Pythagoras tau sib cav tias tus lej hauv qab lub ntiaj teb nrog rau cov ntsiab lus tseem ceeb. Plato ntseeg tias tus lej txuas qhov tshwm sim thiab lub npe, pab kom paub, ntsuas thiab kos cov lus xaus. Arithmetic los ntawm lo lus "arithmos" - tus lej, qhov pib ntawm kev pib ua lej. Nws tuaj yeem piav qhia txhua yam khoom - los ntawm cov kua hauv qis mus rau qhov chaw paub daws teeb meem.
Xav tau raws li kev txhim kho
Thaum pib ntawm kev tsim lub zej zog, tib neeg cov kev xav tau raug txwv rau qhov xav tau kom suav - ib lub hnab nplej, ob lub hnab nplej, thiab lwm yam. Ntuj cov lej tau txaus rau qhov no, cov txheej txheem uas yog ib tug infinite zoo sib lawv liag ntawm integers N.
Tom qab ntawd, nrog rau kev txhim kho lej raws li kev tshawb fawb, yuav tsum muaj kev sib cais ntawm cov lej Z - nws suav nrog qhov tsis zoo thiab xoom. Nws cov tsos ntawm cov tsev neeg tau provoked los ntawm qhov tseeb hais tias nyob rau hauv thawj accounting nws yog tsim nyog los ua cas khonuj nqis thiab poob. Nyob rau theem kev tshawb fawb, cov lej tsis zoo tau ua rau nws muaj peev xwm los daws cov kab zauv yooj yim tshaj plaws. Ntawm lwm yam, cov duab ntawm qhov kev sib koom ua ke tsis tseem ceeb tam sim no tau dhau los ua tau, txij li cov ntsiab lus siv tau tshwm sim.
Cov kauj ruam tom ntej yog qhov yuav tsum tau ua kom paub cov lej feem ntau, txij li kev tshawb fawb tsis nyob twj ywm, ntau thiab ntau qhov kev tshawb pom xav tau lub hauv paus theoretical rau kev loj hlob tshiab. Qhov no yog li cas daim teb ntawm tus lej rational tshwm Q.
Thaum kawg, qhov kev xav tau tso tseg tsis ua raws li qhov kev thov, vim tias txhua qhov kev txiav txim siab tshiab yuav tsum muaj kev ncaj ncees. Muaj tshwm sim ntawm cov lej tiag R, cov haujlwm ntawm Euclid ntawm qhov tsis sib xws ntawm qee qhov ntau vim lawv qhov tsis sib haum xeeb. Ntawd yog, cov lej Greek thaum ub tau tso tus lej tsis yog tas li, tab sis kuj yog qhov tsis txaus ntseeg, uas yog tus cwj pwm los ntawm qhov sib piv ntawm cov khoom tsis txaus ntseeg. Vim tias muaj cov lej tiag tiag tshwm sim, xws li "pi" thiab "e" "pom lub teeb", yam tsis muaj kev lej niaj hnub siv tsis tau.
Qhov kev hloov tshiab kawg yog tus lej C. Nws teb ntau cov lus nug thiab tsis lees paub cov lus qhia yav dhau los. Vim qhov kev loj hlob sai ntawm algebra, cov txiaj ntsig tau kwv yees tau - muaj cov lej tiag tiag, kev daws teeb meem ntau yam tsis tuaj yeem ua tau. Piv txwv li, ua tsaug rau cov lej complex, txoj kev xav ntawm cov hlua thiab chaos sawv tawm, thiab qhov sib npaug ntawm hydrodynamics nthuav dav.
Set theory. Cantor
Lub tswvyim ntawm infinity txhua lub sijhawmua rau muaj kev tsis sib haum xeeb, vim nws tsis tuaj yeem ua pov thawj lossis tsis lees paub. Nyob rau hauv cov ntsiab lus ntawm kev ua lej, uas tau ua haujlwm nrog cov kev txheeb xyuas nruj me ntsis, qhov no tau tshwm sim nws tus kheej kom meej meej, tshwj xeeb tshaj yog txij li qhov theological nam tseem muaj qhov hnyav hauv kev tshawb fawb.
Txawm li cas los xij, ua tsaug rau kev ua haujlwm ntawm tus lej lej Georg Kantor, txhua yam poob rau hauv qhov chaw dhau sijhawm. Nws tau ua pov thawj tias muaj ntau qhov kev sib tw tsis kawg, thiab tias daim teb R yog ntau dua li N, txawm tias lawv ob leeg tsis muaj qhov kawg. Nyob rau hauv nruab nrab ntawm lub xyoo pua 19th, nws cov tswv yim tau nrov nrov hu ua tsis muaj tseeb thiab ua txhaum cai tawm tsam classical, unshakable canons, tab sis lub sij hawm muab txhua yam nyob rau hauv nws qhov chaw.
Basic properties of the field R
Tus lej tiag tiag tsis yog tib yam khoom raws li cov subsets uas suav nrog hauv lawv, tab sis kuj tau ntxiv los ntawm lwm tus vim qhov ntsuas ntawm lawv cov ntsiab lus:
- Zero muaj thiab muaj nyob rau thaj chaw R. c + 0=c rau ib qho c ntawm R.
- Zero exists and belongs to the field R. c x 0=0 for any c from R.
- Kev sib raug zoo c: d rau d ≠ 0 muaj thiab siv tau rau ib qho c, d los ntawm R.
- Raj teb R tau xaj, yog, yog c ≦ d, d ≦ c, ces c=d rau ib qho c, d ntawm R.
- Ntxiv rau hauv daim teb R yog commutative, i.e. c + d=d + c rau ib qho c, d ntawm R.
- Multiplication in the field R is commutative, i.e. c x d=d x c rau ib qho c, d los ntawm R.
- Ntxiv rau hauv daim teb R yog associative, i.e. (c + d) + f=c + (d + f) rau ib qho c, d, f ntawm R.
- Multiplication in the field R is associative, i.e. (c x d) x f=c x (d x f) for any c, d, f from R.
- Rau txhua tus lej hauv daim teb R, muaj qhov sib txawv, xws li c + (-c)=0, qhov twg c, -c yog los ntawm R.
- Rau txhua tus lej ntawm daim teb R muaj nws qhov hloov pauv, xws li c x c-1 =1, qhov twg c, c-1 los ntawm R.
- Lub tsev muaj thiab belongs rau R, yog li c x 1=c, rau ib qho c ntawm R.
- Txoj cai faib khoom siv tau, yog li c x (d + f)=c x d + c x f, rau ib qho c, d, f ntawm R.
- Nyob teb R, xoom tsis sib npaug rau ib.
- R yog qhov hloov pauv: yog c ≦ d, d ≦ f, ces c ≦ f rau ib qho c, d, f ntawm R.
- Nyob hauv teb R, kev txiav txim thiab ntxiv muaj feem cuam tshuam: yog c ≦ d, ces c + f ≦ d + f rau ib qho c, d, f ntawm R.
- Nyob hauv thaj teb R, kev txiav txim thiab kev sib faib muaj feem cuam tshuam: yog 0 ≦ c, 0 ≦ d, ces 0 ≦ c x d rau ib qho c, d ntawm R.
- Ob tus lej tsis zoo thiab qhov zoo yog qhov txuas ntxiv, uas yog, rau ib qho c, d los ntawm R, muaj ib qho f los ntawm R xws li c ≦ f ≦ d.
Module hauv teb R
Tus lej tiag suav nrog cov qauv.
Denoted as |f| rau ib qho f los ntawm R. |f|=f yog 0 ≦ f thiab |f|=-f yog 0 > f. Yog tias peb xav txog qhov modulus raws li qhov ntau geometric, ces nws yog qhov kev ncua deb mus - nws tsis muaj teeb meem yog tias koj "dhau" xoom rau rho tawm lossis xa mus rau ntxiv.
Cov lej tsis sib xws thiab tiag. Dab tsi yog qhov zoo sib xws thiab qhov txawv yog dab tsi?
Los ntawm qhov loj, qhov nyuaj thiab tus lej tiag yog ib qho thiab tib yam, tsuas yog qhov ntawdxav txog chav tsev i, uas nws square yog -1. Cov ntsiab lus ntawm daim teb R thiab C tuaj yeem sawv cev raws li cov qauv hauv qab no:
c=d + f x i, qhov twg d, f nyob rau thaj chaw R thiab kuv yog chav xav xav
Kom tau txais c ntawm R hauv qhov no, f tsuas yog teem kom sib npaug rau xoom, uas yog, tsuas yog qhov tseeb ntawm tus lej tseem tshuav. Vim hais tias lub teb ntawm cov zauv complex muaj tib lub zog raws li lub teb ntawm cov zauv tiag, f x i=0 yog f=0.
Hais txog qhov sib txawv ntawm qhov ua tau zoo, piv txwv li, hauv R teb, qhov sib npaug plaub npaug tsis daws yog tias qhov kev ntxub ntxaug tsis zoo, thaum C teb tsis txwv qhov kev txwv vim yog kev taw qhia ntawm chav xav txog i.
Results
Cov "cib" ntawm cov axioms thiab postulates uas ua lej raws li tsis hloov. Vim muaj kev nce qib ntawm cov ntaub ntawv thiab kev qhia txog cov kev xav tshiab, cov "cib" hauv qab no tau muab tso rau ntawm qee qhov ntawm lawv, uas yav tom ntej tuaj yeem ua lub hauv paus rau cov kauj ruam tom ntej. Piv txwv li, cov lej ntuj, txawm hais tias lawv yog ib feem ntawm thaj chaw tiag tiag R, tsis txhob poob lawv qhov cuam tshuam. Nws yog nyob ntawm lawv tias tag nrho cov lej lej yog raws, uas tib neeg kev paub txog lub ntiaj teb pib.
Los ntawm qhov pom ntawm qhov pom, cov lej tiag zoo li txoj kab ncaj nraim. Ntawm nws koj tuaj yeem xaiv qhov kev taw qhia, xaiv lub hauv paus chiv keeb thiab cov kauj ruam. Ib txoj kab ncaj nraim muaj cov ntsiab lus tsis kawg, txhua qhov sib raug rau ib tus lej tiag tiag, tsis hais seb nws puas yog qhov tseeb lossis tsis yog. Nws yog tseeb los ntawm cov lus piav qhia uas peb tab tom tham txog ib lub tswv yim uas ob qho tib si kev ua lej hauv kev ua lej thiab kev txheeb xyuas lej feem ntau yog tsim.tshwj xeeb.
