Bertrand's paradox yog ib qho teeb meem hauv kev txhais lus classical ntawm txoj kev xav yuav tshwm sim. Yauxej tau qhia nws hauv nws txoj haujlwm Calcul des probabilités (1889) ua piv txwv tias qhov yuav tshwm sim tsis tuaj yeem txhais tau zoo yog tias lub tshuab lossis txoj kev ua rau qhov sib txawv tsis sib xws.
Cov lus qhia txog teeb meem
Bertrand's paradox yog raws li hauv qab no.
Ua ntej, xav txog daim duab peb sab sib npaug uas sau rau hauv lub voj voog. Hauv qhov no, txoj kab uas hla yog xaiv random. Dab tsi yog qhov tshwm sim uas nws ntev dua ntawm sab ntawm daim duab peb sab?
Bertrand tau ua peb qhov kev sib cav, txhua qhov zoo li yog qhov tseeb, tab sis muab cov txiaj ntsig sib txawv.
Random Endpoint Method
Koj yuav tsum xaiv ob qhov chaw ntawm lub voj voog thiab kos ib qho arc txuas rau lawv. Rau kev suav, Bertrand qhov yuav tshwm sim paradox yog suav tias yog. Nws yog ib qho tsim nyog yuav tau xav txog tias daim duab peb sab yog tig kom nws vertex coincides nrog ib qho kawg ntawm chord. Tsim nyog themNco ntsoov tias yog tias lwm qhov nyob rau ntawm ib qho arc ntawm ob qhov chaw, lub voj voog ntev dua ntawm sab ntawm daim duab peb sab. Qhov ntev ntawm lub arc yog ib feem peb ntawm lub voj voog, yog li qhov tshwm sim uas lub chord random ntev yog 1/3.
Kev xaiv txoj kev
Nws yog ib qho tsim nyog los xaiv lub vojvoog ntawm lub voj voog thiab ib qho taw qhia ntawm nws. Tom qab ntawd, koj yuav tsum tsim ib lub chord los ntawm qhov chaw no, perpendicular mus rau txoj kab uas hla. Txhawm rau xam qhov kev xav tsis zoo ntawm Bertrand ntawm qhov yuav tshwm sim txoj kev xav, ib tus yuav tsum xav txog tias daim duab peb sab yog tig kom sab yog perpendicular rau lub vojvoog. Lub chord ntev dua li ntawm txhais ceg yog tias qhov taw tes xaiv ze dua rau qhov nruab nrab ntawm lub voj voog. Thiab qhov no, sab ntawm daim duab peb sab bisects lub vojvoog. Yog li ntawd, qhov tshwm sim uas lub chord ntev dua ntawm sab ntawm daim duab inscribed yog 1/2.
Random chords
Midpoint method. Nws yog ib qho tsim nyog los xaiv qhov chaw ntawm lub voj voog thiab tsim ib qho chord nrog ib qho nruab nrab muab. Lub axis ntev dua li ntawm ntug ntawm daim duab peb sab inscribed, yog tias qhov chaw xaiv nyob hauv ib lub voj voog concentric ntawm lub vojvoog 1/2. Qhov chaw ntawm lub voj voog me me yog ib feem plaub ntawm daim duab loj. Yog li ntawd, qhov tshwm sim ntawm qhov sib txawv chord ntev dua ntawm sab ntawm daim duab peb sab thiab sib npaug 1/4.
Raws li tau hais los saum toj no, cov kev xaiv txawv ntawm qhov hnyav uas lawv muab rau qee cov chords, uas yog diameters. Hauv txoj kev 1, txhua chord tuaj yeem xaiv raws nraim ib txoj hauv kev, txawm tias nws yog txoj kab uas hla.
Hauv txoj kev 2, txhua txoj kab ncaj tuaj yeem xaiv tau ob txoj hauv kev. Thaum lwm tus chord yuav raug xaivtsuas yog ib qho ntawm qhov ua tau.
Nyob hauv txoj kev 3, txhua qhov kev xaiv nruab nrab muaj ib qho kev txwv. Tsuas yog qhov nruab nrab ntawm lub voj voog, uas yog qhov nruab nrab ntawm txhua txoj kab uas hla. Cov teeb meem no tuaj yeem zam tau los ntawm "kev txiav txim" tag nrho cov lus nug kom tshem tawm qhov tsis muaj kev cuam tshuam rau qhov tshwm sim.
Xaiv txoj hauv kev kuj tuaj yeem pom tau raws li hauv qab no. Ib chord uas tsis yog ib txoj kab uas hla yog cim qhia los ntawm nws qhov nruab nrab. Txhua ntawm peb txoj kev xaiv uas tau hais los saum no ua rau muaj qhov sib txawv ntawm qhov nruab nrab. Thiab cov kev xaiv 1 thiab 2 muab ob qhov sib txawv tsis sib xws, thaum txoj kev 3 muab kev faib tawm ib yam.
Qhov kev tsis sib haum xeeb classic ntawm kev daws Bertrand qhov teeb meem nyob ntawm txoj kev uas lub chord raug xaiv "ntawm random". Nws hloov tawm hais tias yog ib txoj kev ntawm random xaiv tau teev nyob rau hauv ua ntej, qhov teeb meem muaj ib tug zoo-txhais daws teeb meem. Qhov no yog vim hais tias txhua tus neeg txoj kev muaj nws tus kheej faib ntawm chords. Peb qhov kev txiav txim siab qhia los ntawm Bertrand sib haum rau ntau hom kev xaiv thiab, yog tias tsis muaj cov ntaub ntawv ntxiv, tsis muaj laj thawj nyiam ib qho ntxiv. Raws li qhov teeb meem tau hais tseg tsis muaj ib qho kev daws teeb meem.
Ib qho piv txwv ntawm yuav ua li cas thiaj ua tau cov lus teb dav dav tshwj xeeb yog qhia tias qhov kawg ntawm chord yog sib npaug ntawm 0 thiab c, qhov twg c yog lub voj voog ntawm lub voj voog. Qhov kev faib tawm no zoo ib yam li hauv Bertrand thawj qhov kev sib cav thiab qhov tshwm sim tshwj xeeb yuav yog 1/3.
No Bertrand Russell paradox thiab lwm yam tshwj xeeb ntawm classicalkev txhais ntawm qhov muaj peev xwm ua kom pom tseeb cov qauv nruj dua. Xws li qhov yuav tshwm sim ntau zaus thiab cov ntsiab lus ntawm Bayesian txoj kev xav.
Dab tsi underlies Bertrand's paradox
Nyob rau hauv nws 1973 tsab xov xwm "Qhov Teeb Meem Zoo," Edwin Jaynes tau muab nws cov kev daws teeb meem tshwj xeeb. Nws tau sau tseg tias Bertrand's paradox yog ua raws li lub hauv paus ntsiab lus raws li lub hauv paus ntsiab lus ntawm "qhov siab tshaj plaws tsis paub". Qhov no txhais tau hais tias koj yuav tsum tsis txhob siv cov ntaub ntawv uas tsis tau muab rau hauv nqe lus teeb meem. Jaynes tau taw qhia tias Bertrand qhov teeb meem tsis txiav txim siab txoj haujlwm lossis qhov loj ntawm lub voj voog. Thiab sib cav hais tias yog li ntawd ib qho kev txiav txim siab thiab lub hom phiaj yuav tsum yog "tsis txaus ntseeg" rau qhov loj thiab txoj hauj lwm.
For illustration purposes
xav tias tag nrho cov chords muab tso rau ntawm ib lub voj voog 2 cm, tam sim no koj yuav tsum tau pov straws ntawm nws deb.
Tom qab ntawd koj yuav tsum coj lwm lub voj voog nrog lub cheeb me me (piv txwv li, 1 centimeter), uas haum rau hauv daim duab loj dua. Tom qab ntawd qhov kev faib ntawm chords ntawm lub voj voog me me no yuav tsum yog tib yam li ntawm qhov siab tshaj plaws. Yog tias daim duab thib ob kuj txav mus rau hauv thawj zaug, qhov tshwm sim, hauv paus ntsiab lus, yuav tsum tsis txhob hloov. Nws yog ib qho yooj yim heev kom pom tias rau txoj kev 3 qhov kev hloov pauv hauv qab no yuav tshwm sim: kev faib ntawm chords ntawm lub voj voog me me liab yuav zoo sib txawv ntawm kev faib tawm ntawm lub voj voog loj.
Tib yam tshwm sim rau txoj kev 1. Txawm tias nws nyuaj dua rau pom hauv cov duab pom.
Txoj Kev 2 yog tib qhouas dhau los ua ob qhov ntsuas thiab kev txhais lus tsis sib xws.
Txoj kev thib 3 zoo li yooj yim txuas ntxiv.
Txoj Kev 1 tsis yog.
Txawm li cas los xij, Janes tsis tau siv cov kev hloov pauv yooj yim los lees txais lossis tsis lees txais cov txheej txheem no. Qhov no yuav tso tau tias muaj lwm txoj hauv kev uas tsis tau piav qhia uas yuav haum rau nws cov ntsiab lus ntawm qhov tsim nyog. Jaynes siv qhov sib npaug sib npaug piav qhia txog qhov tsis sib xws. Txhawm rau txiav txim ncaj qha txog qhov yuav tshwm sim. Hauv nws qhov teeb meem, qhov sib npaug sib npaug tiag tiag muaj qhov tshwj xeeb kev daws teeb meem, thiab qhov no yog qhov hu ua qhov thib ob random radius txoj kev saum toj no.
Nyob rau hauv ib daim ntawv 2015, Alon Drory sib cav tias Jaynes 'txoj cai tseem tuaj yeem ua rau ob qho kev daws teeb meem Bertrand. Tus sau paub tseeb tias qhov kev siv lej ntawm cov khoom saum toj no ntawm invariance tsis yog qhov tshwj xeeb, tab sis nyob ntawm cov txheej txheem kev xaiv random uas tus neeg txiav txim siab siv. Nws qhia tau hais tias txhua qhov ntawm peb qhov kev daws teeb meem Bertrand tuaj yeem tau txais los ntawm kev sib hloov, kev ntsuas, thiab kev txhais lus tsis sib xws. Nyob rau tib lub sijhawm, xaus lus tias Jaynes lub hauv paus ntsiab lus tsuas yog raug txhais raws li hom kev tsis quav ntsej nws tus kheej.
Kev sim lub cev
Txoj Kev 2 yog tib txoj kev daws teeb meem uas txaus siab rau kev hloov pauv hloov pauv uas muaj nyob rau hauv cov ntsiab lus tshwj xeeb ntawm lub cev xws li statistical mechanics thiab gas structure. Kuj nyob rau hauv lub tswv yimJanes qhov kev sim ntawm pov straws los ntawm lub voj voog me me.
Txawm li cas los xij, lwm qhov kev sim ua tau zoo tuaj yeem tsim los uas muab cov lus teb raws li lwm txoj hauv kev. Piv txwv li, kom tuaj txog ntawm qhov kev daws teeb meem rau thawj qhov kawg ntawm qhov kawg, koj tuaj yeem txuas lub txee rau qhov chaw nruab nrab ntawm thaj chaw. Thiab cia cov txiaj ntsig ntawm ob txoj kev sib hloov ywj pheej qhia txog qhov chaw kawg ntawm chord. Txhawm rau los txog ntawm txoj kev daws teeb meem thib peb, ib tus tuaj yeem npog lub voj voog nrog molasses, piv txwv li, thiab kos thawj lub ntsiab lus ntawm cov ya ya raws li nruab nrab chord. Ntau tus neeg xav txog tau tsim cov kev tshawb fawb los txiav txim siab sib txawv thiab tau lees paub cov txiaj ntsig tau pom.
xov xwm tshiab
Nyob rau hauv nws 2007 tsab xov xwm "Lub Bertrand Paradox thiab Indifference Principle," Nicholas Shackel sib cav tias ntau tshaj li ib puas xyoo tom qab, qhov teeb meem tseem tsis tau daws. Nws mus refute lub hauv paus ntsiab lus ntawm indifference. Tsis tas li ntawd, hauv nws daim ntawv 2013, "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Vim Li Cas Tag Nrho Cov Ntsiab Lus Tsis Zoo," Darrell R. Robottom qhia tau hais tias txhua qhov kev txiav txim siab tsis muaj dab tsi cuam tshuam nrog nws cov lus nug. Yog li nws tau pom tias qhov kev tsis sib haum xeeb yuav daws tau nyuaj dua li qhov kev xav yav dhau los.
Shackel hais txog tias tam sim no ntau tus kws tshawb fawb thiab cov neeg nyob deb ntawm kev tshawb fawb tau sim daws Bertrand qhov tsis sib xws. Nws tseem kov yeej nrog kev pab ntawm ob txoj hauv kev sib txawv.
Cov uas qhov sib txawv ntawm cov teeb meem tsis sib npaug tau txiav txim siab, thiab cov uas qhov teeb meem yeej ib txwm suav tias yog. Shackel quotes Louis hauv nws phau ntawvMarinoff (raws li ib qho piv txwv ntawm lub tswv yim ntawm kev sib txawv) thiab Edwin Jaynes (raws li tus sau ntawm kev xav-tawm txoj kev xav).
Txawm li cas los xij, hauv lawv txoj haujlwm tsis ntev los no Kev daws teeb meem nyuaj, Diederik Aerts thiab Massimiliano Sassoli de Bianchi ntseeg tias txhawm rau daws qhov Bertrand paradox, thaj chaw yuav tsum tau nrhiav hauv kev sib xyaw ua ke. Raws li cov kws sau ntawv no, thawj kauj ruam yog los kho qhov teeb meem los ntawm kev qhia meej txog qhov xwm txheej ntawm lub koom haum raug randomized. Thiab tsuas yog tom qab qhov no ua tiav, txhua qhov teeb meem tuaj yeem suav tias yog qhov tseeb. Qhov ntawd yog qhov Janes xav.
Yog li lub hauv paus ntsiab lus ntawm qhov tsis paub siab tshaj plaws tuaj yeem siv los daws nws. Txog rau qhov kawg no, thiab txij li qhov teeb meem tsis qhia meej tias yuav tsum xaiv chord li cas, lub hauv paus ntsiab lus yog siv tsis yog nyob rau theem ntawm ntau yam muaj peev xwm, tab sis ntawm qhov tob tob.
Kev xaiv qhov chaw
Qhov no ntawm qhov teeb meem yuav tsum tau suav cov meta-nruab nrab ntawm txhua txoj hauv kev, uas cov kws sau ntawv hu ua lub ntsiab lus thoob ntiaj teb. Txhawm rau daws qhov no, lawv siv txoj kev txiav txim siab. Kev tshoov siab los ntawm qhov tau ua tiav hauv kev txhais txoj cai ntawm qhov tshwm sim hauv Wiener cov txheej txheem. Lawv cov txiaj ntsig tau zoo ib yam nrog cov lej ntawm Jaynes, txawm hais tias lawv qhov teeb meem zoo sib txawv ntawm tus sau thawj tus.
Hauv kev lag luam thiab kev lag luam, Bertrand Paradox, muaj npe tom qab nws tus tsim Joseph Bertrand, piav qhia txog qhov xwm txheej uas ob tus neeg ua si (cov tuam txhab) ncav cuag Nash sib npaug. Thaum ob lub tuam txhab teeb tsa tus nqi sib npaug rau tus nqi marginal(MS).
Bertrand's paradox yog raws li qhov chaw. Nws nyob rau hauv qhov tseeb hais tias nyob rau hauv cov qauv xws li kev sib tw Cournot, ib qho kev nce nyob rau hauv tus naj npawb ntawm tuam txhab uas muag yog txuam nrog convergence ntawm cov nqi nrog marginal nqi. Hauv cov qauv no, Bertrand's paradox yog nyob rau hauv oligopoly ntawm cov tuam txhab me me uas tau txais txiaj ntsig zoo los ntawm kev them nqi tshaj tus nqi.
Pib nrog, nws tsim nyog xav tias ob lub tuam txhab A thiab B muag cov khoom lag luam sib xws, txhua tus muaj tus nqi tsim khoom thiab xa tawm tib yam. Nws ua raws li cov neeg yuav khoom xaiv cov khoom lag luam nkaus xwb los ntawm tus nqi. Qhov no txhais tau hais tias kev thov yog infinitely tus nqi elastic. Tsis yog A lossis B yuav teeb tsa tus nqi siab dua li lwm tus, vim qhov ntawd yuav ua rau tag nrho Bertrand paradox tawg. Ib qho ntawm cov neeg koom ua lag luam yuav tawm los rau nws cov neeg sib tw. Yog tias lawv teem ib tus nqi, cov tuam txhab yuav faib cov txiaj ntsig.
Ntawm qhov tod tes, yog tias ib lub tuam txhab txo qis nws tus nqi txawm tias me ntsis, nws yuav tau txais tag nrho lub khw thiab rov qab ntau dua. Txij li thaum A thiab B paub qhov no, lawv txhua tus yuav sim txo qis tus neeg sib tw kom txog thaum cov khoom muag muag rau xoom nyiaj txiag.
Kev ua haujlwm tsis ntev los no tau qhia tias yuav muaj qhov sib npaug ntxiv hauv Bertrand lub tswv yim sib xyaw ua ke, nrog cov txiaj ntsig zoo ntawm kev lag luam, muab tias qhov nyiaj monopoly tsis muaj kawg. Rau cov ntaub ntawv ntawm cov nyiaj tau los zaum kawg, nws tau pom tias qhov kev nce qib zoo hauv kev sib tw nqi yog tsis yooj yim sua hauv kev sib xyaw equilibria thiab txawm nyob rau hauv rooj plaub ntau dua.correlated systems.
Qhov tseeb, Bertrand's paradox hauv kev lag luam tsis tshua pom nyob rau hauv kev xyaum, vim tias cov khoom tiag tiag yuav luag txhua qhov sib txawv ntawm qee txoj kev uas tsis yog tus nqi (piv txwv li, them nyiaj tshaj rau daim ntawv lo). Cov tuam txhab muaj kev txwv rau lawv lub peev xwm los tsim thiab xa tawm. Qhov no yog vim li cas ob lub lag luam tsis tshua muaj nqi tib yam.
Bertrand qhov tshwm sim yog qhov tsis sib xws vim tias yog tias cov tuam txhab lag luam nce los ntawm ib mus rau ob, tus nqi poob los ntawm kev ywj pheej mus rau kev sib tw thiab tseem nyob rau tib theem raws li cov tuam txhab lag luam uas nce ntxiv tom qab ntawd. Qhov no tsis yog qhov tseeb heev, vim hais tias hauv kev muaj tiag, kev lag luam nrog ob peb lub tuam txhab nrog lub zog ua lag luam zoo li yuav them tus nqi siab tshaj tus nqi marginal. Kev tsom xam pom pom pom tias feem ntau kev lag luam nrog ob tus neeg sib tw ua kom muaj txiaj ntsig zoo.
Nyob hauv lub ntiaj teb niaj hnub no, cov kws tshawb fawb tab tom sim nrhiav kev daws teeb meem rau qhov tsis sib xws uas zoo sib xws nrog Cournot qauv ntawm kev sib tw. Qhov twg ob lub tuam txhab hauv kev ua lag luam tau txais txiaj ntsig zoo uas yog qhov chaw nruab nrab ntawm kev sib tw zoo kawg nkaus thiab qib monopoly.
Qee lub laj thawj vim li cas Bertrand qhov kev tsis sib haum xeeb tsis ncaj qha rau kev lag luam:
- Muaj peev xwm txwv. Qee zaum cov tuam txhab tsis muaj peev xwm ua tau raws li txhua qhov kev thov. Cov ntsiab lus no tau tsa thawj zaug los ntawm Francis Edgeworth thiab ua rau tus qauv Bertrand-Edgeworth.
- Integer nqi. Cov nqi saum toj no MC tsis suav nrog vim tias ib lub tuam txhab tuaj yeem txiav txim siab lwm qhov ntawm random.ib qho me me. Yog hais tias tus nqi yog discrete (piv txwv li, lawv yuav tsum coj tus nqi integer), ces ib lub tuam txhab yuav tsum undercut rau lwm yam tsawg kawg yog ib tug ruble. Qhov no txhais tau hais tias tus nqi ntawm cov nyiaj me me yog siab dua MC. Yog tias lwm lub tuam txhab teeb tsa tus nqi rau nws siab dua, lwm lub tuam txhab tuaj yeem txo nws thiab ntes tag nrho cov lag luam, Bertrand's paradox muaj qhov tseeb hauv qhov no. Nws yuav tsis coj nws cov txiaj ntsig. Qhov kev lag luam no yuav nyiam muab kev muag 50/50 nrog rau lwm lub tuam txhab thiab tau txais cov nyiaj tau los zoo.
- khoom sib txawv. Yog tias cov khoom ntawm cov tuam txhab sib txawv txawv ntawm ib leeg, cov neeg siv khoom yuav tsis hloov mus rau cov khoom lag luam nrog tus nqi qis dua.
- Kev sib tw dynamic. Kev sib cuam tshuam lossis rov sib tw nqi tuaj yeem ua rau muaj qhov sib npaug ntawm tus nqi.
- Ntau yam khoom kom ntau dua. Qhov no tshwm sim los ntawm kev sib tham dua. Yog tias ib lub tuam txhab teeb tsa nws tus nqi siab dua me ntsis, nws tseem yuav tau txais kwv yees li tib tus lej ntawm kev yuav khoom, tab sis cov txiaj ntsig ntau dua rau ib yam khoom. Yog li ntawd, lwm lub tuam txhab yuav nce nws cov markup, thiab lwm yam. (Tsuas yog nyob rau hauv replays, txwv tsis pub lub dynamics mus rau lwm yam kev taw qhia).
Oligopoly
Yog tias ob lub tuam txhab tuaj yeem pom zoo rau tus nqi, nws yog nyob rau hauv lawv cov kev txaus siab mus sij hawm ntev los khaws daim ntawv cog lus: tus nqi txo cov nyiaj tau los tsawg dua ob npaug ntawm cov nyiaj tau los ntawm kev ua raws li daim ntawv cog lus thiab kav ntev mus txog thaum lwm lub tuam txhab txiav nws. tus nqi.
TheoryQhov tshwm sim (xws li cov lej lej) yog qhov ua tau tsis ntev los no. Thiab txoj kev loj hlob tsis tau du. Thawj qhov kev sim ua kom tiav cov lej ntawm qhov tshwm sim tau ua los ntawm Marquis de Laplace, uas tau thov kom txhais lub tswvyim raws li qhov piv ntawm cov xwm txheej ua rau muaj txiaj ntsig.
Qhov no, tau kawg, tsuas yog ua rau kev txiav txim siab yog tias tus lej ntawm txhua qhov xwm txheej tuaj yeem raug txiav. Thiab ib qho ntxiv, txhua qhov xwm txheej zoo sib xws.
Yog li, thaum lub sijhawm, cov ntsiab lus zoo li tsis muaj lub hauv paus ruaj khov. Kev sim ua kom ntev lub ntsiab lus rau cov xwm txheej uas tsis muaj qhov kawg tau ua rau muaj teeb meem ntau dua. Bertrand's paradox yog ib qho kev tshawb pom uas tau ua rau cov neeg ua lej ceev faj txog tag nrho lub tswv yim ntawm qhov yuav tshwm sim.
