Ib yam khoom geometric tseem ceeb uas tau kawm hauv qhov chaw tiaj tus yog txoj kab ncaj nraim. Nyob rau hauv peb-dimensional qhov chaw, ntxiv rau txoj kab ncaj nraim, kuj muaj lub dav hlau. Ob qho khoom siv tau yooj yim txhais tau siv cov vectors coj. Nws yog dab tsi, cov vectors siv los txiav txim qhov sib npaug ntawm txoj kab ncaj nraim thiab dav hlau li cas? Cov lus nug no thiab lwm cov lus nug muaj nyob hauv kab lus.
kab ncaj thiab txhais li cas
Txhua tus menyuam kawm ntawv muaj lub tswv yim zoo txog yam khoom geometric uas lawv hais txog. Los ntawm qhov pom ntawm kev ua lej, txoj kab ncaj nraim yog cov ntsiab lus, uas, nyob rau hauv cov ntaub ntawv ntawm lawv arbitrary pairwise kev twb kev txuas, coj mus rau ib tug txheej ntawm parallel vectors. Qhov kev txhais ntawm kab no yog siv los sau qhov sib npaug rau nws ob thiab peb qhov ntev.
Los piav qhia txog cov khoom siv ib-dimensional, ntau hom kev sib npaug yog siv, uas muaj nyob rau hauv cov npe hauv qab no:
- kev pom dav;
- parametric;
- vector;
- canonical lossis symmetrical;
- hauv ntu.
Txhua hom no muaj qee qhov zoo dua lwm tus. Piv txwv li, ib qho kev sib npaug hauv ntu yog yooj yim los siv thaum kawm txog tus cwj pwm ntawm txoj kab ncaj nraim nrog rau kev sib koom axes, ib qho kev sib luag dav dav yog yooj yim thaum nrhiav ib qho kev taw qhia rau ib txoj kab ncaj nraim, nrog rau thaum xam lub kaum sab xis ntawm nws. kev sib tshuam nrog x-axis (rau ib rooj plaub).
Vim lub ncauj lus ntawm tsab xov xwm no muaj feem cuam tshuam nrog kev coj tus vector ntawm txoj kab ncaj nraim, peb yuav txuas ntxiv txiav txim siab tsuas yog qhov sib npaug uas qhov vector no yog qhov tseem ceeb thiab muaj meej meej, uas yog, ib qho vector.
Txhais kab ncaj nraim los ntawm vector
Xav tias peb muaj qee qhov vector v¯ nrog paub ua haujlwm (a; b; c). Txij li thaum muaj peb lub coordinates, lub vector yog muab nyob rau hauv qhov chaw. Yuav ua li cas depict nws nyob rau hauv ib tug rectangular coordinate system? Qhov no yog ua tau yooj yim heev: ntawm txhua ntawm peb axes, ib ntu yog plotted, qhov ntev ntawm qhov sib npaug ntawm qhov sib koom ua ke ntawm vector. Qhov taw qhia kev sib tshuam ntawm peb qhov perpendiculars rov qab mus rau lub dav hlau xy, yz thiab xz yuav yog qhov kawg ntawm vector. Nws pib yog qhov taw tes (0; 0; 0).
Txawm li cas los xij, txoj haujlwm muab ntawm vector tsis yog ib qho xwb. Ib yam li ntawd, ib tus tuaj yeem kos v¯ los ntawm kev tso nws cov keeb kwm ntawm qhov chaw tsis txaus ntseeg. Cov lus sib cav no hais tias nws tsis tuaj yeem teeb tsa ib kab tshwj xeeb siv vector. Nws txhais ib tsev neeg ntawm tus lej tsis kawg ntawm cov kab sib txuas.
Nowkho qee qhov taw tes P(x0; y0; z0) ntawm qhov chaw. Thiab peb tau teeb tsa qhov xwm txheej: txoj kab ncaj nraim yuav tsum dhau los ntawm P. Hauv qhov no, vector v¯ yuav tsum muaj cov ntsiab lus no. Qhov tseeb kawg txhais tau hais tias ib kab ib leeg tuaj yeem txhais tau siv P thiab v¯. Nws yuav raug sau raws li qhov sib npaug hauv qab no:
Q=P + λ × v¯
Ntawm Q yog ib qho taw qhia ntawm kab. Cov ntsiab lus no tuaj yeem tau txais los ntawm kev xaiv qhov tsim nyog parameter λ. Cov kab zauv sau yog hu ua vector equation, thiab v¯ hu ua vector direction ntawm txoj kab ncaj. Los ntawm kev npaj nws kom nws hla dhau P thiab hloov nws qhov ntev nrog qhov ntsuas λ, peb tau txais txhua lub ntsiab lus ntawm Q raws li txoj kab ncaj nraim.
Hauv daim ntawv sib koom ua ke, qhov sib npaug yuav raug sau raws li hauv qab no:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
Thiab hauv daim ntawv qhia meej (parametric), koj tuaj yeem sau:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Yog tias peb tsis suav qhov kev koom tes thib peb hauv cov kab lus saum toj no, ces peb tau txais vector sib npaug ntawm txoj kab ncaj nraim ntawm lub dav hlau.
Rau cov dej num twg yog qhov tseem ceeb kom paub cov kev taw qhia vector ?
Raws li txoj cai, cov no yog cov haujlwm los txiav txim siab qhov sib luag thiab qhov sib npaug ntawm cov kab. Tsis tas li ntawd, cov vector ncaj qha uas txiav txim siab qhov kev taw qhia yog siv thaum xam qhov kev ncua deb ntawm cov kab ncaj nraim thiab ib qho taw tes thiab kab ncaj, los piav qhia tus cwj pwm ntawm txoj kab ncaj nraim rau lub dav hlau.
Obcov kab yuav sib npaug yog tias lawv cov vectors coj los. Yog li ntawd, lub perpendicularity ntawm kab yog pov thawj siv lub perpendicularity ntawm lawv vectors. Nyob rau hauv cov teeb meem no, nws yog txaus los xam cov scalar cov khoom ntawm lub xam vectors kom tau cov lus teb.
Thaum ua haujlwm rau kev xam qhov kev ncua deb ntawm kab thiab cov ntsiab lus, cov vector coj qhia tau meej meej suav nrog hauv cov qauv sib xws. Wb sau cia:
d=|[P1P2¯ ×v¯] | / |v¯|
Nyob P1P2¯ - ua rau ntawm cov ntsiab lus P1 thiab P 2 directed segment. Lub point P2 yog arbitrary, dag ntawm txoj kab nrog vector v¯, hos lub point P1 yog qhov uas qhov kev ncua deb yuav tsum. raug txiav txim. Nws tuaj yeem yog tus kheej lossis koom nrog lwm txoj kab lossis dav hlau.
Nco ntsoov tias nws ua rau kev txiav txim siab los xam qhov kev ncua deb ntawm kab tsuas yog thaum lawv sib npaug lossis sib tshuam. Yog tias lawv sib tshuam, ces d yog xoom.
Cov qauv saum toj no rau d kuj tseem siv tau rau kev xam qhov kev ncua deb ntawm lub dav hlau thiab ib txoj kab ncaj nraim mus rau nws, tsuas yog qhov no P1 yuav tsum yog lub dav hlau.
Cia peb daws ob peb qhov teeb meem kom pom zoo siv cov vector.
Vector Equation Problem
Nws paub tias txoj kab ncaj yog piav los ntawm kab zauv hauv qab no:
y=3 × x - 4
Koj yuav tsum sau cov lus uas tsim nyog rau hauvdaim ntawv vector.
Qhov no yog qhov sib npaug ntawm txoj kab ncaj nraim, paub rau txhua tus menyuam kawm ntawv, sau rau hauv daim ntawv dav dav. Cia peb qhia yuav ua li cas rov sau nws hauv daim ntawv vector.
Cov lus tuaj yeem sawv cev raws li:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Nws tuaj yeem pom tias yog koj qhib nws, koj tau txais qhov sib npaug qub. Tam sim no peb faib nws sab xis rau hauv ob lub vectors kom tsuas yog ib qho ntawm lawv muaj x, peb muaj:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Nws tseem yuav tsum coj x tawm ntawm cov kab ke, xaiv nws nrog lub cim Greek thiab sib pauv cov vectors ntawm sab xis:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Peb tau txais daim ntawv vector ntawm tus thawj qhia. Direction vector coordinates ntawm txoj kab ncaj nraim yog (1; 3).
Txoj haujlwm ntawm kev txiav txim siab txoj haujlwm ntawm cov kab
Ob kab tau muab rau hauv qhov chaw:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Puas yog lawv sib npaug, hla lossis kev sib tshuam?
Non-zero vectors (-1; 3; 1) thiab (1; 2; 0) yuav yog cov lus qhia rau cov kab no. Cia peb qhia cov kev sib npaug hauv daim ntawv parametric thiab hloov cov kev sib koom ua ke ntawm thawj mus rau qhov thib ob. Peb tau txais:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Hloov qhov pom qhov ntsuas λ rau hauv ob qhov sib npaug saum toj no, peb tau txais:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
Parameter γ tsis tuaj yeem nqa ob qhov txiaj ntsig sib txawv tib lub sijhawm. Qhov no txhais tau hais tias cov kab tsis muaj ib qho ntsiab lus, uas yog, lawv sib tshuam. Lawv tsis yog parallel, vim tsis yog xoom vectors tsis sib npaug rau ib leeg (rau lawv cov parallelism, yuav tsum muaj tus lej uas, los ntawm kev sib faib los ntawm ib tus vector, yuav ua rau cov kev tswj xyuas thib ob).
Kev piav qhia ntawm lub dav hlau
Txhawm rau teeb tsa lub dav hlau hauv qhov chaw, peb muab qhov sib npaug dav:
A × x + B × y + C × z + D=0
Ntawm no cov tsiaj ntawv loj Latin sawv cev rau cov lej tshwj xeeb. Thawj peb ntawm lawv txhais cov kev tswj hwm ntawm lub cev vector ntawm lub dav hlau. Yog hais tias nws yog denoted los ntawm n¯, ces:
n¯=(A; B; C)
No vector is perpendicular to the dav hlau, thiaj li hu ua ib tug qhia. Nws txoj kev paub, nrog rau cov kev paub ua haujlwm ntawm txhua qhov chaw uas yog lub dav hlau, tshwj xeeb txiav txim siab qhov kawg.
Yog point P(x1; y1; z1) belongs to lub dav hlau, ces qhov cuam tshuam D yog xam raws li nram no:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Cia peb daws ob peb yam teeb meem uas siv cov kab zauv dav dav rau lub dav hlau.
Ua haujlwm raunrhiav qhov ib txwm vector ntawm lub dav hlau
Lub dav hlau txhais raws li hauv qab no:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Yuav ua li cas thiaj nrhiav tau tus taw qhia vector rau nws?
Los ntawm txoj kev xav saum toj no nws ua raws li qhov kev sib koom ua ke ntawm ib txwm vector n¯ yog cov coefficients nyob rau hauv pem hauv ntej ntawm qhov sib txawv. Hauv qhov no, txhawm rau nrhiav n¯, qhov sib npaug yuav tsum tau sau rau hauv daim ntawv dav dav. Peb muaj:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Tom qab ntawd cov vector ib txwm ntawm lub dav hlau yog:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Qhov teeb meem ntawm kev kos duab sib npaug ntawm lub dav hlau
Cov haujlwm ntawm peb lub ntsiab lus tau muab:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Yuav ua li cas sib npaug ntawm lub dav hlau uas muaj tag nrho cov ntsiab lus no zoo li.
Los ntawm peb lub ntsiab lus uas tsis koom nrog tib kab, tsuas yog ib lub dav hlau tuaj yeem kos tau. Txhawm rau nrhiav nws qhov sib npaug, peb thawj zaug xam cov kev taw qhia vector ntawm lub dav hlau n¯. Ua li no, peb ua raws li hauv qab no: peb pom arbitrary ob vectors teej tug mus rau lub dav hlau, thiab xam lawv vector khoom. Nws yuav muab ib tug vector uas yuav perpendicular rau lub dav hlau no, uas yog, n¯. Peb muaj:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Tau taw tes M1 kosdav hlau nthuav dav. Peb tau txais:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Peb tau txais cov lus qhia dav dav rau lub dav hlau hauv qhov chaw los ntawm thawj zaug txhais lub vector coj mus rau nws.
Cov khoom siv ntoo khaub lig yuav tsum nco ntsoov thaum daws teeb meem nrog cov dav hlau, vim nws tso cai rau koj los txiav txim siab qhov sib koom ua ke ntawm ib txwm vector hauv txoj kev yooj yim.
