Cov lej yog ib ceg ntawm cov lej uas kawm txog cov txiaj ntsig, qhov sib txawv thiab lawv siv hauv kev kawm txog kev ua haujlwm.
History of Appearance
Differential calculus tau tshwm sim raws li kev qhuab qhia ywj pheej nyob rau hauv ib nrab ntawm lub xyoo pua 17th, ua tsaug rau kev ua haujlwm ntawm Newton thiab Leibniz, uas tau tsim cov kev cai yooj yim hauv kev suav ntawm qhov sib txawv thiab pom kev sib txuas ntawm kev sib koom ua ke thiab kev sib txawv. Txij li lub sijhawm ntawd, kev qhuab qhia tau tsim nrog rau kev suav lej ntawm cov lej, yog li tsim lub hauv paus ntawm kev txheeb xyuas lej. Qhov tshwm sim ntawm cov lej no tau qhib lub sijhawm tshiab tshiab hauv ntiaj teb kev lej thiab ua rau muaj kev tshwm sim tshiab hauv kev tshawb fawb. Nws kuj tau nthuav dav qhov muaj peev xwm ntawm kev siv lej science hauv natural science thiab technology.
Basic concepts
Differential calculus yog raws li cov ntsiab lus tseem ceeb ntawm kev ua lej. Lawv yog: tus naj npawb tiag, txuas ntxiv, ua haujlwm thiab txwv. Sij hawm dhau mus, lawv tau ua qhov zoo li niaj hnub no, ua tsaug rau cov lej suav thiab qhov sib txawv.
txheej txheem tsim
Kev tsim cov lej sib txawv hauv daim ntawv thov, thiab tom qab ntawd ib txoj kev tshawb fawb tau tshwm sim ua ntej qhov tshwm sim ntawm kev xav txog kev xav, uas tau tsim los ntawm Nicholas ntawm Cusa. Nws tej hauj lwm yog suav hais tias yog ib tug evolutionary kev loj hlob los ntawm cov kev txiav txim ntawm ancient science. Txawm tias muaj tseeb hais tias tus philosopher nws tus kheej tsis yog ib tug lej, nws txoj kev koom tes rau txoj kev loj hlob ntawm lej science yog undeniable. Kuzansky yog ib tug thawj coj kom txav deb ntawm kev xav txog kev lej lej ua qhov tseeb tshaj plaws ntawm kev tshawb fawb, muab lej ntawm lub sijhawm ntawd tsis ntseeg.
Ancient mathematicians siv chav tsev raws li kev ntsuas thoob ntiaj teb, thaum tus kws tshawb fawb tau hais txog qhov tsis muaj tseeb raws li kev ntsuas tshiab es tsis txhob muaj pes tsawg. Nyob rau hauv no hais txog, tus sawv cev ntawm precision nyob rau hauv lej science yog inverted. Kev paub txog txuj ci, raws li nws, muab faib ua rational thiab kev txawj ntse. Qhov thib ob yog qhov tseeb dua, raws li tus kws tshawb fawb, txij li thawj zaug muab qhov kwv yees nkaus xwb.
Idea
Lub tswv yim tseem ceeb thiab lub tswv yim hauv kev xam qhov sib txawv yog cuam tshuam nrog kev ua haujlwm hauv cov zej zog me ntawm qee cov ntsiab lus. Txhawm rau ua qhov no, nws yog ib qho tsim nyog los tsim ib lub cuab yeej ua lej rau kev kawm txog kev ua haujlwm uas nws tus cwj pwm nyob hauv ib cheeb tsam me me ntawm cov ntsiab lus tsim los ze rau tus cwj pwm ntawm polynomial lossis linear function. Qhov no yog raws li lub ntsiab txhais ntawm ib tug derivative thiab ib tug txawv.
Qhov tshwm sim ntawm lub tswv yim ntawm ib qho derivative yog tshwm sim los ntawm ntau yam teeb meem los ntawm natural sciences thiab lej,uas coj mus nrhiav qhov tseem ceeb ntawm kev txwv ntawm tib hom.
Ib qho teeb meem tseem ceeb uas tau muab ua piv txwv pib los ntawm tsev kawm theem siab yog txhawm rau txiav txim siab qhov nrawm ntawm qhov taw tes mus raws txoj kab ncaj nraim thiab tsim txoj kab tangent rau qhov nkhaus no. Qhov sib txawv muaj feem xyuam rau qhov no, vim tias nws muaj peev xwm kwv yees qhov kev ua haujlwm hauv ib cheeb tsam me me ntawm qhov kev txiav txim siab ntawm txoj kab ua haujlwm.
Piv rau lub tswv yim ntawm qhov sib txawv ntawm qhov kev ua haujlwm ntawm qhov sib txawv tiag tiag, lub ntsiab lus ntawm qhov sib txawv tsuas yog dhau mus rau kev ua haujlwm ntawm qhov xwm txheej, tshwj xeeb, rau cov duab ntawm ib qho chaw Euclidean ntawm lwm qhov.
Derivative
Cia lub ntsiab lus txav mus rau hauv kev coj ntawm Oy axis, rau lub sijhawm peb coj x, uas suav los ntawm qhov pib ntawm lub sijhawm. Qhov kev txav no tuaj yeem piav qhia los ntawm kev ua haujlwm y=f (x), uas tau muab rau txhua lub sijhawm x ntawm qhov kev sib koom tes ntawm qhov taw tes tau txav mus. Hauv mechanics, txoj haujlwm no hu ua txoj cai ntawm kev txav. Cov yam ntxwv tseem ceeb ntawm kev txav, tshwj xeeb tshaj yog tsis sib xws, yog qhov nrawm nrawm. Thaum ib qho taw tes txav raws Oy axis raws li txoj cai ntawm mechanics, ces thaum lub sij hawm random x, nws tau txais lub koom haum f (x). Thaum lub sijhawm x + Δx, qhov twg Δx qhia txog qhov nce ntawm lub sijhawm, nws txoj haujlwm yuav yog f (x + Δx). Qhov no yog ua li cas cov mis Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) yog tsim, uas yog hu ua increment ntawm lub function. Nws sawv cev rau txoj kev taug kev los ntawm lub sijhawm ntawm x mus rau x + Δx.
Vim qhov tshwm sim ntawm qhov noceev ntawm lub sij hawm, lub derivative yog qhia. Hauv kev ua haujlwm tsis txaus ntseeg, qhov kev sib txuas ntawm qhov chaw ruaj khov yog hu ua qhov txwv (xav tias nws muaj). Nws tuaj yeem raug xaiv los ntawm qee cov cim:
f'(x), y', y, df/dx, dy/dx, Df(x).
Tus txheej txheem ntawm kev xam cov derivative hu ua txawv.
Differential calculus ntawm kev ua haujlwm ntawm ntau qhov sib txawv
Txoj kev suav no yog siv thaum kuaj xyuas qhov ua haujlwm nrog ntau qhov sib txawv. Nyob rau hauv lub xub ntiag ntawm ob lub variables x thiab y, ib feem derivative nrog rau x ntawm point A yog hu ua tus derivative ntawm no muaj nuj nqi nrog rau x nrog tsau y.
tuaj yeem sawv cev los ntawm cov cim hauv qab no:
f'(x)(x, y), u'(x), ∂u/∂x or ∂f(x, y)'/∂x.
Yuav tsum muaj txuj ci
Kev txawj hauv kev sib koom ua ke thiab kev sib txawv yuav tsum tau kawm kom tiav thiab muaj peev xwm daws tau qhov sib txawv. Txhawm rau ua kom yooj yim rau kev nkag siab qhov sib npaug sib txawv, koj yuav tsum muaj kev nkag siab zoo ntawm lub ntsiab lus ntawm qhov sib piv thiab qhov tsis muaj qhov sib txawv. Nws kuj tsis raug mob kom kawm paub yuav ua li cas thiaj nrhiav tau cov txiaj ntsig ntawm kev ua haujlwm tsis raug. Qhov no yog vim qhov tseeb hais tias nyob rau hauv tus txheej txheem ntawm kev kawm integrals thiab sib txawv feem ntau yuav tsum tau siv.
Yam sib txawv sib npaug
Nyob rau hauv yuav luag tag nrho cov ntawv xeem uas muaj feem xyuam rau thawj-qib sib npaug sib npaug, muaj 3 hom kev sib npaug: homogeneous, nrog cov sib txawv sib txawv, linear inhomogeneous.
Tseem kuj muaj ntau yam sib npaug tsawg: nrog tag nrho qhov sib txawv, Bernoulli qhov sib npaug thiab lwm yam.
Decision basics
Ua ntej, koj yuav tsum nco ntsoov qhov sib npaug ntawm algebraic los ntawm lub tsev kawm ntawv chav kawm. Lawv muaj qhov sib txawv thiab tus lej. Yuav kom daws tau qhov kev sib npaug zoo tib yam, koj yuav tsum nrhiav ib pawg ntawm cov lej uas ua kom tau raws li qhov xwm txheej. Raws li txoj cai, qhov sib npaug no muaj ib lub hauv paus, thiab txhawm rau txheeb xyuas qhov tseeb, ib tus tsuas yog hloov tus nqi no rau qhov tsis paub.
Differential equation is similar to this. Feem ntau, xws li kev sib npaug thawj zaug suav nrog:
- Independent variable.
- Tus derivative ntawm thawj lub luag haujlwm.
- A muaj nuj nqi lossis qhov sib txawv ntawm qhov sib txawv.
Qee zaum, ib qho tsis paub, x lossis y, tej zaum yuav ploj mus, tab sis qhov no tsis yog qhov tseem ceeb, txij li thaum muaj cov thawj derivatives, tsis muaj kev txiav txim siab dua, yog qhov tsim nyog rau kev daws thiab qhov sib txawv. calculus kom raug.
Yuav daws qhov sib npaug sib txawv txhais tau tias nrhiav cov txheej txheem ntawm txhua txoj haujlwm sib piv cov lus qhia. Cov txheej txheem zoo li no feem ntau hu ua kev daws teeb meem ntawm DE.
Integral calculus
Integral calculus yog ib feem ntawm kev txheeb xyuas lej uas kawm txog lub tswv yim ntawm qhov sib xws, cov khoom thiab cov txheej txheem ntawm nws qhov kev suav.
Ntau zaus, kev suav ntawm qhov sib xyaw ua ke tshwm sim thaum xam qhov chaw ntawm daim duab curvilinear. Cov cheeb tsam no txhais tau hais tias qhov kev txwv rau thaj tsam ntawm ib tug polygon inscribed nyob rau hauv ib tug muab daim duab tends nrog ib tug maj mam nce nyob rau hauv nws sab, thaum cov sab no yuav ua tau tsawg tshaj li yav tas los teev arbitrary.tus nqi me me.
Lub tswv yim tseem ceeb hauv kev suav thaj tsam ntawm daim duab geometric arbitrary yog xam cov cheeb tsam ntawm ib daim duab plaub, uas yog, ua pov thawj tias nws cheeb tsam yog sib npaug rau cov khoom ntawm qhov ntev thiab dav. Thaum nws los txog rau geometry, tag nrho cov kev tsim kho yog tsim los ntawm tus pas ntsuas thiab lub compass, thiab tom qab ntawd qhov sib piv ntawm qhov ntev mus rau qhov dav yog tus nqi tsim nyog. Thaum xam cov cheeb tsam ntawm ib daim duab peb sab, koj tuaj yeem txiav txim siab tias yog tias koj muab tib daim duab peb sab ntawm nws, ces ib daim duab plaub yog tsim. Nyob rau hauv ib tug parallelogram, lub cheeb tsam yog xam los ntawm ib tug zoo xws li, tab sis me ntsis nyuab dua txoj kev, los ntawm ib tug duab plaub thiab ib daim duab peb sab. Hauv polygons, cheeb tsam yog xam los ntawm cov duab peb sab nrog rau nws.
Thaum txiav txim siab qhov sparing ntawm ib qho kev nkhaus, txoj kev no yuav tsis ua haujlwm. Yog tias koj rhuav nws rau hauv ib lub xwmfab, ces yuav muaj qhov chaw uas tsis tau sau. Nyob rau hauv rooj plaub no, ib tug sim siv ob lub hau, nrog cov duab plaub nyob rau sab saum toj thiab hauv qab, vim li ntawd, cov no suav nrog cov duab ntawm cov haujlwm thiab tsis ua. Txoj kev faib rau hauv cov duab plaub no tseem ceeb ntawm no. Tsis tas li ntawd, yog tias peb muab cov partitions me me zuj zus, ces thaj chaw saum toj thiab hauv qab no yuav tsum sib sau ua ke ntawm ib qho nqi.
Nws yuav tsum rov qab mus rau txoj kev faib ua cov duab plaub. Muaj ob txoj hauv kev uas nrov.
Riemann formalized lub ntsiab lus ntawm lub integral tsim los ntawm Leibniz thiab Newton raws li thaj tsam ntawm ib subgraph. Hauv qhov no, cov duab tau txiav txim siab, suav nrog qee tus lej ntawm cov duab plaub ntsug thiab tau los ntawm kev faibntu. Thaum, raws li qhov kev faib tawm txo qis, muaj qhov txwv rau thaj tsam ntawm cov duab zoo sib xws txo, qhov txwv no yog hu ua Riemann qhov tseem ceeb ntawm kev ua haujlwm ntawm lub sijhawm muab.
Txoj kev thib ob yog kev tsim kho ntawm Lebesgue integral, uas muaj nyob rau hauv qhov tseeb tias rau qhov chaw ntawm kev faib cov cheeb tsam uas tau hais tseg rau hauv ib feem ntawm kev sib koom ua ke thiab tom qab ntawd muab cov lej sib xyaw ua ke los ntawm cov txiaj ntsig tau txais hauv cov khoom no., nws qhov ntau ntawm cov txiaj ntsig tau muab faib ua ntu ntu, thiab tom qab ntawd suav nrog cov kev ntsuas sib txuas ntawm cov khoom siv ua ntej ntawm cov khoom sib xyaw no.
cov txiaj ntsig niaj hnub
Ib qho ntawm cov phau ntawv tseem ceeb rau kev kawm txog kev sib txawv thiab cov lej suav sau los ntawm Fikhtengolts - "Course of differential and integral calculus". Nws phau ntawv kawm yog cov lus qhia tseem ceeb rau kev kawm txog kev txheeb xyuas lej, uas tau dhau los ntawm ntau phau ntawv thiab txhais ua lwm yam lus. Tsim los rau cov tub ntxhais kawm ntawv hauv tsev kawm ntawv thiab tau ntev tau siv nyob rau hauv ntau lub tsev kawm ntawv uas yog ib qho ntawm cov kev pabcuam tseem ceeb. Muab cov ntaub ntawv theoretical thiab cov txuj ci siv tau. Thawj zaug luam tawm xyoo 1948.
Kev tshawb fawb algorithm
Txhawm rau tshawb xyuas qhov ua haujlwm siv cov txheej txheem ntawm kev suav lej sib txawv, koj yuav tsum ua raws li cov txheej txheem uas twb tau muab lawm:
- Nrhiav qhov Scope ntawm ib txoj haujlwm.
- Nrhiav cov hauv paus ntawm cov kab zauv muab.
- Xau qhov siab kawg. Ua li no, xam cov derivative thiab cov ntsiab lus uas nws sib npaug zero.
- Hloov tus nqi tshwm sim rau hauv kab zauv.
Ntau yam sib npaug sib npaug
thawj-txiav txim tswj (lwm yam, sib txawvib qho kev ntsuas sib txawv) thiab lawv hom:
- Kev sib cais: f(y)dy=g(x)dx.
- Qhov kev sib npaug yooj yim tshaj plaws, lossis qhov sib txawv ntawm qhov kev ua haujlwm ntawm ib qho sib txawv, muaj cov qauv: y'=f(x).
- Linear inhomogeneous first-order DE: y'+P(x)y=Q(x).
- Bernoulli qhov sib txawv: y'+P(x)y=Q(x)ya.
- Equation with total differentials: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.
thib ob qhov sib npaug sib npaug thiab lawv hom:
- Linear thib ob txiav txim homogeneous sib txawv sib npaug nrog qhov coefficient tas li: y +py'+qy=0 p, q belongs rau R.
- Linear inhomogeneous thib ob-txhais sib txawv qhov sib npaug nrog cov coefficients tas li: y +py'+qy=f(x).
- Linear homogeneous qhov sib txawv: y +p(x)y'+q(x)y=0, thiab inhomogeneous thib ob kev sib npaug: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).
Kev txiav txim siab ntau qhov sib npaug thiab lawv hom:
- Differential equation that can be txo in order: F(x, y(k), y(k+1),.., y(n)=0.
- Linear superior order homogeneous equation: y(n)+f(n-1)y(n- 1)+…+f1y'+f0y=0, and inhomogeneous: y(n)+f(n-1)y(n-1)+…+f1 y'+f0y=f(x).
Txoj kev daws teeb meem nrog kev sib npaug sib txawv
Nrog kev pab ntawm cov chaw taws teeb tswj, tsis yog tsuas yog cov lus nug txog lej lossis lub cev raug daws, tab sis kuj muaj ntau yam teeb meem los ntawmbiology, economics, sociology, thiab lwm yam. Txawm hais tias muaj ntau yam ntawm cov ncauj lus, ib tus yuav tsum ua raws li ib qho laj thawj sib lawv liag thaum daws cov teeb meem xws li:
- Muab tso ua ke ntawm cov chaw taws teeb tswj. Ib qho ntawm cov kauj ruam nyuaj tshaj plaws uas yuav tsum tau ua kom siab tshaj plaws, txij li txhua qhov yuam kev yuav ua rau cov txiaj ntsig tsis raug. Txhua yam cuam tshuam rau cov txheej txheem yuav tsum tau muab coj los siv rau hauv tus account thiab cov xwm txheej pib yuav tsum tau txiav txim siab. Nws kuj yuav tsum ua raws li qhov tseeb thiab cov lus xaus.
- Kev daws teeb meem ntawm kev sib npaug. Cov txheej txheem no yooj yim dua li thawj kauj ruam, vim nws tsuas yog xav tau kev suav lej nruj xwb.
- Kev tshuaj xyuas thiab ntsuas cov txiaj ntsig. Cov kev daws teeb meem yuav tsum raug soj ntsuam los tsim kom muaj txiaj ntsig thiab theoretical ntawm qhov tshwm sim.
Ib qho piv txwv ntawm kev siv qhov sib npaug sib txawv hauv tshuaj
Kev siv cov chaw taws teeb tswj hauv thaj chaw tshuaj tshwm sim thaum tsim cov qauv lej sib kis. Nyob rau tib lub sijhawm, ib tus yuav tsum tsis txhob hnov qab tias cov kev sib npaug no kuj muaj nyob rau hauv biology thiab chemistry, uas yog ze rau cov tshuaj, vim hais tias kev kawm txog ntau yam kab mob lom neeg thiab cov txheej txheem tshuaj lom neeg hauv tib neeg lub cev ua lub luag haujlwm tseem ceeb hauv nws.
Hauv qhov piv txwv saum toj no ntawm kev sib kis, peb tuaj yeem xav txog kev sib kis ntawm kev sib kis hauv zej zog. Cov neeg nyob hauv tau muab faib ua peb hom:
- Tus kab mob, tus lej x(t), suav nrog cov tib neeg, cov neeg muaj tus kabmob, txhua tus kis tau tus kabmob (lub sijhawm incubation luv luv).
- hom thib ob suav nrogCov neeg raug mob y(t) muaj peev xwm kis tau los ntawm kev sib cuag nrog cov neeg muaj mob.
- Hom thib peb suav nrog cov neeg tiv thaiv kab mob z(t) uas tiv thaiv kab mob lossis tuag vim muaj kab mob.
Tus naj npawb ntawm cov tib neeg tsis tas li, suav txog kev yug me nyuam, kev tuag ntuj thiab kev tsiv teb tsaws tsis suav nrog. Yuav muaj ob qhov kev xav ntawm lub hauv paus.
Qhov feem pua ntawm qhov tshwm sim ntawm ib lub sijhawm twg yog x(t) y(t) (raws li kev xav tias tus lej ntawm tus neeg mob yog proportional rau tus naj npawb ntawm kev sib tshuam ntawm cov neeg mob thiab cov neeg sawv cev raug mob, uas yog thawj zaug approximation yuav proportional rau x(t)y(t)), nyob rau hauv kev twb kev txuas nrog rau qhov no, tus naj npawb ntawm cov mob nce, thiab tus naj npawb ntawm susceptible txo nyob rau hauv tus nqi uas yog xam los ntawm cov mis ax(t)y(t)(ib > 0).
Tus naj npawb ntawm cov neeg tsis muaj zog tiv thaiv kab mob los yog tuag yog nce ntawm tus nqi uas yog proportional rau cov neeg mob, bx(t) (b > 0).
Vim li ntawd, koj tuaj yeem ua qhov kev sib npaug ntawm kev suav nrog tag nrho peb qhov ntsuas thiab kos cov lus xaus raws li nws.
Kev lag luam piv txwv
Differential calculus feem ntau siv rau hauv kev txheeb xyuas nyiaj txiag. Lub luag haujlwm tseem ceeb hauv kev txheeb xyuas nyiaj txiag yog kev kawm txog qhov ntau ntawm kev lag luam, uas tau sau rau hauv daim ntawv ntawm kev ua haujlwm. Qhov no yog siv thaum daws teeb meem xws li kev hloov pauv ntawm cov nyiaj tau los tam sim ntawd tom qab kev nce se, kev qhia txog lub luag haujlwm, kev hloov pauv hauv cov tuam txhab cov nyiaj tau los thaum tus nqi ntawm cov khoom hloov pauv, qhov feem pua ntawm cov neeg ua haujlwm so haujlwm tuaj yeem hloov nrog cov khoom siv tshiab. Txhawm rau daws cov teeb meem zoo li no, nws yog qhov tsim nyogtsim kom muaj kev sib txuas ua haujlwm los ntawm cov tswv yim sib txawv, uas tom qab ntawd kawm siv cov lej sib txawv.
Nyob rau hauv txoj kev lag luam, feem ntau yuav tsum tau nrhiav cov kev pom zoo tshaj plaws: kev ua haujlwm siab tshaj plaws, cov nyiaj tau los siab tshaj, cov nqi qis tshaj, thiab lwm yam. Txhua qhov ntsuas no yog qhov ua haujlwm ntawm ib lossis ntau qhov kev sib cav. Piv txwv li, kev tsim khoom tuaj yeem suav tias yog kev ua haujlwm ntawm kev ua haujlwm thiab cov peev txheej. Hauv qhov no, nrhiav tus nqi tsim nyog tuaj yeem raug txo kom pom qhov siab tshaj plaws lossis qhov tsawg kawg nkaus ntawm kev ua haujlwm los ntawm ib lossis ntau qhov sib txawv.
Cov teeb meem ntawm hom no tsim ib chav kawm ntawm cov teeb meem loj heev hauv kev lag luam, kev daws teeb meem uas yuav tsum muaj kev suav sib txawv. Thaum qhov ntsuas kev lag luam yuav tsum tau txo qis lossis ua kom siab tshaj plaws raws li kev ua haujlwm ntawm lwm qhov ntsuas, tom qab ntawd ntawm qhov siab tshaj plaws, qhov sib piv ntawm qhov nce ntawm qhov kev ua haujlwm rau cov lus sib cav yuav zoo li xoom yog tias qhov nce ntawm qhov kev sib cav nyhav mus rau xoom. Txwv tsis pub, thaum xws li ib qho piv txwv rau qee qhov txiaj ntsig zoo lossis qhov tsis zoo, cov ntsiab lus tshwj xeeb tsis tsim nyog, vim tias los ntawm kev nce lossis txo qhov kev sib cav, koj tuaj yeem hloov tus nqi raws li qhov xav tau. Nyob rau hauv lub terminology ntawm txawv calculus, qhov no yuav txhais tau hais tias qhov yuav tsum tau mob rau qhov siab tshaj plaws ntawm ib tug muaj nuj nqi yog pes tsawg tus nqi ntawm nws derivative.
Hauv kev lag luam, feem ntau muaj teeb meem ntawm kev nrhiav qhov siab tshaj plaws ntawm kev ua haujlwm nrog ntau qhov sib txawv, vim tias cov ntsuas kev lag luam tau tsim los ntawm ntau yam. Cov lus nug zoo li no.kawm nyob rau hauv txoj kev xav ntawm kev ua haujlwm ntawm ntau qhov sib txawv, siv cov txheej txheem ntawm kev xam qhov sib txawv. Cov teeb meem zoo li no suav nrog tsis yog tsuas yog kev ua haujlwm siab tshaj plaws thiab txo qis, tab sis kuj muaj kev txwv. Cov lus nug no muaj feem xyuam nrog kev ua lej, thiab lawv tau daws nrog kev pab los ntawm cov txheej txheem tsim tshwj xeeb, kuj yog raws li ceg ntawm kev tshawb fawb.
Ntawm cov txheej txheem ntawm kev xam qhov sib txawv siv hauv kev lag luam, ib feem tseem ceeb yog kev tsom xam marginal. Nyob rau hauv lub economic sphere, lo lus no yog hais txog ib tug txheej ntawm txoj kev rau kev kawm txawv txawv indicators, As thaum hloov lub ntim ntawm creation, noj, raws li kev soj ntsuam ntawm lawv marginal ntsuas. Qhov ntsuas qhov txwv yog qhov derivative lossis ib feem derivatives nrog ntau qhov sib txawv.
Differential calculus ntawm ntau qhov sib txawv yog ib lub ntsiab lus tseem ceeb hauv kev txheeb xyuas lej. Rau kev kawm ntxaws, koj tuaj yeem siv ntau phau ntawv kawm rau kev kawm qib siab. Ib lub npe nrov tshaj plaws tau tsim los ntawm Fikhtengolts - "Course of differential and integral calculus". Raws li lub npe implies, kev txawj ua hauj lwm nrog integras yog ib qho tseem ceeb heev rau kev daws qhov sib npaug sib npaug. Thaum tus lej sib txawv ntawm ib qho kev ua haujlwm ntawm ib qho kev sib txawv tshwm sim, qhov kev daws teeb meem yooj yim dua. Txawm li cas los xij, nws yuav tsum tau sau tseg, nws yog ua raws li cov cai yooj yim. Txhawm rau kawm txog kev ua haujlwm hauv kev xyaum los ntawm kev xam qhov sib txawv, nws txaus los ua raws li cov txheej txheem uas twb muaj lawm, uas tau muab rau hauv tsev kawm theem siab thiab tsuas yog qhov nyuaj me ntsis thaum cov tshiab tau qhia.variables.
