Lub tshuab tshuab uas muaj cov khoom siv taw tes (lub cev) dai rau ntawm cov xov tsis muaj zog uas tsis muaj zog (nws qhov loj yog qhov tsis txaus ntseeg piv rau qhov hnyav ntawm lub cev) hauv qhov sib npaug ntawm qhov sib nqus yog hu ua lej pendulum (lwm lub npe yog oscillator). Muaj lwm hom khoom siv no. Hloov cov xov, siv lub pas nrig tsis hnyav. Ib tug lej pendulum tuaj yeem qhia meej cov ntsiab lus ntawm ntau qhov tshwm sim nthuav. Nrog me me amplitude ntawm oscillation, nws lub zog yog hu ua harmonic.
Mechanical system txheej txheem cej luam
Cov mis rau lub sijhawm oscillation ntawm lub pendulum no tau muab los ntawm Dutch tus kws tshawb fawb Huygens (1629-1695). Lub caij no ntawm I. Newton tau nyiam heev ntawm cov tshuab tshuab no. Xyoo 1656 nws tsim thawj lub moos pendulum. Lawv ntsuas lub sijhawm nrog qhov tshwj xeebrau cov sijhawm raug. Qhov kev tsim kho no tau dhau los ua qhov tseem ceeb hauv kev txhim kho ntawm kev sim lub cev thiab kev ua ub ua no.
Yog tias lub pendulum nyob rau hauv qhov sib npaug (duab vertically), ces lub zog ntawm lub ntiajteb txawj nqus yuav sib npaug los ntawm lub zog ntawm cov xov nro. Lub pendulum tiaj tus ntawm ib txoj xov inextensible yog lub kaw lus nrog ob qib kev ywj pheej nrog kev sib txuas. Thaum koj hloov ib feem, cov yam ntxwv ntawm tag nrho nws qhov chaw hloov. Yog li, yog tias cov xov raug hloov los ntawm tus pas nrig, lub tshuab tshuab no tsuas muaj 1 degree ntawm kev ywj pheej. Dab tsi yog cov khoom ntawm kev ua lej pendulum? Nyob rau hauv no yooj yim system, chaos tshwm sim nyob rau hauv tus ntawm lub sij hawm perturbation. Nyob rau hauv rooj plaub thaum lub ncua sij hawm taw tes tsis txav, tab sis oscillates, lub pendulum muaj ib tug tshiab equilibrium txoj hauj lwm. Nrog ceev nce thiab nqis oscillations, lub tshuab tshuab no tau txais ib qho chaw ruaj khov upside down. Nws kuj muaj nws lub npe. Nws hu ua Kapitza's pendulum.
Pendulum khoom
lej pendulum muaj txiaj ntsig zoo heev. Tag nrho cov ntawm lawv tau lees paub los ntawm cov kev cai ntawm lub cev paub. Lub sij hawm ntawm oscillation ntawm lwm yam pendulum nyob ntawm ntau yam xwm txheej, xws li qhov loj thiab cov duab ntawm lub cev, qhov kev ncua deb ntawm qhov taw tes ntawm kev ncua thiab qhov nruab nrab ntawm lub ntiajteb txawj nqus, kev faib tawm ntawm huab hwm coj txheeb ze rau qhov no. Tias yog vim li cas kev txiav txim siab lub sijhawm ntawm lub cev dai yog ib txoj haujlwm nyuaj heev. Nws yog qhov yooj yim dua los xam lub sij hawm ntawm kev ua lej pendulum, cov qauv uas yuav muab hauv qab no. Raws li kev soj ntsuam ntawm qhov zoo sib xwsmechanical systems tuaj yeem tsim cov qauv hauv qab no:
• Yog tias, thaum tuav qhov ntev ntawm lub pendulum, peb dai qhov hnyav sib txawv, ces lub sijhawm ntawm lawv cov oscillations yuav zoo ib yam, txawm tias lawv pawg yuav txawv heev. Yog li ntawd, lub sij hawm ntawm xws li ib tug pendulum tsis nyob ntawm seb qhov loj ntawm lub load.
• Thaum pib lub kaw lus, yog lub pendulum deflected los ntawm tsis loj heev, tab sis txawv cov ces kaum, nws yuav pib oscillate nrog tib lub sij hawm, tab sis nrog txawv amplitudes. Tsuav qhov sib txawv ntawm qhov nruab nrab ntawm qhov sib npaug tsis loj heev, cov oscillations hauv lawv daim ntawv yuav nyob ze rau qhov sib haum xeeb. Lub sij hawm ntawm xws li ib tug pendulum tsis nyob ntawm seb lub oscillation amplitude nyob rau hauv txhua txoj kev. Cov cuab yeej ntawm lub tshuab tshuab no yog hu ua isochronism (los ntawm Greek "chronos" - sijhawm, "isos" - sib npaug).
Lub Sijhawm ntawm kev ua lej pendulum
qhov ntsuas no sawv cev rau lub sijhawm ntawm ntuj oscillations. Txawm hais tias cov lus nyuaj, cov txheej txheem nws tus kheej yog qhov yooj yim heev. Yog hais tias qhov ntev ntawm cov xov ntawm ib tug lej pendulum yog L, thiab lub acceleration ntawm lub caij nplooj zeeg dawb yog g, ces tus nqi no yog:
T=2π√L/g
Lub sijhawm me me ntawm lub ntuj oscillations tsis muaj txoj hauv kev nyob ntawm qhov loj ntawm lub pendulum thiab lub amplitude ntawm oscillations. Nyob rau hauv cov ntaub ntawv no, lub pendulum txav zoo li ib tug lej pendulum nrog ib tug txo qhov ntev.
Swings of the lej pendulum
A lej pendulum oscillates, uas tuaj yeem piav qhia los ntawm qhov sib txawv yooj yim:
x + ω2 sin x=0, qhov twg x (t) yog qhov tsis paub ua haujlwm (qhov no yog lub kaum sab xis ntawm kev sib txawv ntawm qis duaequilibrium txoj hauj lwm ntawm lub sij hawm t, qhia nyob rau hauv radians); ω yog qhov zoo tas li, uas yog txiav txim siab los ntawm qhov tsis muaj ntawm lub pendulum (ω=√g / L, qhov twg g yog lub caij nplooj zeeg dawb acceleration thiab L yog qhov ntev ntawm kev ua lej pendulum (hloov).
Qhov sib npaug ntawm qhov hloov pauv me me nyob ze ntawm txoj haujlwm sib npaug (kev sib npaug sib npaug) zoo li qhov no:
x + ω2 sin x=0
Oscillatory txav ntawm lub pendulum
Ib lej lej pendulum uas ua rau me me oscillations txav raws lub sinusoid. Qhov kev txiav txim thib ob sib npaug sib npaug ua tau raws li txhua qhov yuav tsum tau ua thiab cov kev txwv ntawm cov lus tsa suab. Txhawm rau txiav txim siab txoj hauv kev, koj yuav tsum qhia qhov nrawm thiab kev sib koom ua ke, los ntawm cov neeg sab nraud uas tau txiav txim siab:
x=A sin (θ0 + ωt), qhov twg θ0 yog theem pib, A yog qhov oscillation amplitude, ω yog lub voj voog zaus txiav txim siab los ntawm qhov sib npaug ntawm kev txav.
lej pendulum (formulas rau loj amplitudes)
Qhov kev siv tshuab no, uas ua rau nws cov oscillations nrog lub amplitude tseem ceeb, ua raws ntau txoj cai ntawm kev txav. Rau xws li lub pendulum, lawv raug xam los ntawm cov mis:
sin x/2=usn(ωt/u), qhov twg sn yog Jacobi sine, uas rau u < 1 yog lub sijhawm ua haujlwm, thiab rau me me nws coincides nrog ib qho yooj yim trigonometric sine. Tus nqi ntawm koj yog txiav txim los ntawm cov lus hauv qab no:
u=(ε + ω2)/2ω2, qhov twg ε=E / mL2 (mL2 yog lub zog ntawm lub pendulum).
Kev txiav txim siab lub sijhawm oscillation ntawm lub pendulum uas tsis yog-linearua raws li tus qauv:
T=2π/Ω, qhov twg Ω=π/2ω/2K(u), K yog lub elliptic integral, π - 3, 14.
Kev txav ntawm lub pendulum raws kev sib cais
A separatrix yog ib txoj hauv kev ntawm lub cev muaj zog nrog qhov chaw thib ob. Cov lej pendulum txav raws nws tsis yog lub sijhawm. Nyob rau ntawm lub sijhawm nyob deb infinitely, nws ntog los ntawm qhov chaw sab saud mus rau sab nrog xoom tshaj tawm, ces maj mam khaws nws. Nws thiaj li nres, rov qab mus rau nws txoj haujlwm qub.
Yog hais tias lub amplitude ntawm lub pendulum oscillations mus txog tus naj npawb π, qhov no qhia tau hais tias cov lus tsa suab nyob rau theem dav hlau mus txog qhov sib cais. Nyob rau hauv cov ntaub ntawv no, nyob rau hauv qhov kev txiav txim ntawm ib tug me me tsav lub sij hawm quab yuam, lub tshuab tshuab qhia chaotic cwj pwm.
Thaum tus lej pendulum deviates los ntawm txoj haujlwm sib npaug nrog lub kaum ntse ntse φ, lub zog tangential ntawm lub ntiajteb txawj nqus Fτ=–mg sin φ tshwm sim. Qhov kos npe rho tawm txhais tau hais tias qhov tangential tivthaiv no yog coj mus rau qhov sib txawv ntawm lub pendulum deflection. Thaum qhov kev hloov ntawm lub pendulum raws lub arc ntawm lub voj voog nrog lub vojvoog L yog qhia los ntawm x, nws lub kaum sab xis txav yog sib npaug rau φ=x / L. Txoj cai thib ob ntawm Isaac Newton, tsim los rau kev kwv yees ntawm kev nrawm nrawm thiab lub zog, yuav muab tus nqi xav tau:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Raws li qhov piv txwv no, nws pom tseeb tias lub pendulum no yog qhov tsis muaj kab, txij li lub zog uas xav rov qab losnws mus rau qhov sib npaug ntawm txoj hauj lwm, yog ib txwm proportional tsis mus rau qhov hloov chaw x, tab sis rau kev txhaum x / L.
Tsuas yog thaum tus lej pendulum ua rau me me oscillations, nws yog ib qho kev sib haum xeeb oscillator. Hauv lwm lo lus, nws dhau los ua lub tshuab tshuab muaj peev xwm ua kom muaj kev sib haum xeeb. Qhov kev kwv yees no siv tau rau cov ces kaum ntawm 15-20 °. Pendulum oscillations nrog loj amplitudes tsis harmonic.
Newton txoj cai rau me me oscillations ntawm lub pendulum
Yog tias lub tshuab tshuab no ua haujlwm me me, Newton txoj cai thib 2 yuav zoo li no:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Raws li qhov no, peb tuaj yeem txiav txim siab tias qhov tangential acceleration ntawm lej pendulum yog proportional rau nws qhov kev hloov pauv nrog lub cim rho tawm. Qhov no yog qhov xwm txheej vim tias qhov system dhau los ua kev sib haum xeeb oscillator. Lub modulus ntawm qhov proportional nce ntawm kev hloov pauv thiab acceleration yog sib npaug rau lub square ntawm lub voj voog zaus:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Cov mis no qhia txog lub ntuj zaus ntawm me me oscillations ntawm hom pendulum no. Raws li qhov no, T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Xaiv raws li txoj cai ntawm kev txuag hluav taws xob
Cov khoom ntawm oscillatory txav ntawm lub pendulum kuj tuaj yeem piav qhia siv txoj cai ntawm kev txuag hluav taws xob. Hauv qhov no, nws yuav tsum raug coj mus rau hauv tus account tias lub zog ntawm lub pendulum nyob rau hauv lub gravitational teb yog:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Tag nrho cov tshuab hluav taws xobsib npaug kinetic lossis siab tshaj qhov peev xwm: Epmax=Ekmsx=E
Tom qab txoj cai lij choj ntawm kev txuag hluav taws xob tau sau tseg, coj cov txiaj ntsig ntawm sab xis thiab sab laug ntawm qhov sib npaug:
Ep + Ek=const
Vim lub derivative ntawm tus nqi tas li yog 0, ces (Ep + Ek)'=0. Tus derivative ntawm cov sum yog sib npaug rau cov sum ntawm cov derivatives:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, nce:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Raws li cov qauv kawg, peb pom: α=- g/Lx.
Kev siv lub tswv yim ntawm kev ua lej pendulum
Qhov nrawm ntawm lub caij nplooj zeeg dawb txawv nrog thaj chaw latitude, vim qhov ceev ntawm lub ntiaj teb crust thoob plaws ntiaj teb tsis zoo ib yam. Qhov twg pob zeb uas muaj qhov ntom ntom dua, nws yuav siab dua me ntsis. Lub acceleration ntawm lej pendulum feem ntau yog siv rau kev tshawb nrhiav geological. Nws yog siv los tshawb nrhiav ntau yam minerals. Tsuas yog suav tus naj npawb ntawm cov viav vias ntawm lub pendulum, koj tuaj yeem pom cov thee lossis ore hauv lub plab hauv ntiaj teb. Qhov no yog vim qhov tseeb tias cov pob txha zoo li no muaj qhov ntom ntom thiab loj dua li cov pob zeb xoob hauv qab lawv.
Lub pendulum lej tau siv los ntawm cov kws tshawb fawb tseem ceeb xws li Socrates, Aristotle, Plato, Plutarch, Archimedes. Ntau tus ntawm lawv ntseeg tias qhov kev siv tshuab no tuaj yeem cuam tshuam txoj hmoo thiab lub neej ntawm ib tug neeg. Archimedes siv lub pendulum lej hauv nws cov lej. Niaj hnub no, ntau occultists thiab psychicssiv lub tshuab tshuab no kom ua tiav lawv cov lus faj lem lossis tshawb nrhiav cov neeg ploj lawm.
Tus naas ej Fabkis txoj astronomer thiab naturalist K. Flammarion kuj tau siv lub pendulum lej rau nws txoj kev tshawb fawb. Nws tau thov tias nrog nws txoj kev pab nws muaj peev xwm kwv yees qhov kev tshawb pom ntawm lub ntiaj teb tshiab, qhov tshwm sim ntawm Tunguska meteorite thiab lwm yam xwm txheej tseem ceeb. Thaum Tsov Rog Ntiaj Teb Zaum Ob hauv Tebchaws Yelemees (Berlin) lub koom haum tshwj xeeb Pendulum tau ua haujlwm. Niaj hnub no, lub koom haum Munich ntawm Parapsychology tau koom nrog kev tshawb fawb zoo sib xws. Cov neeg ua haujlwm ntawm lub tsev haujlwm no hu lawv txoj haujlwm nrog lub pendulum "radiesthesia."
