia los ntawm nws txoj kev dhau los ntawm ntau yam teeb meem ua los ntawm cov khoom siv hluav taws xob tsis sib xws lossis kev hloov pauv ntawm lub ntiaj teb - av qeeg, kev hloov pauv ntawm lub orbit ntawm lub cev ntuj ceeb tsheej - kev cuam tshuam ntawm ntiaj chaw. Raws li txoj cai, cov kev sib npaug zoo sib xws piav txog cov txheej txheem classical yooj yim yog daws teeb meem rau txhua tus yoj. Fourier tau qhia tias cov kev daws teeb meem yooj yim kuj tuaj yeem suav nrog los muab cov kev daws teeb meem rau cov teeb meem nyuaj dua. Nyob rau hauv cov lus ntawm kev ua lej, Fourier series yog cov txheej txheem los sawv cev rau ib qho kev qhia raws li qhov sib npaug ntawm kev sib haum xeeb - cosine thiab sinusoids. Yog li ntawd, qhov kev tshuaj ntsuam no tseem hu ua "kev tsom xam kev sib haum xeeb".
Fourier series - cov txheej txheem zoo tshaj plaws ua ntej "lub hnub nyoog computer"
Ua ntej tsim cov tshuab computer, cov txheej txheem Fourier yog qhov riam phom zoo tshaj plaws hauv cov kws tshawb fawb arsenal thaum ua haujlwm nrog cov nthwv dej ntawm peb lub ntiaj teb. Lub Fourier series nyob rau hauv ib tug complex daim ntawv tso cai rau kev daws tsis tau tsuas yog tej yam yooj yim teeb meem uas yuav siv tau ncaj qha mus rau cov kev cai ntawm Newton's mechanics, tab sis kuj tseem ceeb sib npaug. Feem ntau ntawm kev tshawb pom ntawm Newtonian science nyob rau hauv lub xyoo pua puv 19 tsuas yog ua tau los ntawm Fourier cov txheej txheem.
Fourier series hnub no
Nrog rau kev txhim kho ntawm Fourier hloov computersnce mus rau theem tshiab tag nrho. Cov txheej txheem no tau ruaj khov nyob rau hauv yuav luag txhua qhov chaw ntawm kev tshawb fawb thiab thev naus laus zis. Ib qho piv txwv yog lub suab digital thiab video teeb liab. Nws qhov kev paub dhau los ua tau tsuas yog ua tsaug rau txoj kev xav tau tsim los ntawm Fabkis tus lej lej thaum pib ntawm lub xyoo pua puas xyoo. Yog li, Fourier series nyob rau hauv ib daim ntawv complex ua rau nws muaj peev xwm mus ua ib tug breakthrough nyob rau hauv txoj kev tshawb no ntawm sab nrauv. Tsis tas li ntawd, nws cuam tshuam rau kev kawm txog physics ntawm cov khoom siv semiconductor thiab ntshav, microwave acoustics, oceanography, radar, seismology.
Trigonometric Fourier series
Nyob rau hauv lej, Fourier series yog ib txoj hauv kev los sawv cev rau cov haujlwm tsis txaus ntseeg raws li cov txiaj ntsig ntawm qhov yooj yim dua. Feem ntau, tus naj npawb ntawm cov kab lus no tuaj yeem ua tsis kawg. Ntxiv mus, qhov ntau lawv tus lej raug coj mus rau hauv tus account hauv kev suav, qhov tseeb ntau qhov txiaj ntsig kawg yog. Feem ntau, cov haujlwm trigonometric ntawm cosine lossis sine yog siv los ua qhov yooj yim tshaj plaws. Hauv qhov no, Fourier series hu ua trigonometric, thiab kev daws teeb meem ntawm cov kab lus no yog hu ua kev nthuav dav ntawm kev sib haum xeeb. Txoj kev no ua lub luag haujlwm tseem ceeb hauv kev ua lej. Ua ntej ntawm tag nrho cov, lub trigonometric series muab ib tug txhais tau tias ntawm cov duab, raws li zoo raws li txoj kev tshawb no ntawm functions, nws yog lub ntsiab apparatus ntawm txoj kev xav. Tsis tas li ntawd, nws tso cai rau kev daws teeb meem ntawm lej physics. Thaum kawg, qhov kev tshawb xav no tau pab txhawb kev txhim kho kev txheeb xyuas lej, ua rau muaj ntau ntu tseem ceeb ntawm kev tshawb fawb lej (kev tshawb xav ntawm kev sib xyaw, kev xav ntawm lub sijhawm ua haujlwm). Tsis tas li ntawd, nws tau txais txiaj ntsig los ua qhov pib rau kev txhim kho cov kev xav hauv qab no: teeb tsa, haujlwmkev sib txawv tiag tiag, kev tsom xam ua haujlwm, thiab tseem tau tsim lub hauv paus rau kev txheeb xyuas kev sib haum xeeb.
