Matrices: Gauss method. Gauss Matrix Calculation: Piv txwv

2024 Tus sau: Angel Austin | [email protected]. Kawg hloov kho: 2023-12-17 05:28

Linear algebra, uas tau qhia hauv tsev kawm qib siab hauv ntau yam tshwj xeeb, suav nrog ntau cov ncauj lus nyuaj. Ib txhia ntawm lawv muaj feem xyuam rau matrices, nrog rau cov kev daws teeb meem ntawm cov kab zauv sib npaug los ntawm Gauss thiab Gauss-Jordan txoj kev. Tsis yog txhua tus tub ntxhais kawm tswj kom nkag siab txog cov ncauj lus no, algorithms los daws ntau yam teeb meem. Cia peb nkag siab ua ke cov matrices thiab txoj hauv kev ntawm Gauss thiab Gauss-Jordan.

Basic concepts

A matrix hauv linear algebra yog ib lub voj voos ntawm cov ntsiab lus (rooj). Hauv qab no yog pawg ntawm cov ntsiab lus nyob rau hauv cov kab lus. Cov no yog matrices. Los ntawm cov piv txwv saum toj no, nws tuaj yeem pom tias cov ntsiab lus hauv cov duab plaub tsis yog cov lej xwb. Cov matrix tuaj yeem muaj cov lej ua lej, cov cim algebraic.

Yuav kom nkag siab qee lub tswv yim, cia peb ua tus matrix A los ntawm cov ntsiab lus a_ij. Index tsis yog cov ntawv xwb: kuv yog tus lej ntawm kab hauv lub rooj, thiab j yog tus lej ntawm kab, hauv thaj tsam ntawm qhov kev sib tshuam ntawm cov khoom nyob.a_ij. Yog li, peb pom tias peb muaj cov ntsiab lus xws li a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ thiab lwm yam. Tsab ntawv n qhia txog cov kab, thiab tsab ntawv m qhia txog cov kab. Lub cim m × n qhia qhov ntev ntawm lub matrix. Qhov no yog lub tswv yim uas txhais cov lej ntawm kab thiab kab hauv cov duab plaub ntawm cov ntsiab lus.

Optionally, lub matrix yuav tsum muaj ob peb kab thiab kab. Nrog rau qhov loj me ntawm 1 × n, array ntawm cov ntsiab lus yog ib kab, thiab nrog ib qhov ntev ntawm m × 1, nws yog ib kab ib kab. Thaum tus naj npawb ntawm kab thiab tus naj npawb ntawm kab sib npaug, lub matrix hu ua square. Txhua square matrix muaj tus txiav txim (det A). Lo lus no yog hais txog tus lej uas tau muab rau matrix A.

Ib ob peb lub ntsiab lus tseem ceeb ntxiv uas yuav tsum nco ntsoov txhawm rau txhawm rau daws cov matrices zoo yog cov kab pheeb suab loj thiab theem nrab. Lub ntsiab kab pheeb ces kaum ntawm lub matrix yog kab pheeb ces kaum uas mus rau sab xis ntawm lub rooj los ntawm sab laug ces kaum. Lub sab kab pheeb ces kaum mus rau sab xis saum toj ntawm sab laug ces kaum ntawm hauv qab.

Stepped matrix saib

Saib daim duab hauv qab no. Ntawm nws koj yuav pom ib tug matrix thiab daim duab. Cia peb nrog cov matrix ua ntej. Nyob rau hauv linear algebra, ib tug matrix ntawm no yog hu ua kauj ruam matrix. Nws muaj ib yam khoom: yog tias a_ij yog thawj qhov tsis yog xoom hauv kab i-th, ces tag nrho lwm cov ntsiab lus los ntawm matrix hauv qab no thiab mus rau sab laug ntawm a_ij , yog null (piv txwv li, tag nrho cov ntsiab lus uas tuaj yeem muab tsab ntawv xaiv a_kl, qhov twg k>i thiabl<j).

Tam sim no xav txog daim duab. Nws qhia txog daim ntawv stepped ntawm matrix. Lub tswv yim qhia 3 hom cell. Txhua hom qhia txog qee yam ntsiab lus:

• npib hlwb - xoom ntsiab ntawm matrix;
• shaded hlwb yog cov ntsiab lus arbitrary uas tuaj yeem yog xoom thiab tsis yog xoom;
• cov squares dub yog cov ntsiab lus tsis yog xoom, uas yog hu ua kaum lub ntsiab lus, "cov kauj ruam" (hauv cov matrix qhia ib sab ntawm lawv, cov ntsiab lus no yog cov lej -1, 5, 3, 8).

Thaum daws cov matrices, qee zaum qhov tshwm sim yog qhov "ntev" ntawm cov kauj ruam ntau dua 1. Qhov no tso cai. Tsuas yog qhov "siab" ntawm cov kauj ruam tseem ceeb. Nyob rau hauv ib kauj ruam matrix, qhov parameter no yuav tsum ib txwm sib npaug rau ib.

Matrix txo mus rau kauj ruam daim ntawv

Txhua daim duab plaub tuaj yeem hloov mus rau hauv daim ntawv kauj ruam. Qhov no yog ua los ntawm kev hloov pauv theem pib. Lawv suav nrog:

• rearranging hlua;
• Ntxiv lwm kab rau ib kab, yog tias tsim nyog muab faib los ntawm qee tus lej (koj tuaj yeem ua haujlwm rho tawm).

Cia peb xav txog kev hloov pauv theem pib hauv kev daws teeb meem tshwj xeeb. Daim duab hauv qab no qhia txog matrix A, uas yuav tsum tau txo mus rau ib daim ntawv teev tseg.

Yuav daws qhov teeb meem, peb yuav ua raws li algorithm:

• Nws yooj yim los ua kev hloov pauv ntawm matrix nrogthawj lub ntsiab nyob rau sab laug ces kaum (piv txwv li, lub ntsiab "ua") yog 1 los yog -1. Nyob rau hauv peb rooj plaub, thawj lub caij nyob rau hauv kab saum toj kawg nkaus yog 2, yog li cia peb swap thawj thiab thib ob kab.
• Cia peb ua cov haujlwm rho tawm, cuam tshuam rau kab 2, 3 thiab 4. Peb yuav tsum tau txais xoom hauv thawj kab hauv qab "ua" keeb. Txhawm rau ua tiav qhov txiaj ntsig no: los ntawm cov ntsiab lus ntawm kab No. 2, peb muab cov ntsiab lus ntawm kab No. 1, muab faib ua 2; los ntawm cov ntsiab lus ntawm kab No. 3 peb ua raws cov ntsiab lus ntawm kab No. 1, muab faib ua 4; los ntawm cov ntsiab lus ntawm kab No. 4 peb ua raws cov ntsiab lus ntawm kab No. 1.
• Tom ntej no, peb yuav ua haujlwm nrog cov ntawv txiav tawm (tsis muaj kab1 thiab tsis muaj kab1). Lub ntsiab "ua" tshiab, sawv ntawm kev sib tshuam ntawm kab thib ob thiab kab thib ob, yog sib npaug rau -1. Tsis tas yuav hloov cov kab, yog li peb rov sau thawj kab thiab kab thawj thiab thib ob yam tsis muaj kev hloov pauv. Cia peb ua cov haujlwm rho tawm txhawm rau kom tau txais xoom hauv kab thib ob hauv qab "ua" lub ntsiab lus: los ntawm cov ntsiab lus ntawm kab thib peb peb muab cov ntsiab lus ntawm kab thib ob, muab faib ua 3; rho cov ntsiab lus ntawm kab thib ob muab 2 los ntawm cov ntsiab lus ntawm kab plaub.
• Nws tseem yuav hloov kab kawg. Los ntawm nws cov ntsiab lus peb rho tawm cov ntsiab lus ntawm kab thib peb. Yog li, peb tau txais ib kauj ruam matrix.

Kev txo qis ntawm matrices rau daim ntawv kauj ruam yog siv los daws cov kab ke ntawm kab sib npaug (SLE) los ntawm txoj kev Gauss. Ua ntej saib cov qauv no, cia peb nkag siab qee cov ntsiab lus ntsig txog SLN.

Matrices thiab systems of linear equations

Matrices yog siv ntau yam kev tshawb fawb. Siv cov ntxhuav ntawm cov lej, koj tuaj yeem, piv txwv li, daws cov kab zauv sib npaug ua ke rau hauv ib qho system siv txoj kev Gauss. Ua ntej, cia peb paub txog ob peb nqe lus thiab lawv cov ntsiab lus, thiab saib seb lub matrix yog tsim los ntawm cov kab ke uas sib txuas ntau cov kab sib npaug.

SLU – ntau qhov sib npaug ntawm cov lej ua lej nrog thawj lub zog tsis paub thiab tsis muaj cov ntsiab lus khoom.

SLE kev daws - pom qhov tseem ceeb ntawm qhov tsis paub, hloov qhov sib npaug hauv lub cev ua tus cim.

Ib leeg SLE yog ib qho kev sib npaug uas muaj tsawg kawg yog ib qho kev daws teeb meem.

Inconsistent SLE yog ib qho kev sib npaug uas tsis muaj kev daws teeb meem.

Yuav ua li cas yog ib tug matrix tsim raws li ib tug system uas combines linear equations? Muaj cov ntsiab lus xws li lub ntsiab thiab txuas ntxiv matrices ntawm qhov system. Yuav kom tau txais lub ntsiab matrix ntawm lub system, nws yog tsim nyog los muab tso rau hauv lub rooj tag nrho cov coefficients rau cov tsis paub. Qhov nthuav matrix tau txais los ntawm kev ntxiv ib kab ntawm cov lus pub dawb rau lub ntsiab matrix (nws suav nrog cov ntsiab lus paub uas txhua qhov sib npaug hauv qhov system sib npaug). Koj tuaj yeem nkag siab tag nrho cov txheej txheem no los ntawm kev kawm daim duab hauv qab no.

Thawj yam uas peb pom hauv daim duab yog qhov system uas suav nrog cov kab sib npaug. Nws cov ntsiab lus: a_ij - tus lej coefficients, x_j - tsis paub qhov tseem ceeb, b_i - cov ntsiab lus tas li (qhov twg kuv=1, 2, …, m, thiab j=1, 2, …, n). Lub ntsiab lus thib ob hauv daim duab yog lub ntsiab matrix ntawm coefficients. Los ntawm txhua qhov sib npaug, cov coefficients tau sau ua ke. Yog li ntawd, muaj ntau li ntau kab nyob rau hauv lub matrix raws li muaj kev sib npaug hauv lub system. Tus naj npawb ntawm kab yog sib npaug rau tus lej loj tshaj ntawm cov coefficients hauv ib qho kev sib npaug. Lub caij thib peb hauv daim duab yog ib qho augmented matrix nrog ib kab lus pub dawb.

Cov ntaub ntawv dav dav txog txoj kev Gauss

Nyob rau hauv linear algebra, txoj kev Gauss yog txoj kev classical ntawm kev daws SLE. Nws dais lub npe ntawm Carl Friedrich Gauss, uas nyob hauv 18th-19th centuries. Qhov no yog ib qho ntawm cov lej loj tshaj plaws ntawm txhua lub sijhawm. Lub ntsiab lus ntawm txoj kev Gauss yog los ua cov kev hloov pauv theem pib ntawm cov kab ke ntawm kab zauv sib npaug. Nrog kev pab los ntawm kev hloov pauv, SLE raug txo mus rau qhov sib npaug ntawm daim duab peb sab (stepped), los ntawm txhua qhov sib txawv tuaj yeem pom.

Nws yog ib qho tsim nyog sau cia tias Carl Friedrich Gauss tsis yog tus neeg nrhiav pom ntawm cov txheej txheem classic ntawm kev daws cov kab ke ntawm kab sib npaug. Txoj kev tau tsim ntau dhau los. Nws thawj cov lus piav qhia muaj nyob rau hauv phau ntawv encyclopedia ntawm kev paub txog cov lej suav thaum ub, hu ua "Kev Ua lej hauv 9 phau ntawv".

Ib qho piv txwv ntawm kev daws SLE los ntawm txoj kev Gauss

Cia peb xav txog cov kev daws teeb meem los ntawm Gauss txoj kev ntawm ib qho piv txwv tshwj xeeb. Peb yuav ua haujlwm nrog SLU hauv daim duab.

Kev daws algorithm:

1. Peb yuav txo cov kab ke mus rau ib kauj ruam los ntawm kev txav ncaj qha ntawm Gauss txoj kev, tab sis ua ntejpeb yuav tsim ib qho kev nthuav dav ntawm cov lej coefficients thiab cov tswv cuab pub dawb.
2. Yuav daws cov matrix siv txoj kev Gaussian (piv txwv li coj nws mus rau ib daim ntawv stepped), los ntawm cov ntsiab lus ntawm kab thib ob thiab thib peb, peb muab cov ntsiab lus ntawm thawj kab. Peb tau txais xoom nyob rau hauv thawj kab nyob rau hauv lub "ua" keeb. Tom ntej no, peb yuav hloov cov kab thib ob thiab thib peb hauv qhov chaw kom yooj yim. Rau cov ntsiab lus ntawm kab kawg, ntxiv cov ntsiab lus ntawm kab thib ob, muab faib ua 3.
3. Raws li qhov txiaj ntsig ntawm kev suav cov matrix los ntawm txoj kev Gauss, peb tau txais cov txheej txheem ntawm cov ntsiab lus. Raws li nws, peb yuav tsim ib txoj kab tshiab ntawm kab sib npaug. Los ntawm txoj kev rov qab los ntawm txoj kev Gauss, peb pom qhov tseem ceeb ntawm cov lus tsis paub. Nws tuaj yeem pom los ntawm kab zauv kawg uas x₃ yog sib npaug rau 1. Peb hloov tus nqi no mus rau kab thib ob ntawm kab ke. Koj tau txais qhov sib npaug x₂ - 4=-4. Nws ua raws li x₂ sib npaug 0. Hloov x₂ thiab x₃ rau hauv thawj kab zauv ntawm qhov system: x1 _{+ 0 +3=2. Lub sij hawm tsis paub yog -1.}

Teb: siv cov matrix, txoj kev Gaussian, peb pom qhov tseem ceeb ntawm qhov tsis paub; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Gauss-Jordan method

Nyob rau hauv linear algebra kuj muaj xws li ib yam li Gauss-Jordan txoj kev. Nws yog suav tias yog kev hloov kho ntawm Gaussian txoj kev thiab yog siv los nrhiav cov inverse matrix, xam tsis paub cov ntsiab lus ntawm square systems ntawm algebraic linear equations. Txoj kev Gauss-Jordan yog qhov yooj yim uas nws tso cai rau kev daws qhov SLE hauv ib kauj ruam (tsis muaj kev siv ncaj qha thiab thim rov qabtxav).

Cia peb pib nrog lo lus "inverse matrix". Piv txwv tias peb muaj ib tug matrix A. Tus inverse rau nws yuav yog lub matrix A^-1, thaum tus mob yog tas li txaus siab: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, piv txwv li cov khoom ntawm cov matrices yog sib npaug rau tus lej matrix (cov ntsiab lus ntawm kab pheeb ces kaum ntawm tus kheej matrix yog cov, thiab cov ntsiab lus seem yog xoom).}

Ib qho tseem ceeb nuance: nyob rau hauv linear algebra muaj ib tug theorem ntawm lub hav zoov ntawm ib tug inverse matrix. Ib tug txaus thiab tsim nyog tej yam kev mob rau lub hav zoov ntawm lub matrix A^-1 yog tias lub matrix A yog nonsingular.

Cov kauj ruam yooj yim ntawm txoj kev Gauss-Jordan yog raws li:

1. Saib thawj kab ntawm cov matrix tshwj xeeb. Txoj kev Gauss-Jordan tuaj yeem pib yog tias thawj tus nqi tsis sib npaug rau xoom. Yog tias thawj qhov chaw yog 0, ces sib pauv cov kab kom thawj lub caij muaj tus nqi tsis yog xoom (nws yog qhov xav tau tias tus lej ze dua rau ib qho).
2. Muab tag nrho cov ntsiab lus ntawm thawj kab los ntawm thawj tus lej. Koj yuav xaus nrog txoj hlua uas pib nrog ib qho.
3. Los ntawm kab thib ob, rho tawm thawj kab muab faib los ntawm thawj lub ntsiab ntawm kab thib ob, piv txwv li thaum kawg koj yuav tau txais ib kab uas pib ntawm xoom. Ua tib yam rau lwm cov kab. Faib txhua kab los ntawm nws thawj yam tsis yog xoom kom tau 1 tus kab pheeb ces kaum.
4. Vim li ntawd, koj yuav tau txais daim duab peb sab sab sauv siv Gauss - Jordan txoj kev. Nyob rau hauv nws, lub ntsiab kab pheeb ces kaum yog sawv cev los ntawm units. Lub kaum sab xis yog sau nrog xoom, thiabsab sauv - ntau yam muaj nuj nqis.
5. Los ntawm kab kawg, rho tawm kab kawg uas tau muab los ntawm tus lej xav tau. Koj yuav tsum tau txais ib txoj hlua nrog xoom thiab ib qho. Rau lwm cov kab, rov ua tib yam nkaus. Tom qab tag nrho cov kev hloov pauv, tus lej matrix yuav tau txais.

Ib qho piv txwv ntawm kev nrhiav qhov kev sib hloov matrix siv txoj kev Gauss-Jordan

txhawm rau xam cov matrix inverse, koj yuav tsum sau cov augmented matrix A|E thiab ua qhov tsim nyog hloov pauv. Cia peb xav txog ib qho piv txwv yooj yim. Daim duab hauv qab no qhia txog matrix A.

Kev daws:

1. Ua ntej, cia peb nrhiav qhov kev txiav txim siab matrix siv txoj kev Gaussian (det A). Yog hais tias qhov parameter no tsis sib npaug rau xoom, ces lub matrix yuav suav hais tias yog nonsingular. Qhov no yuav ua rau peb xaus tias A yeej muaj A^-1. Txhawm rau xam tus txiav txim, peb hloov lub matrix mus rau ib daim ntawv stepwise los ntawm theem pib hloov pauv. Cia peb suav tus lej K sib npaug rau tus lej ntawm kab permutations. Peb hloov cov kab xwb 1 zaug. Cia peb xam tus determinant. Nws tus nqi yuav sib npaug rau cov khoom ntawm lub ntsiab kab pheeb ces kaum, muab faib los ntawm (–1)^K. Cov txiaj ntsig suav: det A=2.
2. Compose lub augmented matrix los ntawm kev ntxiv tus kheej matrix rau tus thawj matrix. Cov txiaj ntsig ntawm cov ntsiab lus yuav raug siv los nrhiav qhov sib txawv matrix los ntawm txoj kev Gauss-Jordan.
3. thawj lub ntsiab hauv thawj kab yog sib npaug rau ib qho. Qhov no haum rau peb, vim tias tsis tas yuav tsum tau hloov cov kab thiab faib cov kab uas tau muab los ntawm qee tus lej. Cia peb pib ua haujlwmnrog rau kab thib ob thiab thib peb. Txhawm rau tig thawj kab hauv kab thib ob rau hauv 0, rho tawm thawj kab sib npaug los ntawm 3 ntawm kab thib ob. rho thawj kab los ntawm kab thib peb (tsis tas yuav muab ntau ntxiv).
4. Nyob rau hauv qhov tshwm sim matrix, lub caij thib ob ntawm kab thib ob yog -4, thiab lub caij thib ob ntawm kab thib peb yog -1. Wb pauv cov kab kom yooj yim. Los ntawm kab thib peb rho tawm kab thib ob muab 4. Faib kab thib ob los ntawm -1 thiab kab thib peb los ntawm 2. Peb tau txais daim duab peb sab saum toj.
5. Cia peb rho kab kawg muab 4 los ntawm kab thib ob, thiab kab kawg muab 5 los ntawm thawj kab. Tom ntej no, rho tawm kab thib ob muab 2 los ntawm thawj kab, ntawm sab laug peb tau txais tus kheej matrix. Ntawm sab xis yog qhov hloov pauv matrix.

Ib qho piv txwv ntawm kev daws SLE los ntawm txoj kev Gauss-Jordan

Daim duab qhia txog qhov system ntawm kab sib npaug. Nws yog qhov yuav tsum tau nrhiav cov txiaj ntsig ntawm qhov tsis paub hloov pauv siv lub matrix, txoj kev Gauss-Jordan.

Kev daws:

1. Cia peb tsim ib qho augmented matrix. Ua li no, peb yuav muab cov coefficients thiab cov nqe lus pub dawb rau hauv lub rooj.
2. daws cov matrix siv txoj kev Gauss-Jordan. Los ntawm kab No. 2 peb rho kab No. 1. Los ntawm kab No. 3 peb rho tawm kab No. 1, yav tas los muab 2.
3. Swap kab 2 thiab 3.
4. Los ntawm kab 3 rho tawm 2 muab faib los ntawm 2. Faib cov txiaj ntsig thib peb los ntawm -1.
5. Siv kab 3 ntawm kab 2.
6. Txhob kab 1 ntawm kab 12 x -1. Nyob rau sab, peb tau txais ib kem uas muaj cov lej 0, 1 thiab -1. Los ntawm qhov no peb xaus tias x₁=0, x₂=1 thiab x₃ =-1.

Yog tias koj xav tau, koj tuaj yeem tshawb xyuas qhov tseeb ntawm kev daws los ntawm kev hloov cov lej suav rau hauv qhov sib npaug:

• 0 – 1=–1, thawj tus neeg ntawm qhov system yog lawm;
• 0 + 1 + (–1)=0, tus kheej thib ob ntawm qhov system yog lawm;
• 0 – 1 + (–1)=–2, tus thib peb tus kheej los ntawm qhov system yog lawm.

Lus xaus: siv txoj hauv kev Gauss-Jordan, peb tau pom cov kev daws teeb meem raug rau lub tshuab plaub fab uas sib txuas cov kab zauv sib npaug.

online laij lej

Lub neej ntawm cov tub ntxhais hluas niaj hnub no kawm hauv tsev kawm qib siab thiab kawm linear algebra tau yooj yim heev. Ob peb xyoos dhau los, peb yuav tsum nrhiav kev daws teeb meem rau cov tshuab siv Gauss thiab Gauss-Jordan txoj kev ntawm peb tus kheej. Qee cov tub ntxhais kawm tau ua tiav nrog cov haujlwm, thaum lwm tus tau tsis meej pem hauv kev daws teeb meem, ua yuam kev, nug cov phooj ywg hauv chav kawm kom pab. Niaj hnub no, koj tuaj yeem siv lub laij lej online thaum ua homework. Txhawm rau daws cov kab sib npaug ntawm cov kab sib npaug, tshawb rau cov matrices inverse, cov kev pab cuam tau sau tias tsis yog cov lus teb raug, tab sis kuj qhia txog kev txhim kho ntawm kev daws teeb meem tshwj xeeb.

Muaj ntau qhov kev pabcuam hauv Is Taws Nem nrog lub tshuab xam zauv hauv online. Gaussian matrices, cov kab ke ntawm kev sib npaug yog daws los ntawm cov kev pab cuam hauv ob peb feeb. Cov tub ntxhais kawm tsuas yog yuav tsum tau qhia qhov yuav tsum tau muaj (piv txwv li, cov lej sib npaug,tus lej ntawm qhov sib txawv).