Cov lej tsis sib xws: txhais thiab cov ntsiab lus yooj yim

2024 Tus sau: Angel Austin | [email protected]. Kawg hloov kho: 2023-12-17 05:28

Thaum kawm txog cov khoom ntawm kev sib npaug plaub npaug, kev txwv tau teeb tsa - rau qhov kev ntxub ntxaug tsawg dua xoom, tsis muaj kev daws teeb meem. Nws tau raug teev tam sim ntawd tias peb tab tom tham txog cov lej tiag tiag. Lub siab xav paub txog tus lej yuav txaus siab - dab tsi yog qhov zais cia hauv cov lus hais txog qhov muaj nqis tiag?

Lub sijhawm dhau mus, cov lej tau qhia txog lub tswv yim ntawm cov lej nyuaj, qhov twg tus nqi raws cai ntawm lub hauv paus thib ob ntawm tus lej rho tawm yog coj los ua ib chav.

keeb kwm keeb kwm

Kev tshawb xav lej txhim kho ua ntu zus, los ntawm qhov yooj yim mus rau qhov nyuaj. Cia peb xav seb yuav ua li cas lub tswvyim hu ua "tus lej complex" tshwm sim thiab vim li cas nws thiaj li xav tau.

Los ntawm lub sij hawm immemorial, lub hauv paus ntawm kev ua lej yog tus account ib txwm. Cov kws tshawb fawb paub tsuas yog cov txheej txheem ntuj tsim nyog. Ntxiv thiab rho tawm tau yooj yim. Raws li kev sib raug zoo ntawm kev lag luam tau dhau los ua qhov nyuaj, kev sib faib pib siv es tsis txhob ntxiv cov txiaj ntsig zoo ib yam. Muaj kev rov qab ua haujlwm raumultiplication - faib.

Lub tswv yim ntawm tus lej ntuj txwv tsis pub siv cov lej lej. Nws yog tsis yooj yim sua kom daws tau tag nrho cov teeb meem kev faib nyob rau hauv lub teeb ntawm integer qhov tseem ceeb. Ua hauj lwm nrog cov zauv feem ua ntej mus rau lub tswv yim ntawm qhov muaj nuj nqis, thiab tom qab ntawd mus rau qhov tsis muaj nuj nqis. Yog hais tias rau lub rational nws yog ua tau los qhia qhov tseeb qhov chaw ntawm lub point ntawm kab, ces rau lub irrational nws yog tsis yooj yim sua los qhia xws li ib tug point. Koj tsuas tuaj yeem kwv yees lub caij nyoog. Lub union ntawm rational thiab irrational tooj tsim ib tug tiag tiag teeb, uas yuav tsum tau sawv cev raws li ib tug tej kab nrog ib tug muab scale. Txhua kauj ruam raws kab yog tus lej ntuj, thiab nruab nrab ntawm lawv yog qhov muaj txiaj ntsig thiab tsis muaj txiaj ntsig.

Lub sijhawm ntawm kev ua lej theoretical tau pib. Txoj kev loj hlob ntawm astronomy, mechanics, physics xav tau kev daws teeb meem ntawm ntau thiab ntau qhov sib npaug. Feem ntau, cov hauv paus hniav ntawm qhov sib npaug plaub fab tau pom. Thaum daws qhov nyuaj ntau lub cubic polynomial, cov kws tshawb fawb tau khiav mus rau qhov tsis sib xws. Lub tswv yim ntawm lub voos xwmfab hauv paus los ntawm qhov tsis zoo ua rau kev nkag siab, tab sis rau lub hauv paus square, qhov tsis paub tseeb tau txais. Ntxiv mus, qhov sib npaug plaub npaug tsuas yog qhov tshwj xeeb ntawm qhov cubic xwb.

Nyob rau xyoo 1545, Italian J. Cardano tau thov los qhia txog lub tswvyim ntawm tus lej xav.

Tus lej no yog lub hauv paus thib ob ntawm rho tawm ib qho. Lub sij hawm complex tus naj npawb yog thaum kawg tsim tsuas yog peb puas xyoo tom qab, nyob rau hauv tej hauj lwm ntawm tus naas ej mathematician Gauss. Nws tau thov kom txuas ntxiv tag nrho cov kev cai lij choj ntawm algebra rau tus lej xav txog. Txoj kab tiag tiag tau txuas ntxiv musdav hlau. Lub ntiaj teb no loj dua.

Basic concepts

Rau ntau lub luag haujlwm uas muaj kev txwv ntawm cov teeb tiag:

y=arcsin(x), txhais ntawm qhov tsis zoo thiab qhov zoo 1.
y=ln(x), decimal logarithm ua rau kev nkag siab nrog kev sib cav zoo.
square root y=√x, xam tsuas yog rau x ≧ 0.

Denoting i=√(-1), peb qhia txog lub tswv yim zoo li tus lej xav, qhov no yuav tshem tawm tag nrho cov kev txwv los ntawm lub ntsiab lus ntawm cov haujlwm saum toj no. Cov lus qhia zoo li y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) ua rau muaj kev nkag siab hauv qee qhov chaw ntawm cov lej complex.

Daim ntawv algebraic tuaj yeem sau ua ib qho kev qhia z=x + i × y ntawm cov teeb ntawm x thiab y qhov tseem ceeb, thiab i² =-1.

Lub tswv yim tshiab tshem tawm tag nrho cov kev txwv ntawm kev siv txhua qhov kev ua lej algebraic thiab zoo ib yam li daim duab ntawm txoj kab ncaj nraim hauv kev sib koom ua ke ntawm qhov tseeb thiab kev xav.

dav dav

Daim ntawv geometric ntawm cov lej nyuaj pom pom tso cai rau peb sawv cev rau ntau yam ntawm lawv cov khoom. Ntawm qhov Re(z) axis peb kos qhov tseeb x qhov tseem ceeb, ntawm Im(z) - qhov xav txog qhov tseem ceeb ntawm y, tom qab ntawd z taw tes ntawm lub dav hlau yuav tso saib tus nqi tsim nyog.

Geometric sawv cev ntawm tus lej complex

Definition:

Re(z) - tiag axis.
Im(z) - txhais tau tias lub tswv yim axis.
z - cov ntsiab lus ntawm tus lej nyuaj.
Tus lej tus nqi ntawm qhov ntev ntawm vector los ntawm xoom rau z yog hu uamodule.
Qhov tiag thiab xav txog axes faib lub dav hlau mus rau peb lub hlis twg. Nrog tus nqi zoo ntawm kev tswj xyuas - Kuv lub quarter. Thaum qhov kev sib cav ntawm lub axis tiag tiag yog tsawg dua 0, thiab lub tswv yim axis yog ntau dua 0 - II lub quarter. Thaum cov kev tswj xyuas tsis zoo - III lub quarter. Qhov kawg, lub quarter thib plaub muaj ntau qhov zoo tiag tiag thiab qhov tsis zoo ntawm qhov kev xav.

Yog li, ntawm lub dav hlau nrog x thiab y kev tswj hwm qhov tseem ceeb, ib tus tuaj yeem pom qhov taw tes ntawm tus lej nyuaj. Tus cwj pwm kuv tau qhia kom cais qhov tseeb ntawm qhov kev xav.

Properties

Thaum tus nqi ntawm qhov kev xav ntawm kev sib cav yog xoom, peb tsuas yog tus lej (z=x), uas nyob ntawm qhov axis tiag tiag thiab nyob rau ntawm qhov tiag.
Cov xwm txheej tshwj xeeb thaum tus nqi ntawm qhov kev sib cav tiag tiag dhau los ua xoom, qhov kev qhia z=i × y sib raug rau qhov chaw ntawm qhov taw tes ntawm qhov kev xav.
Daim ntawv dav dav ntawm z=x + i × y yuav yog rau qhov tsis yog xoom ntawm cov lus sib cav. Qhia qhov chaw ntawm qhov taw tes qhia tus lej nyuaj hauv ib lub hlis twg.

Trigonometric notation

Rau qhov kev sib koom tes polar thiab lub ntsiab lus ntawm trigonometric functions sin thiab cos. Nws yog qhov pom tseeb tias nrog kev pab ntawm cov haujlwm no nws muaj peev xwm piav qhia qhov chaw ntawm txhua qhov chaw ntawm lub dav hlau. Ua li no, nws yog txaus kom paub qhov ntev ntawm lub polar beam thiab lub kaum sab xis ntawm inclination mus rau lub tiag tiag axis.

Definition. Ib qho kev nkag ntawm daim ntawv ∣z ∣ muab faib los ntawm cov lej ntawm trigonometric functions cos(ϴ) thiab qhov xav txog qhov i × sin(ϴ) yog hu ua trigonometric complex tooj. Ntawm no lub npe yog lub kaum sab xis ntawm inclination mus rau lub tiag tiag axis

ϴ=arg(z) and r=∣z∣, kab ntev.

Los ntawm lub ntsiab lus thiab cov khoom ntawm trigonometric functions, ib qho tseem ceeb heev Moivre mis raws li nram no:

zⁿ =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Siv cov qauv no, nws yooj yim los daws ntau lub tshuab ntawm kev sib npaug uas muaj cov haujlwm trigonometric. Tshwj xeeb tshaj yog thaum muaj teeb meem ntawm kev nce mus rau lub zog tshwm sim.

Module thiab theem

Txhawm rau ua kom tiav cov lus piav qhia ntawm cov txheej txheem nyuaj, peb nthuav tawm ob lub ntsiab lus tseem ceeb.

Kev paub txog Pythagorean theorem, nws yooj yim los xam qhov ntev ntawm kab nyob rau hauv lub polar coordinate system.

r=∣z∣=√(x² + y²), xws li sau rau ntawm qhov chaw complex hu ua " module" thiab qhia qhov kev ncua deb ntawm 0 mus rau qhov taw tes ntawm lub dav hlau.

Lub kaum sab xis ntawm txoj kab ncaj nraim mus rau kab tiag ϴ feem ntau hu ua theem.

Lub ntsiab txhais qhia tau hais tias qhov tiag tiag thiab kev xav tau piav qhia siv cov haujlwm cyclic. Namely:

x=r × cos(ϴ);
y=r × sin(ϴ);

Rov qab, theem yog cuam tshuam nrog cov txiaj ntsig algebraic los ntawm cov qauv:

ϴ=arctan(x / y) + µ, kho µ yog qhia los coj mus rau hauv tus account lub sij hawm ntawm geometric functions.

Euler formula

Cov kws lej feem ntau siv daim ntawv exponential. Cov lej dav hlau tsis yooj yim sau ua kab lus

z=r × eⁱ^×^ϴ , uas ua raws li cov qauv ntawm Euler.

Cov ntaub ntawv no tau siv dav rau kev suav cov lej ntawm lub cev. Daim ntawv nthuav qhia hauv daim ntawvexponential complex tooj yog tshwj xeeb tshaj yog yooj yim rau engineering xam, qhov twg nws yuav tsum tau los laij lub circuits nrog sinusoidal tam sim no thiab nws yog tsim nyog los paub txog tus nqi ntawm integrals ntawm functions nrog ib tug muab lub sij hawm. Cov kev suav lawv tus kheej yog ib qho cuab yeej tsim los ntawm ntau lub tshuab thiab cov tshuab.

Define operations

Raws li twb tau sau tseg lawm, txhua txoj cai lij choj ntawm kev ua haujlwm nrog kev ua lej yooj yim siv rau cov lej nyuaj.

Sum operation

Thaum ntxiv cov txiaj ntsig nyuaj, lawv qhov tseeb thiab qhov xav xav tau ntxiv.

z=z₁ + z₂ qhov twg z₁ thiab z2 _{- cov zauv feem ntau. Hloov cov kev qhia, tom qab qhib cov brackets thiab ua kom yooj yim cov cim, peb tau txais cov lus sib cav tiag tiag x=(x}1 _{+ x}2_{), qhov kev xav ntawm kev sib cav y=(y 1} + y₂).

Ntawm daim duab, nws zoo li qhov sib ntxiv ntawm ob lub vectors, raws li txoj cai zoo sib xws.

Kev rho tawm haujlwm

suav tias yog qhov tshwj xeeb ntawm qhov sib ntxiv, thaum ib tus lej zoo, lwm qhov tsis zoo, uas yog, nyob hauv daim iav peb lub hlis twg. Algebraic notation zoo li qhov txawv ntawm qhov tiag thiab qhov xav txog.

z=z₁ - z₂, los yog, suav nrog qhov txiaj ntsig ntawm cov lus sib cav, zoo ib yam li qhov sib ntxiv kev ua haujlwm, peb tau txais cov txiaj ntsig tiag tiag x=(x₁ - x ₂) thiab kev xav y=(y ₁- y₂).

Multiplication on the complex dav hlau

Siv cov cai rau kev ua hauj lwm nrog polynomials, peb muab cov qauvdaws cov lej complex.

Ua raws li cov kev cai dav dav ntawm algebraic z=z₁×z₂, piav qhia txhua qhov kev sib cav thiab sau cov lus zoo sib xws. Qhov tiag thiab qhov xav xav tuaj yeem sau tau zoo li no:

x=x₁ × x₂ - y₁ × y₂,
y=x₁ × y₂ + x₂ x y _1.

Nws zoo li zoo nkauj dua yog tias peb siv tus lej exponential complex.

Cov lus zoo li no: z=z₁ × z₂ =r₁ × eⁱ^ϴ¹ × r₂ × e ⁱ^ϴ²=r₁ × r ₂ × eⁱ⁽^ϴ¹⁺^ϴ ²⁾.

Ntxiv mus yooj yim, cov modules tau muab ntau ntxiv thiab cov theem ntxiv.

Kev

Thaum xav txog kev ua haujlwm ntawm kev faib ua qhov sib txawv ntawm qhov sib npaug, peb tau txais cov lus qhia yooj yim hauv cov cim exponential. Faib tus nqi z₁ los ntawm z₂ yog qhov tshwm sim ntawm kev faib lawv cov qauv thiab theem sib txawv. Raws li txoj cai, thaum siv daim ntawv exponential ntawm cov lej nyuaj, nws zoo li qhov no:

z=z₁ / z₂ =r₁ × e ⁱ^ϴ¹ / r₂ × eⁱ ^ϴ²=r₁ / r₂ × eⁱ⁽^ϴ^1-^ϴ ²⁾.

Nyob rau hauv daim ntawv ntawm algebraic notation, kev khiav hauj lwm ntawm kev faib cov zauv ntawm lub complex dav hlau yog sau me ntsis nyuab dua:

z=z₁ / z_2.

piav qhia cov lus sib cav thiab ua cov kev hloov pauv ntau yam, nws yooj yim kom tau txais txiaj ntsigx=x₁ × x₂ + y₁ x y₂, raws y=x₂ × y₁ - x₁ × y₂ , txawm li cas los xij, hauv qhov chaw piav qhia, qhov kev qhia no ua rau kev nkag siab yog tias z₂ ≠ 0.

Txaus qhov hauv paus

Tag nrho cov saum toj no tuaj yeem siv tau thaum txhais ntau txoj haujlwm algebraic - tsa rau txhua lub zog thiab thim rov qab rau nws - rho tawm hauv paus.

Siv lub tswv yim dav dav ntawm kev nce mus rau lub zog n, peb tau txais lub ntsiab lus:

zⁿ =(r × eⁱ^ϴ).

Siv cov khoom sib xws, rov sau dua li:

zⁿ =rⁿ × eⁱ^ϴ.

Peb tau txais cov qauv yooj yim rau kev nce tus lej kom muaj zog.

Los ntawm lub ntsiab lus ntawm kev kawm peb tau txais qhov txiaj ntsig tseem ceeb heev. Ib lub hwj chim ntawm lub tswv yim yog ib txwm 1. Txhua lub zog khib ntawm chav xav yog ib txwm -1.

Tam sim no cia peb kawm qhov kev hloov pauv - rho tawm hauv paus.

Rau qhov yooj yim ntawm kev sau cia, cia peb coj n=2. Lub hauv paus square w ntawm complex nqi z ntawm lub dav hlau complex C suav hais tias yog qhov qhia z=±, siv tau rau txhua qhov kev sib cav tiag tiag ntau dua lossis sib npaug. xoom. Rau w ≦ 0, tsis muaj kev daws teeb meem.

Cia peb saib cov kab zauv uas yooj yim tshaj plaws z² =1. Siv cov qauv zauv, rov sau dua r² × e ⁱ^2ϴ =r² × eⁱ^2ϴ=eⁱ⁰. Nws tuaj yeem pom los ntawm cov ntaub ntawv uas r² =1 thiab ϴ=0, yog li ntawd, peb muaj ib qho kev daws teeb meem sib npaug rau 1. Tab sis qhov no cuam tshuam qhov kev xav tias z=-1 kuj haum rau lub ntsiab lus ntawm lub hauv paus square.

Cia peb saib seb peb tsis suav nrog. Yog hais tias peb nco qab lub trigonometric notation, ces peb rov qab cov nqe lus - nrog ib tug ncua sij hawm hloov nyob rau hauv lub sij hawm theem ϴ, complex tooj tsis hloov. Cia p qhia tus nqi ntawm lub sijhawm, ces peb muaj r² × eⁱ^2ϴ =ei(0+p)^{, 2ϴ=0 + p, or ϴ=p / 2. Yog li ntawd, e}i0 ^{=1 thiab e}i^p^/2 =-1. Peb tau txais cov tshuaj thib ob, uas sib haum rau kev nkag siab dav dav ntawm lub hauv paus square.

Yog li, txhawm rau nrhiav lub hauv paus ntawm tus lej nyuaj, peb yuav ua raws li txheej txheem.

Sau daim ntawv exponential w=∣w∣ × eⁱ⁽arg⁽^w^pk^{), k yog tus lej tsis txaus ntseeg.}
Tus lej xav tau kuj muaj nyob hauv daim ntawv Euler z=r × eⁱ^ϴ.
Siv lub ntsiab txhais ntawm lub hauv paus extraction muaj nuj nqi r eⁱ ϴ ^{=∣w∣ × e}i^arg ⁽^w^{) +} pk).
Los ntawm cov khoom dav dav ntawm qhov sib npaug ntawm cov qauv thiab cov lus sib cav, peb sau rⁿ =∣w∣ thiab nϴ=arg (w) + p × k.
Cov ntaub ntawv kawg ntawm lub hauv paus ntawm ib tug complex yog piav los ntawm lub formula z=√∣w∣ × eⁱ ⁽ ^arg (wpk ^{) /}.
Note. Tus nqi ntawm ∣w∣, los ntawm txhais,yog tus lej tiag tiag, yog li lub hauv paus ntawm txhua qib ua rau kev nkag siab.

Nyob rau hauv xaus, peb muab ob lub ntsiab lus tseem ceeb uas yog qhov tseem ceeb me me rau kev daws cov teeb meem siv nrog cov lej nyuaj, tab sis tseem ceeb rau kev txhim kho kev ua lej ntxiv.

Cov lus qhia ntxiv thiab sib npaug tau hais los ua ib daim teb yog tias lawv txaus siab rau axioms rau txhua lub ntsiab lus ntawm lub dav hlau complex z:

Cov nyiaj tsis sib xws tsis hloov pauv qhov chaw ntawm cov ntsiab lus nyuaj.
Cov lus muaj tseeb - hauv cov lus qhia nyuaj, txhua qhov ntawm ob tus lej tuaj yeem hloov pauv los ntawm lawv tus nqi.
Muaj tus nqi nruab nrab 0 uas z + 0=0 + z=z yog qhov tseeb.
Rau qhov z muaj qhov ntxeev - z, ntxiv rau qhov uas muab xoom.
Thaum hloov qhov chaw ntawm qhov nyuaj, cov khoom siv tsis hloov.
Qhov sib npaug ntawm ob tus lej tuaj yeem hloov tau los ntawm lawv tus nqi.
Muaj tus nqi nruab nrab 1, qhov sib npaug uas tsis hloov tus lej nyuaj.
Rau txhua z ≠ 0, muaj qhov hloov pauv ntawm z^-1, uas muab faib ua 1.
Kev muab cov lej ntawm ob tus lej los ntawm ib feem peb yog sib npaug rau kev ua haujlwm ntawm kev sib faib txhua tus los ntawm tus lej no thiab ntxiv cov txiaj ntsig.
0 ≠ 1.

Tus lej z₁ =x + i×y thiab z₂ =x - i×y hu ua conjugate.

Theorem. Rau conjugation, nqe lus muaj tseeb:

Tus conjugation ntawm qhov sib npaug yog sib npaug ntawm cov ntsiab lus ntawm conjugate.
Qhov kev sib txuas ntawm cov khoom yogkhoom ntawm conjugations.
Kev sib txuas ntawm kev sib txuas yog sib npaug ntawm tus lej nws tus kheej.

Feem ntau algebra, cov khoom no hu ua teb automorphisms.

Examples

Ua raws li cov cai thiab cov qauv ntawm cov lej nyuaj, koj tuaj yeem ua haujlwm nrog lawv tau yooj yim.

Cia peb xav txog cov piv txwv yooj yim tshaj plaws.

Problem 1. Siv qhov sib npaug 3y +5 x i=15 - 7i, txiav txim siab x thiab y.

Kev txiav txim siab. Nco qab lub ntsiab txhais ntawm complex vaj huam sib luag, ces 3y=15, 5x=-7. Yog li ntawd, x=-7 / 5, y=5.

Txoj Haujlwm 2. Xam cov nqi 2 + i²⁸ thiab 1 + i¹³⁵.

Kev txiav txim siab. Obviously, 28 yog tus lej, los ntawm qhov tshwm sim ntawm lub ntsiab lus ntawm tus lej complex hauv lub zog peb muaj i ²⁸ =1, uas txhais tau hais tias cov lus 2 + i ²⁸ =3. Tus nqi thib ob, i¹³⁵ =-1, ces 1 + i¹³⁵ =0.

Txoj Haujlwm 3. Xam cov khoom ntawm qhov muaj nuj nqis 2 + 5i thiab 4 + 3i.

Kev txiav txim siab. Los ntawm cov khoom siv dav dav ntawm kev sib npaug ntawm cov zauv, peb tau txais (2 + 5i) X (4 + 3i)=8 - 15 + i (6 + 20). Tus nqi tshiab yuav yog -7 + 26i.

Txoj Haujlwm 4. Xam cov hauv paus ntawm qhov sib npaug z³ =-i.

Kev txiav txim siab. Muaj ntau txoj hauv kev los nrhiav tus lej nyuaj. Cia peb xav txog ib qho ntawm qhov ua tau. Los ntawm kev txhais, ∣ - i∣=1, theem rau -i yog -p / 4. Tus thawj sib npaug tuaj yeem sau dua li r³eⁱ3ϴ ^=e-p/4+pk^{, los ntawm qhov twg z=e}-p / 12 + pk/3^{, rau txhua tus lej k.}

Txoj kev daws teeb meem muaj daim ntawv (e^- ^ip/12,e^ip^/4, eⁱ² ^p/3).

Vim li cas peb thiaj xav tau cov lej

History paub ntau yam piv txwv thaum cov kws tshawb fawb, ua haujlwm ntawm txoj kev xav, tsis txawm xav txog kev siv cov txiaj ntsig ntawm lawv cov txiaj ntsig. Kev ua lej yog, ua ntej ntawm tag nrho cov, ib qho kev ua si ntawm lub siab, kev ua raws li kev sib raug zoo rau kev sib raug zoo. Yuav luag tag nrho cov kev tsim lej raug txo kom daws qhov sib npaug thiab qhov sib txawv, thiab cov, nyob rau hauv lem, nrog rau qee qhov kwv yees, raug daws los ntawm kev nrhiav cov hauv paus ntawm polynomials. Ntawm no peb thawj zaug ntsib tus paradox ntawm kev xav txog tus lej.

Cov kws tshawb fawb naturalists, daws cov teeb meem ua tau tiav, siv cov kev daws teeb meem ntawm ntau qhov sib npaug, nrhiav pom cov lej tsis sib xws. Kev txhais ntawm cov paradoxes ua rau qhov kev tshawb pom zoo kawg nkaus. Ob qhov xwm txheej ntawm electromagnetic tsis yog ib qho piv txwv. Cov lej nyuaj ua lub luag haujlwm tseem ceeb hauv kev nkag siab txog lawv cov khoom.

Qhov no, dhau los, tau pom qhov siv tau hauv optics, xov tooj cua hluav taws xob, lub zog thiab ntau lwm yam thev naus laus zis. Lwm qhov piv txwv, ntau nyuaj rau kev nkag siab txog lub cev tshwm sim. Antimatter tau kwv yees ntawm lub ntsis ntawm tus cwj mem. Thiab tsuas yog ntau xyoo tom qab, sim ua kom lub cev sib txuas nws pib.

Tsis txhob xav tias tsuas yog hauv physics xwb muaj cov xwm txheej zoo li no. Tsis muaj kev nthuav dav tsawg dua yog tsim nyob rau hauv cov tsiaj qus, hauv kev sib txuas ntawm macromolecules, thaum kawm txog kev txawj ntse. Thiab nws yog txhua yam ua tsaug raunthuav peb txoj kev nco qab, txav deb ntawm qhov yooj yim ntxiv thiab rho tawm ntawm cov txiaj ntsig ntuj.