Nyob ntiaj teb no, peb siv ntau yam tsheb thiab khoom siv. Thiab tsis yog tsuas yog thaum nws yog ib qho tsim nyog yuav tsum siv lub zog tsis muaj zog: txav lub nra, nqa mus rau qhov siab, khawb qhov ntev thiab sib sib zog nqus trench, thiab lwm yam. Lub tsheb niaj hnub no tau sib sau ua ke los ntawm cov neeg hlau, cov khoom noj yog npaj los ntawm multicookers, thiab cov kev suav lej ntawm theem pib. ua los ntawm lub laij lej. Ntau thiab ntau zaus peb hnov cov lus "Boolean algebra". Tej zaum nws yog lub sijhawm los nkag siab txog lub luag haujlwm ntawm tus txiv neej hauv kev tsim cov neeg hlau thiab lub peev xwm ntawm cov tshuab los daws qhov tsis yog lej xwb, tab sis kuj tseem muaj teeb meem kev xav.
Logic
Txhais los ntawm Greek, logic yog qhov kev txiav txim siab ntawm kev xav uas tsim kev sib raug zoo ntawm cov xwm txheej muab thiab tso cai rau koj kos cov lus xaus raws li thaj chaw thiab kev xav. Feem ntau peb nug ib leeg: "Nws puas yog qhov tseeb?" Cov lus teb tau txais lees paub peb qhov kev xav lossis thuam lub tsheb ciav hlau ntawm kev xav. Tab sis cov txheej txheem tsis nres: peb txuas ntxiv vim li cas.
Qee lub sij hawm tus naj npawb ntawm cov xwm txheej (piv txwv li) yog qhov zoo heev, thiab kev sib raug zoo ntawm lawv yog qhov nyuaj thiab nyuaj uas tib neeg lub hlwb tsis tuaj yeem " zom" txhua yam ib zaug. Nws yuav siv sijhawm ntau tshaj ib hlis (lub lim tiam, xyoo) kom nkag siab tias muaj dab tsi tshwm sim. Tab sisLub neej niaj hnub no tsis muab sijhawm rau peb txiav txim siab. Thiab peb mus rau kev pab ntawm computers. Thiab qhov no yog qhov uas cov algebra ntawm logic tshwm, nrog nws tus kheej txoj cai thiab cov khoom. Los ntawm rub tawm tag nrho cov ntaub ntawv thawj zaug, peb tso cai rau lub khoos phis tawj kom paub txog txhua qhov kev sib raug zoo, tshem tawm qhov tsis sib xws thiab nrhiav kev daws teeb meem txaus.
Math and Logic
Tus nto moo Gottfried Wilhelm Leibniz tsim lub tswv yim ntawm "kev ua lej lej", cov teeb meem uas nkag siab tsuas yog rau lub voj voog nqaim ntawm cov kws tshawb fawb. Qhov kev taw qhia no tsis ua rau muaj kev txaus siab tshwj xeeb, thiab txog thaum nruab nrab ntawm lub xyoo pua 19th, ob peb tus neeg paub txog lej logic.
Kev txaus siab zoo hauv zej zog kev tshawb fawb tau ua rau muaj kev tsis sib haum xeeb uas tus neeg Askiv Askiv George Boole tshaj tawm nws lub hom phiaj los tsim ib ceg ntawm kev ua lej uas tsis muaj kev siv tiag tiag. Raws li peb nco ntsoov los ntawm keeb kwm, kev lag luam kev lag luam tau nquag txhim kho nyob rau lub sijhawm ntawd, txhua yam ntawm cov cuab yeej pabcuam thiab cov cuab yeej siv tshuab tau tsim, uas yog, txhua qhov kev tshawb fawb tshawb fawb tau ua kom pom tseeb.
Saib tom ntej, cia peb hais tias Boolean algebra yog qhov siv feem ntau ntawm kev ua lej hauv lub ntiaj teb niaj hnub no. Yog li Bull poob nws qhov kev sib cav.
George Buhl
Tus neeg sau ntawv yuav tsum tau saib xyuas tshwj xeeb. Txawm hais tias yav dhau los cov neeg loj hlob tuaj ua ntej peb, nws tseem tsis tuaj yeem tsis nco qab tias thaum muaj hnub nyoog 16 xyoo, J. Buhl tau qhia hauv ib lub tsev kawm ntawv hauv zos, thiab thaum muaj hnub nyoog 20 xyoo nws qhib nws lub tsev kawm ntawv hauv Lincoln. Tus lej lej tau paub tsib yam lus txawv teb chaws, thiab thaum nws lub sijhawm nws nyeem ntawv ua haujlwmNewton thiab Lagrange. Thiab tag nrho cov no yog hais txog tus tub ntawm tus neeg ua haujlwm yooj yim!
Xyoo 1839 Boole thawj zaug xa nws cov ntaub ntawv tshawb fawb mus rau Cambridge Mathematical Journal. Tus kws tshawb fawb muaj hnub nyoog 24 xyoos. Boole txoj haujlwm txaus siab rau cov tswv cuab ntawm Royal Society uas xyoo 1844 nws tau txais ib qho khoom plig rau nws txoj kev koom tes rau kev txhim kho kev txheeb xyuas lej. Ob peb daim ntawv tshaj tawm ntxiv, uas tau piav qhia txog cov ntsiab lus ntawm kev ua lej lej, tau tso cai rau tus tub ntxhais kawm lej ua tus xibfwb ntawm Cork County College. Nco qab tias Buhl nws tus kheej tsis muaj kev kawm.
Idea
Hauv paus ntsiab lus, Boolean algebra yog qhov yooj yim heev. Muaj cov nqe lus (cov lus qhia tseeb) uas, los ntawm qhov kev xav ntawm kev ua lej, tuaj yeem txhais tau los ntawm ob lo lus: "tseeb" lossis "false". Piv txwv li, nyob rau hauv lub caij nplooj ntoos hlav cov ntoo Bloom - muaj tseeb, nyob rau hauv lub caij ntuj sov nws snows - ib tug dag. Qhov kev zoo nkauj ntawm kev ua lej no yog tias tsis muaj qhov yuav tsum tau siv cov lej xwb. Txhua nqe lus uas muaj lub ntsiab lus tsis meej yog tsim nyog rau kev txiav txim siab algebra.
Yog li, cov lej ntawm cov lej ntawm cov lej tuaj yeem siv tau txhua qhov chaw: hauv kev teem sijhawm thiab sau cov lus qhia, tshuaj xyuas cov ntaub ntawv tsis sib haum xeeb txog cov xwm txheej, thiab txiav txim siab ua ntu zus. Qhov tseem ceeb tshaj plaws yog kom nkag siab tias nws tsis tseem ceeb kiag li peb txiav txim siab qhov tseeb lossis qhov tseeb ntawm nqe lus. Cov "yuav ua li cas" thiab "vim li cas" yuav tsum tau abstracted tam sim ntawd. Tsuas yog nqe lus ntawm qhov tseeb tseem ceeb: tseeb-false.
Tau kawg, rau kev ua haujlwm, cov haujlwm ntawm cov lej ntawm cov lej ntawm cov lej yog qhov tseem ceeb, uas tau sau los ntawm qhov sib thooj.cov cim thiab cov cim. Thiab kawm lawv txhais tau tias kom paub ib hom lus txawv teb chaws tshiab. Tsis muaj dab tsi ua tsis tau.
Cov ntsiab lus tseem ceeb thiab cov ntsiab lus
Yog tsis nkag mus rau qhov tob, cia peb nrog cov lus hais. Yog li Boolean algebra xav tias:
- nqe lus;
- kev ua haujlwm zoo;
- functions and laws.
Cov lus hais yog ib qho kev lees paub uas tsis tuaj yeem txhais tsis meej. Lawv tau sau ua tus lej (5 > 3) los yog tsim los ntawm cov lus paub (ntxhais yog cov tsiaj loj tshaj plaws). Nyob rau tib lub sijhawm, cov lus "tus giraffe tsis muaj caj dab" kuj muaj txoj cai muaj nyob, tsuas yog Boolean algebra yuav txhais tau tias "tsis tseeb."
Txhua nqe lus yuav tsum tsis meej, tab sis lawv tuaj yeem yog theem pib thiab sib xyaw. Tom qab siv cov logical txuas. Ntawd yog, hauv algebra ntawm kev txiav txim siab, cov lus sib xyaw ua ke yog tsim los ntawm kev ntxiv cov ntsiab lus tseem ceeb los ntawm kev ua haujlwm ntawm kev xav.
Boolean algebra operations
Peb twb nco ntsoov tias kev ua haujlwm hauv algebra ntawm kev txiav txim yog qhov laj thawj. Ib yam li tus lej algebra siv lej lej ntxiv, rho tawm, lossis sib piv cov lej, cov ntsiab lus ntawm lej lej tso cai rau koj los ua cov nqe lus nyuaj, tsis pom zoo, lossis suav cov txiaj ntsig kawg.
Logical kev ua haujlwm rau formalization thiab simplicity yog sau los ntawm cov qauv paub peb hauv lej. Cov khoom ntawm Boolean algebra ua rau nws muaj peev xwm sau qhov sib npaug thiab suav tsis paub. Kev ua haujlwm logical feem ntau yog sau siv lub rooj tseeb. Nws kabtxhais cov ntsiab lus ntawm kev suav thiab kev ua haujlwm uas ua rau lawv, thiab cov kab qhia qhov tshwm sim ntawm kev suav.
Basic logical actions
Cov haujlwm uas nquag tshaj plaws hauv Boolean algebra yog kev tsis pom zoo (TSIS) thiab cov laj thawj THIAB thiab LOSSIS. Yuav luag txhua qhov kev ua hauv algebra ntawm kev txiav txim siab tuaj yeem piav qhia hauv txoj kev no. Cia peb kawm txhua yam ntawm peb txoj haujlwm kom ntxaws ntxiv.
Negation (tsis yog) siv tau rau ib lub caij (operand). Yog li ntawd, kev ua haujlwm tsis zoo yog hu ua unary. Sau lub tswvyim ntawm "tsis yog A" siv cov cim hauv qab no: ¬A, A¯¯¯ lossis !A. Hauv daim ntawv tabular nws zoo li qhov no:
Qhov kev tsis pom zoo yog qhov ua tau raws li cov lus hauv qab no: yog A yog qhov tseeb, ces B yog cuav. Piv txwv li, lub hli revolves nyob ib ncig ntawm lub ntiaj teb - muaj tseeb; Lub ntiaj teb tig ncig lub hli - cuav.
Logical sib npaug thiab ntxiv
Qhov laj thawj THIAB hu ua kev sib txuas. Nws txhais li cas? Ua ntej, nws tuaj yeem siv rau ob qhov kev ua haujlwm, piv txwv li Thiab yog kev ua haujlwm binary. Qhov thib ob, tsuas yog nyob rau hauv rooj plaub ntawm qhov tseeb ntawm ob qho tib si operands (ob leeg A thiab B) yog qhov qhia nws tus kheej muaj tseeb. Paj Lug "Kev ua siab ntev thiab kev ua haujlwm yuav zom txhua yam" qhia tias tsuas yog ob qho tib si yuav pab tau tus neeg kom daws tau qhov teeb meem.
Symbols siv rau kev sau ntawv: A∧B, A⋅B lossis A&&B.
Kev sib txuas zoo ib yam li kev sib npaug hauv lej. Qee lub sij hawm lawv hais tias - kev sib npaug. Yog tias peb muab cov ntsiab lus ntawm kab lus los ntawm kab, peb tau txais txiaj ntsig zoo ib yam li qhov laj thawj.
Kev tsis sib haum yog ib qho laj thawj lossis ua haujlwm. Nws yuav siv tus nqi ntawm qhov tseebthaum tsawg kawg ib nqe lus muaj tseeb (xws li A lossis B). Nws sau li no: A∨B, A+B lossis A||B. Cov lus tseeb rau cov haujlwm no yog:
Disjunction yog zoo li lej lej. Kev ua haujlwm ntxiv qhov kev xav tau tsuas muaj ib qho kev txwv: 1 + 1=1. Tab sis peb nco ntsoov tias nyob rau hauv cov hom ntawv, lej logic yog txwv rau 0 thiab 1 (qhov twg 1 yog qhov tseeb, 0 yog cuav). Piv txwv li, nqe lus "hauv ib lub tsev cia puav pheej koj tuaj yeem pom cov txuj ci lossis ntsib tus neeg nyiam sib tham" txhais tau tias koj tuaj yeem pom cov duab kos duab, lossis koj tuaj yeem ntsib tus neeg nyiam. Tib lub sijhawm, qhov ua tau ntawm ob qho xwm txheej tshwm sim ib txhij tsis raug txiav tawm.
Function and laws
Yog li, peb twb paub tias kev ua haujlwm zoo li cas Boolean algebra siv. Cov haujlwm piav qhia tag nrho cov khoom ntawm cov ntsiab lus ntawm lej logic thiab tso cai rau koj los ua kom yooj yim cov ntsiab lus sib xyaw ntawm cov teeb meem. Cov cuab yeej nkag siab tshaj plaws thiab yooj yim zoo li yog qhov tsis lees paub ntawm kev ua haujlwm tau txais. Derivatives yog tshwj xeeb LOSSIS, cuam tshuam thiab sib npaug. Txij li thaum peb tau kawm tsuas yog cov haujlwm yooj yim xwb, peb tseem yuav xav txog cov khoom ntawm lawv nkaus xwb.
Associativity txhais tau hais tias hauv nqe lus xws li "thiab A, thiab B, thiab C," qhov kev txiav txim ntawm cov neeg ua haujlwm tsis muaj teeb meem. Tus qauv sau li no:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Raws li koj tau pom, qhov no yog yam ntxwv tsis yog ntawm kev sib txuas nkaus xwb, tab sis kuj yog kev sib cais.
Kev sib txuas lus hais tias qhov tshwm simkev sib txuas lossis kev sib cais tsis nyob ntawm seb lub ntsiab lus twg tau txiav txim siab ua ntej:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Kev faib tawm tso cai nthuav cov kab lus hauv cov lus piav qhia nyuaj. Cov kev cai zoo ib yam li qhib cov kab lus hauv kev sib npaug thiab sib ntxiv hauv algebra:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Cov khoom ntawm ib qho thiab xoom, uas tuaj yeem yog ib qho ntawm cov operands, kuj zoo ib yam li algebraic multiplication los ntawm xoom lossis ib qho thiab ntxiv nrog ib qho:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Idempotency qhia peb tias yog tias, hais txog ob qhov sib npaug ntawm qhov kev ua haujlwm, qhov tshwm sim ntawm kev ua haujlwm zoo ib yam, ces peb tuaj yeem "tawm" cov operands ntxiv uas nyuaj rau kev xav. Ob qho kev sib txuas thiab kev sib cais yog kev ua haujlwm tsis muaj zog.
B∧B=B; B∨B=B.
Absorption kuj tso cai rau peb ua kom yooj yim sib npaug. Absorption hais tias thaum lwm qhov kev ua haujlwm nrog tib lub ntsiab yog siv rau kev qhia nrog ib tus neeg ua haujlwm, qhov tshwm sim yog qhov ua haujlwm los ntawm kev ua haujlwm absorbing.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Kev sib tw ua haujlwm
Kev ua haujlwm ib ntus tsis muaj qhov tseem ceeb me. Qhov tseeb, xws li algebra, muaj qhov tseem ceeb ntawm cov haujlwm uas Boolean algebra siv. Cov qauv tuaj yeem yooj yim tsuas yog yog tias pom qhov tseem ceeb ntawm cov haujlwm. Kev qeb duas los ntawm qhov tseem ceeb tshaj plaws mus rau qhov tsawg tshaj plaws, peb tau txais cov kab hauv qab no:
1. Tsis lees paub.
2. Kev sib txuas.
3. Disjunction, tshwj xeebLOSSIS.
4. Kev cuam tshuam, sib npaug.
Raws li koj tuaj yeem pom, tsuas yog kev tsis lees paub thiab kev sib txuas tsis muaj qhov sib npaug. Thiab qhov tseem ceeb ntawm kev sib cais thiab XOR yog qhov sib npaug, nrog rau qhov tseem ceeb ntawm kev cuam tshuam thiab sib npaug.
Kev cuam tshuam thiab sib npaug ua haujlwm
Raws li peb tau hais lawm, ntxiv rau qhov kev ua haujlwm yooj yim, kev ua lej lej thiab kev xav ntawm algorithms siv derivatives. Qhov feem ntau siv yog cuam tshuam thiab sib npaug.
Implication, lossis qhov laj thawj qhov tshwm sim, yog ib nqe lus uas ib qho kev ua yog ib yam mob, thiab lwm qhov yog qhov tshwm sim ntawm nws qhov kev siv. Hauv lwm lo lus, qhov no yog kab lus nrog prepositions "yog … ces." "Yog tias koj nyiam caij, nyiam nqa sleds." Uas yog, rau skiing, koj yuav tsum tau nruj lub sled nce toj. Yog tias tsis muaj lub siab xav txav mus rau saum roob, ces koj tsis tas yuav nqa lub sled. Nws sau li no: A → B lossis A⇒B.
Qhov sib npaug xav tias qhov tshwm sim tshwm sim tsuas yog thaum ob qho kev ua haujlwm muaj tseeb. Piv txwv li, hmo ntuj hloov mus rau hnub thaum (thiab tsuas yog thaum) lub hnub nce saum qab ntug. Nyob rau hauv cov lus ntawm lej logic, nqe lus no yog sau raws li nram no: A≡B, A⇔B, A==B.
Lwm txoj cai ntawm Boolean algebra
Cov lej ntawm kev txiav txim siab tab tom txhim kho, thiab ntau tus kws tshawb fawb txaus siab tau tsim cov cai tshiab. Cov postulates ntawm Scottish mathematician O. de Morgan yog suav hais tias yog tus nto moo tshaj plaws. Nws pom thiab txhais cov khoom xws li kev tsis sib haum xeeb, kev sib txuas ntxiv thiab ob qhov kev tsis pom zoo.
Kaw negation txhais tau hais tias tsis muaj kev tsis pom zoo ua ntej kab lus:tsis yog (A lossis B)=tsis yog A lossis TSIS B.
Thaum tus neeg ua haujlwm tsis pom zoo, txawm hais tias nws muaj nqis npaum li cas, ib tus hais txog qhov sib ntxiv:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
Thiab thaum kawg, ob qhov kev tsis pom zoo them nyiaj rau nws tus kheej. Cov. tog twg los qhov kev tsis pom zoo ploj ua ntej qhov kev ua haujlwm, lossis tsuas yog ib qho tseem tshuav.
Yuav ua li cas daws cov kev xeem
lej logic implies qhov yooj yim ntawm muab equations. Ib yam li hauv algebra, koj yuav tsum xub ua kom qhov xwm txheej yooj yim li sai tau (tshem tawm cov tswv yim nyuaj thiab ua haujlwm nrog lawv), thiab tom qab ntawd pib nrhiav cov lus teb zoo.
Yuav ua li cas thiaj ua tau yooj yim? Hloov tag nrho cov haujlwm uas tau muab los ua qhov yooj yim. Tom qab ntawd qhib tag nrho cov brackets (los yog vice versa, coj nws tawm ntawm brackets kom luv lub caij no). Cov kauj ruam tom ntej yuav tsum yog siv cov khoom ntawm Boolean algebra hauv kev xyaum (kev nqus, khoom ntawm xoom thiab ib qho, thiab lwm yam).
Thaum kawg, qhov sib npaug yuav tsum muaj tsawg kawg ntawm cov tsis paub ua ke los ntawm kev ua haujlwm yooj yim. Txoj kev yooj yim tshaj plaws los nrhiav kev daws teeb meem yog kom ua tiav ntau qhov tsis zoo nyob ze. Ces cov lus teb yuav tshwm tuaj zoo li yog nws tus kheej.
