Quadric equations feem ntau tshwm sim nyob rau hauv ib tug xov tooj ntawm cov teeb meem nyob rau hauv kev ua lej thiab physics, yog li txhua tus tub ntxhais kawm yuav tsum muaj peev xwm daws tau lawv. Kab lus no qhia txog cov txheej txheem tseem ceeb rau kev daws qhov sib npaug plaub npaug, thiab tseem muab cov piv txwv ntawm lawv siv.
Yam sib npaug hu ua quadratic
Ua ntej tshaj plaws, peb yuav teb cov lus nug ntawm kab lus no kom nkag siab zoo dua qhov tsab xov xwm yuav hais txog. Yog li, lub quadratic equation muaj cov nram qab no daim ntawv: c + bx + ax2=0, qhov twg a, b, c yog qee tus lej, uas yog hu ua coefficients. Ntawm no a≠0 yog qhov yuav tsum tau ua, txwv tsis pub qhov sib npaug qhia tau degenerates rau hauv ib qho kab. Cov coefficients ntxiv (b, c) tuaj yeem ua txhua yam txiaj ntsig, suav nrog xoom. Yog li, kab lus xws li ax2=0, qhov twg b=0 thiab c=0, los yog c+ax2=0, qhov twg b=0, los yog bx+ax2=0, qhov twg c=0 kuj yog quadratic equations, uas yog hu ua tsis tiav, txij li cov linear coefficient b nyob rau hauv lawv yog xoom los yog xoomyog ib lub sij hawm pub dawb c, los yog ob leeg ploj mus.
Ib kab zauv uas a=1 hu ua txo, uas yog, nws muaj daim ntawv: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Txoj kev daws teeb meem ntawm kev sib npaug plaub npaug yog txhawm rau nrhiav cov txiaj ntsig x uas txaus siab rau nws qhov sib npaug. Cov txiaj ntsig no hu ua cov hauv paus hniav. Txij li thaum qhov sib npaug nyob rau hauv kev txiav txim siab yog ib qho kev qhia ntawm qib thib ob, qhov no txhais tau tias qhov siab tshaj plaws ntawm nws cov hauv paus hniav tsis tuaj yeem tshaj ob.
Yuav ua li cas rau kev daws qhov sib npaug square muaj nyob
Feem ntau, muaj 4 txoj kev daws teeb meem. Lawv cov npe muaj nyob hauv qab no:
- Factoring.
- Ntxiv rau lub square.
- Siv cov qauv paub (ntawm kev ntxub ntxaug).
- Txoj kev daws teeb meem yog geometric.
Raws li koj tuaj yeem pom los ntawm cov npe saum toj no, thawj peb txoj hauv kev yog algebraic, yog li lawv tau siv ntau dua li qhov kawg, uas suav nrog kev npaj ua haujlwm.
Muaj lwm txoj hauv kev los daws qhov sib npaug square siv Vieta theorem. Nws tuaj yeem suav nrog 5th hauv cov npe saum toj no, txawm li cas los xij, qhov no tsis ua tiav, txij li Vieta lub theorem yog qhov tshwm sim yooj yim ntawm txoj kev thib 3.
Tom qab hauv tsab xov xwm peb yuav txiav txim siab ntau ntxiv txog cov npe ntawm cov kev daws teeb meem, thiab tseem muab piv txwv ntawm lawv siv los nrhiav cov hauv paus ntawm cov kab zauv tshwj xeeb.
Txoj Kev 1. Factoring
Rau txoj kev no hauv kev ua lej ntawm kev sib npaug plaub npaug, muaj qhov zoo nkaujnpe: factorization. Lub ntsiab lus ntawm txoj kev no yog raws li nram no: nws yog tsim nyog los nthuav qhia lub quadratic kab zauv raws li ib yam khoom ntawm ob nqe lus (expressions), uas yuav tsum sib npaug zos rau xoom. Tom qab tus sawv cev zoo li no, koj tuaj yeem siv cov khoom vaj khoom tsev, uas yuav sib npaug rau xoom tsuas yog thaum ib lossis ntau dua (tag nrho) ntawm nws cov tswv cuab yog xoom.
Tam sim no xav txog qhov ua ntu zus ntawm cov haujlwm tshwj xeeb uas yuav tsum tau ua kom pom cov hauv paus ntawm kev sib npaug:
- Txav tag nrho cov tswv cuab mus rau ib feem ntawm cov lus qhia (piv txwv li, mus rau sab laug) kom tsuas yog 0 nyob rau hauv nws lwm qhov (txoj cai).
- Qhia cov lej ntawm cov ntsiab lus hauv ib feem ntawm qhov sib npaug ua ib qho khoom ntawm ob kab sib npaug.
- Tau txhua qhov kab lus qhia rau xoom thiab daws lawv.
Raws li koj tuaj yeem pom, cov txheej txheem kev ua haujlwm yooj yim heev, txawm li cas los xij, feem ntau cov tub ntxhais kawm muaj teeb meem thaum lub sijhawm ua raws li qhov thib 2, yog li peb yuav piav qhia ntau ntxiv.
Xav twv seb 2 kab lus twg, thaum sib npaug los ntawm ib leeg, yuav muab qhov kev sib npaug quadratic xav tau, koj yuav tsum nco ntsoov ob txoj cai yooj yim:
- Linear coefficients ntawm ob kab lus qhia, thaum muab sib npaug los ntawm ib leeg, yuav tsum muab thawj coefficient ntawm kev sib npaug plaub, uas yog, tus lej a.
- Cov lus pub dawb ntawm cov kab lus hais tawm, thaum muab sib npaug, yuav tsum muab tus lej c ntawm qhov xav tau sib npaug.
Tom qab txhua tus lej ntawm cov khoom raug xaiv, lawv yuav tsum tau muab sib npaug, thiab yog tias lawv muab qhov sib npaug xav tau, ces mus rau qib 3 hauvcov algorithm saum toj no, txwv tsis pub koj yuav tsum tau hloov cov multipliers, tab sis koj yuav tsum ua qhov no kom cov cai saum toj no ib txwm ua.
Piv txwv ntawm kev daws los ntawm txoj kev ua haujlwm
Cia peb qhia kom meej tias lub algorithm rau kev daws qhov kev sib npaug plaub npaug yog los sau thiab nrhiav cov hauv paus tsis paub. Cia ib tug arbitrary qhia, piv txwv li, 2x-5+5x2-2x2=x2 +2+x2+1. Cia peb txav mus rau nws txoj kev daws teeb meem, ua raws li cov ntsiab lus ntawm 1 txog 3, uas tau teev tseg hauv kab lus dhau los ntawm kab lus.
Yam khoom 1. Txav tag nrho cov nqe lus mus rau sab laug thiab npaj lawv nyob rau hauv cov txheej txheem classical rau ib qho kev sib npaug. Peb muaj qhov sib npaug hauv qab no: 2x+(-8)+x2=0.
Yam khoom 2. Peb rhuav nws rau hauv cov khoom ntawm cov kab sib npaug. Txij li thaum a=1, thiab c=-8, ces peb yuav xaiv, piv txwv li, xws li cov khoom (x-2)(x + 4). Nws txaus siab rau cov kev cai rau kev nrhiav cov kev xav tau uas tau teev tseg hauv kab lus saum toj no. Yog tias peb qhib cov brackets, peb tau txais: -8 + 2x + x2, uas yog, peb tau txais cov lus qhia raws nraim li ntawm sab laug ntawm kab zauv. Qhov no txhais tau hais tias peb raug kwv yees tus lej sib npaug, thiab peb tuaj yeem mus rau qib 3 ntawm algorithm.
Item 3. Sib npaug txhua yam rau xoom, peb tau txais: x=-4 thiab x=2.
Yog tias muaj kev tsis ntseeg txog qhov tshwm sim, nws raug nquahu kom kuaj xyuas los ntawm kev hloov cov hauv paus hauv paus rau hauv qhov sib npaug qub. Hauv qhov no, peb muaj: 22+22-8=0 thiab 2(-4)+(-4)2 -8=0. Roots pom yog lawm.
Yog li, siv txoj kev ua kom muaj txiaj ntsig, peb pom tias qhov sib npaug muab muaj ob lub hauv paus ntawm qhov sib txawvmuaj: 2 thiab -4.
Txoj Kev 2. Ntxiv rau tag nrho square
Nyob rau hauv algebra ntawm square equations, tus multiplier txoj kev yeej ib txwm siv tsis tau, vim hais tias nyob rau hauv cov ntaub ntawv ntawm fractional qhov tseem ceeb ntawm cov coefficients ntawm lub quadratic kab zauv, muaj teeb meem tshwm sim nyob rau hauv kev siv ntawm nqe 2 ntawm lub algorithm.
Txoj kev square tag nrho, nyob rau hauv lem, yog universal thiab tuaj yeem siv rau quadratic sib npaug ntawm txhua hom. Nws lub ntsiab yog ua cov haujlwm hauv qab no:
- Cov ntsiab lus ntawm qhov sib npaug uas muaj cov coefficients a thiab b yuav tsum raug xa mus rau ib feem ntawm qhov sib npaug, thiab lub sij hawm pub dawb c mus rau lwm qhov.
- Tom ntej no, ntu ntawm qhov sib npaug (txoj cai thiab sab laug) yuav tsum muab faib los ntawm tus coefficient a, uas yog, nthuav tawm qhov sib npaug hauv daim ntawv txo (a=1).
- Sum cov ntsiab lus nrog coefficients a thiab b los sawv cev ua ib lub xwmfab ntawm kab zauv sib npaug. Txij li thaum ib tug \u003d 1, ces cov linear coefficient yuav sib npaug rau 1, raws li rau lub sij hawm dawb ntawm cov kab zauv kab zauv, ces nws yuav tsum sib npaug rau ib nrab ntawm linear coefficient ntawm qhov txo quadratic kab zauv. Tom qab lub square ntawm linear qhia tau raug kos, nws yog ib qho tsim nyog yuav tsum tau ntxiv tus lej sib npaug mus rau sab xis ntawm qhov sib npaug, qhov twg lub sij hawm pub dawb nyob, uas yog tau los ntawm nthuav cov square.
- Khiav lub hauv paus square nrog "+" thiab "-" cov cim thiab daws cov kab sib npaug twb tau.
Cov txheej txheem piav qhia thaum xub thawj tuaj yeem pom tau tias yog qhov nyuaj, txawm li cas los xij, hauv kev xyaum nws yooj yim dua rau kev siv dua li cov txheej txheem factorization.
Ib qho piv txwv ntawm kev daws teeb meem uas siv tag nrho square complement
Cia peb muab piv txwv ntawm kev sib npaug plaub npaug rau kev cob qhia nws cov kev daws teeb meem los ntawm txoj kev tau piav qhia hauv kab lus dhau los. Cia lub quadratic equation -10 - 6x+5x2=0.
Yam khoom 1. Peb siv txoj kev hloov pauv thaum daws qhov sib npaug square, peb tau txais: - 6x+5x2=10.
Point 2. Daim ntawv txo ntawm qhov sib npaug no tau los ntawm kev faib los ntawm tus lej 5 ntawm txhua tus tswvcuab (yog tias ob qho tib si muab faib lossis muab faib los ntawm tib tus lej, ces qhov sib npaug yuav khaws cia). Raws li qhov txiaj ntsig ntawm kev hloov pauv, peb tau txais: x2 - 6/5x=2.
Yam 3. Ib nrab ntawm cov coefficient - 6/5 yog -6/10=-3/5, siv tus lej no los ua kom tiav cov square, peb tau txais: (-3/5+x) 2 . Peb nthuav nws thiab cov txiaj ntsig pub dawb yuav tsum tau muab rho tawm los ntawm sab laug ntawm qhov sib npaug kom txaus siab rau daim ntawv qub ntawm qhov sib npaug plaub npaug, uas yog sib npaug ntxiv rau sab xis. Raws li qhov tshwm sim, peb tau txais: (-3/5+x)2=59/25.
Item 4. Xam cov hauv paus square nrog cov cim zoo thiab tsis zoo thiab nrhiav cov hauv paus: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Ob lub hauv paus pom muaj cov txiaj ntsig hauv qab no: x1=(√59+3)/5 thiab x1=(3-√59)/5.
Vim qhov kev suav ua tau cuam tshuam nrog cov hauv paus hniav, muaj qhov ua yuam kev ntau. Yog li ntawd, nws raug pom zoo kom kuaj xyuas qhov tseeb ntawm cov hauv paus hniav x2 thiab x1. Peb tau txais x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Hloov tam sim nox2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Yog li, peb tau pom tias cov hauv paus hniav ntawm qhov sib npaug yog qhov tseeb.
Txoj Kev 3. Daim ntawv thov tus qauv paub zoo
Txoj kev no ntawm kev daws qhov sib npaug plaub npaug yog kab tias qhov yooj yim tshaj plaws, vim nws muaj nyob rau hauv kev hloov cov coefficients rau hauv cov qauv paub. Txhawm rau siv nws, koj tsis tas yuav xav txog kev suav sau cov algorithms, nws txaus kom nco ntsoov tsuas yog ib qho qauv. Nws muaj nyob rau hauv daim duab saum toj no.
Nyob hauv cov qauv no, cov lus qhia radical (b2-4ac) hu ua kev ntxub ntxaug (D). Los ntawm nws tus nqi nyob ntawm seb cov hauv paus hniav tau txais. Muaj 3 qhov xwm txheej:
- D>0, ces lub hauv paus ob kab zauv muaj tiag thiab sib txawv.
- D=0, ces ib tug tau lub hauv paus, uas yuav xam tau los ntawm cov qhia x=-b/(a2).
- D<0, tom qab ntawd koj tau txais ob lub hauv paus kev xav sib txawv, uas tau sawv cev ua tus lej nyuaj. Piv txwv li, tus naj npawb 3-5i yog complex, thaum lub tswv yim chav tsev kuv txaus siab rau cov cuab yeej: i2=-1.
Ib qho piv txwv ntawm kev daws los ntawm kev suav cov kev ntxub ntxaug
Cia peb muab piv txwv ntawm ib qho kev sib npaug plaub npaug los xyaum siv cov qauv saum toj no. Nrhiav cov hauv paus rau -3x2-6+3x+4x=0. Ua ntej, xam tus nqi ntawm tus cais, peb tau txais: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Txij li D<0 tau txais, nws txhais tau hais tias cov hauv paus hniav ntawm qhov sib npaug suav yog cov lej nyuaj. Cia peb pom lawv los ntawm kev hloov qhov pom tus nqi D rau hauv cov qauv uas tau muab rau hauv kab lus dhau los (nws kuj tau qhia hauv daim duab saum toj no). Peb tau txais: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Txoj Kev 4. Siv Cov Kev Ua Haujlwm Graph
Nws tseem hu ua graphical txoj kev daws teeb meem square equations. Nws yuav tsum tau hais tias, raws li txoj cai, nws tsis yog siv rau qhov ntau, tab sis rau kev soj ntsuam zoo ntawm qhov sib npaug hauv kev xav.
Lub ntsiab lus ntawm txoj kev yog los npaj lub quadratic muaj nuj nqi y=f(x), uas yog parabola. Tom qab ntawd, nws yuav tsum tau txiav txim siab ntawm cov ntsiab lus twg lub parabola cuam tshuam rau x-axis (X), lawv yuav yog cov hauv paus hniav ntawm qhov sib npaug sib npaug.
Qhia seb tus parabola puas yuav cuam tshuam X axis, nws txaus kom paub qhov chaw ntawm nws qhov tsawg kawg nkaus (qhov siab tshaj) thiab kev taw qhia ntawm nws cov ceg (lawv tuaj yeem nce lossis txo). Muaj ob lub zog ntawm qhov nkhaus no kom nco ntsoov:
- Yog a>0 - cov ceg ntoo ntawm ceg ntoo raug coj mus rau saum, ntawm qhov tsis sib xws, yog a<0, ces lawv nqis mus.
- Qhov tsawg kawg nkaus (qhov siab tshaj) ua haujlwm ntawm parabola yog ib txwm x=-b/(2a).
Piv txwv li, koj yuav tsum txiav txim siab seb qhov sib npaug -4x+5x2+10=0 muaj cov hauv paus hniav.=5>0. Nws extremum muaj coordinates: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. qhov tsawg kawg nkaus ntawm qhov nkhaus nyob saum tus x-axis (y=9, 2), ces nws tsis cuam tshuam qhov kawg rau ib qhox nqi. Ntawd yog, qhov sib npaug muab tsis muaj cov hauv paus tiag.
Vieta's theorem
Raws li tau sau tseg saum toj no, qhov kev xav no yog qhov tshwm sim ntawm txoj kev No. 3, uas yog ua raws li kev siv cov qauv nrog kev ntxub ntxaug. Lub ntsiab lus ntawm Vieta theorem yog tias nws tso cai rau koj los txuas cov coefficients ntawm qhov sib npaug thiab nws cov hauv paus rau kev sib npaug. Wb tau txais qhov sib npaug sib npaug.
Cia peb siv cov qauv los xam cov hauv paus hniav los ntawm kev ntxub ntxaug. Ntxiv ob lub hauv paus, peb tau txais: x1+x2=-b/a. Tam sim no cia peb muab cov hauv paus hniav los ntawm ib leeg: x1x2, tom qab ua kom yooj yim peb tau tus lej c/a.
Yog li, txhawm rau daws qhov kev sib npaug plaub npaug los ntawm Vieta theorem, koj tuaj yeem siv qhov tau txais ob qhov sib npaug. Yog tias tag nrho peb coefficients ntawm ib qho kev sib npaug paub, ces cov hauv paus hniav tuaj yeem pom los ntawm kev daws qhov tsim nyog ntawm ob qhov sib npaug.
Ib qho piv txwv ntawm kev siv Vieta's theorem
Koj yuav tsum sau ib qho kev sib npaug sib npaug yog tias koj paub tias nws muaj daim ntawv x2+c=-bx thiab nws cov hauv paus yog 3 thiab -4.
Vim a=1 nyob rau hauv kab zauv raws li kev xav, cov qauv Vieta yuav zoo li: x2+x1=-b thiab x2x1=p. Hloov cov txiaj ntsig paub ntawm cov hauv paus hniav, peb tau txais: b=1 thiab c=-12. Raws li qhov tshwm sim, qhov rov ua kom rov qab qhov sib npaug sib npaug yuav zoo li: x2-12=-1x. Koj tuaj yeem hloov tus nqi ntawm cov hauv paus hniav rau hauv nws thiab xyuas kom meej tias qhov sib npaug tuav.
Rov qab thov Vieta theorem, uas yog, suav cov hauv paus hniav los ntawmpaub daim ntawv sib npaug, tso cai rau cov lej me me a, b thiab c kom sai (intuitively) nrhiav kev daws teeb meem.
