Matrix yog ib yam khoom tshwj xeeb hauv kev ua lej. Nws yog piav nyob rau hauv daim ntawv ntawm ib lub rooj plaub los yog square, muaj li ntawm ib co kab thiab kab. Hauv kev lej, muaj ntau hom matrices, txawv qhov loj lossis cov ntsiab lus. Tus lej ntawm nws cov kab thiab kab yog hu ua kev txiav txim. Cov khoom no yog siv hauv kev ua lej los teeb tsa kev sau cov kab ke ntawm kab sib npaug thiab yooj yim nrhiav rau lawv cov txiaj ntsig. Kev sib npaug siv cov matrix yog daws los ntawm txoj kev Carl Gauss, Gabriel Cramer, cov menyuam yaus thiab cov algebraic ntxiv, thiab ntau txoj hauv kev. Cov txuj ci tseem ceeb thaum ua hauj lwm nrog matrices yog coj lawv mus rau ib qho qauv. Txawm li cas los xij, ua ntej, cia peb txheeb xyuas seb hom matrices txawv ntawm cov lej.
Null type
Txhua yam ntawm cov matrix no yog xoom. Lub caij no, tus naj npawb ntawm nws kab thiab kab sib txawv kiag li.
Square type
Tus naj npawb ntawm kab thiab kab ntawm hom matrix no yog tib yam. Hauv lwm lo lus, nws yog "square" lub rooj. Tus naj npawb ntawm nws kab (los yog kab) hu ua qhov kev txiav txim. Cov xwm txheej tshwj xeeb yog qhov muaj nyob ntawm matrix ntawm qhov kev txiav txim thib ob (matrix 2x2), plaub qhov kev txiav txim (4x4), kaum (10x10), kaum xya (17x17) thiab lwm yam.
kab vector
Qhov no yog ib yam ntawm cov matrices yooj yim tshaj plaws, tsuas muaj ib kab xwb, uas suav nrog peb tus lej. Nws sawv cev rau cov ntsiab lus pub dawb (tus lej ywj pheej ntawm qhov sib txawv) hauv cov kab ke ntawm kab sib npaug.
kab vector
Saib zoo ib yam li yav dhau los. Nws muaj peb lub ntsiab lus ntawm tus lej, ua ke hauv ib kab.
kab pheeb ces kaum
Tsuas yog cov khoom ntawm kab pheeb ces kaum loj (highlighted ntsuab) coj tus lej muaj nuj nqis hauv kab pheeb ces kaum ntawm matrix. Lub ntsiab kab pheeb ces kaum pib nrog lub caij nyob rau hauv lub sab sauv sab laug ces kaum thiab xaus nrog lub caij nyob rau hauv qis sab xis, feem. Cov seem ntawm cov khoom yog xoom. Hom kab pheeb ces kaum tsuas yog square matrix ntawm qee qhov kev txiav txim. Ntawm cov matrices ntawm daim kab pheeb ces kaum, ib tus tuaj yeem tawm ib qho scalar. Tag nrho nws cov khoom siv tib yam nqi.
Identity matrix
A subspecies ntawm kab pheeb ces kaum matrix. Tag nrho nws cov lej muaj nuj nqis yog units. Siv ib hom matrix ntxhuav, ua nws cov kev hloov pauv yooj yim lossis nrhiav cov matrix inverse mus rau qhov qub.
Canonical yam
Daim ntawv canonical ntawm matrix yog suav tias yog ib qho tseem ceeb; casting rau nws feem ntau xav tau los ua haujlwm. Tus naj npawb ntawm kab thiab kab hauv canonical matrix sib txawv, nws tsis tas yuav yog hom square. Nws yog me ntsis zoo ib yam li tus kheej matrix, txawm li cas los xij, nyob rau hauv nws cov ntaub ntawv, tsis yog tag nrho cov Cheebtsam ntawm lub ntsiab kab pheeb ces kaum coj tus nqi sib npaug rau ib tug. Nws tuaj yeem muaj ob lossis plaub lub ntsiab kab pheeb ces kaum (nws tag nrho nyob ntawm qhov ntev thiab qhov dav ntawm matrix). Los yog tej zaum yuav tsis muaj units txhua (tom qab ntawd nws suav tias yog xoom). Cov khoom seem ntawm hom canonical, nrog rau cov ntsiab lus ntawm kab pheeb ces kaum thiab tus kheej, yog sib npaug rau xoom.
Daim duab peb sab
Ib yam tseem ceeb tshaj plaws ntawm matrix, siv thaum tshawb nrhiav nws qhov kev txiav txim siab thiab thaum ua haujlwm yooj yim. Daim duab peb sab los ntawm hom kab pheeb ces kaum, yog li lub matrix kuj yog square. Daim duab peb sab ntawm lub matrix muab faib ua daim duab peb sab sab sauv thiab daim duab peb sab qis.
Nyob rau saum daim duab peb sab matrix (Daim duab 1), tsuas yog cov ntsiab lus uas nyob saum cov kab pheeb ces kaum tseem ceeb coj tus nqi sib npaug rau xoom. Cov khoom ntawm kab pheeb ces kaum nws tus kheej thiab ib feem ntawm matrix hauv qab no nws muaj cov lej muaj nuj nqis.
Nyob rau hauv daim duab peb sab qis (Fig. 2), ntawm qhov tsis sib xws, cov ntsiab lus nyob rau hauv qis ntawm lub matrix yog sib npaug rau xoom.
Step Matrix
Qhov kev pom yog qhov tsim nyog rau kev nrhiav cov qib ntawm matrix, nrog rau kev ua haujlwm theem pib ntawm lawv (nrog rau hom duab peb sab). Cov kauj ruam matrix yog li lub npe vim nws muaj cov yam ntxwv "cov kauj ruam" ntawm xoom (raws li qhia hauv daim duab). Nyob rau hauv hom stepped, ib kab pheeb ces kaum ntawm zeros yog tsim (tsis tas yuav yog lub ntsiab), thiab tag nrho cov ntsiab lus nyob rau hauv kab pheeb ces kaum no kuj muaj nuj nqis sib npaug zos rau xoom. Ib qho yuav tsum tau ua ua ntej yog cov hauv qab no: yog tias muaj pes tsawg kab nyob rau hauv cov kauj ruam matrix, ces cov kab seem hauv qab no kuj tsis muaj tus lej.
Yog li, peb tau suav tias yog hom matrices tseem ceeb tshaj plaws uas xav tau los ua haujlwm nrog lawv. Tam sim no cia peb ua haujlwm nrog kev hloov pauv matrix rau hauv daim ntawv xav tau.
Txo rau daim duab peb sab
Yuav ua li cas coj cov matrix mus rau daim duab peb sab? Feem ntau, hauv kev ua haujlwm, koj yuav tsum hloov lub matrix rau hauv daim duab peb sab thiaj li nrhiav tau nws qhov kev txiav txim, txwv tsis pub hu ua tus txiav txim. Thaum ua cov txheej txheem no, nws yog ib qho tseem ceeb heev uas yuav tau "tshem" lub ntsiab kab pheeb ces kaum ntawm lub matrix, vim hais tias tus txiav txim ntawm ib daim duab peb sab matrix yog cov khoom ntawm cov khoom ntawm nws lub ntsiab kab pheeb ces kaum. Cia kuv qhia koj txog lwm txoj hauv kev los nrhiav tus txiav txim. Lub square-type determinant yog pom siv cov qauv tshwj xeeb. Piv txwv li, koj tuaj yeem siv txoj kev peb sab. Rau lwm cov matrices, txoj kev decomposition los ntawm kab, kab, los yog lawv cov ntsiab yog siv. Koj tuaj yeem siv cov qauv ntawm cov menyuam yaus thiab cov lej ntawm cov lej ntawm cov matrix.
Txoj kevCia peb txheeb xyuas cov txheej txheem ntawm kev nqa cov matrix rau daim duab peb sab siv cov piv txwv ntawm qee qhov haujlwm.
task 1
Nws yog qhov tsim nyog los nrhiav qhov kev txiav txim siab ntawm qhov nthuav qhia matrix, siv txoj hauv kev coj nws mus rau daim duab peb sab.
Lub matrix muab rau peb yog lub square matrix ntawm peb qhov kev txiav txim. Yog li ntawd, txhawm rau hloov nws mus rau hauv daim duab peb sab, peb yuav tsum tau tshem tawm ob lub ntsiab lus ntawm thawj kab thiab ib feem ntawm qhov thib ob.
Txhawm rau coj nws mus rau daim duab peb sab, pib qhov kev hloov pauv los ntawm lub kaum sab laug sab laug ntawm matrix - los ntawm tus lej 6. Txhawm rau tig nws mus rau xoom, muab thawj kab los ntawm peb thiab rho tawm ntawm kab kawg.
Qhov tseem ceeb! Cov kab saum toj kawg nkaus tsis hloov, tab sis tseem zoo ib yam li hauv thawj matrix. Koj tsis tas yuav sau ib txoj hlua plaub zaug ntawm tus thawj. Tab sis qhov tseem ceeb ntawm cov hlua uas nws cov khoom yuav tsum tau nullified yog tas li hloov.
Tom ntej no, cia peb tham txog tus nqi tom ntej - lub caij ntawm kab thib ob ntawm thawj kab, tus lej 8. Muab thawj kab los ntawm plaub thiab rho tawm ntawm kab thib ob. Peb tau xoom.
Tsuas yog tus nqi kawg nkaus - lub caij ntawm kab thib peb ntawm kab thib ob. Qhov no yog tus naj npawb (-1). Txhawm rau tig mus rau xoom, rho tus thib ob los ntawm thawj kab.
Cia peb saib:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Yog li lo lus teb rau txoj haujlwm yog -22.
task 2
Peb yuav tsum nrhiav qhov txiav txim ntawm matrix los ntawm kev coj nws mus rau daim duab peb sab.
Txiv matrixbelongs rau hom square thiab yog matrix ntawm plaub qhov kev txiav txim. Qhov no txhais tau hais tias peb feem ntawm thawj kem, ob feem ntawm kab thib ob, thiab ib feem ntawm kab thib peb yuav tsum raug xoom.
Cia peb pib nws txo los ntawm lub caij nyob rau hauv lub kaum sab laug sab laug - los ntawm tus lej 4. Peb yuav tsum tig tus lej no mus rau xoom. Txoj kev yooj yim tshaj plaws los ua qhov no yog muab cov kab saum toj kawg nkaus los ntawm plaub thiab tom qab ntawd rho tawm ntawm kab plaub. Cia peb sau cov txiaj ntsig ntawm thawj theem ntawm kev hloov pauv.
Yog li, cov khoom ntawm plaub kab yog teem rau xoom. Cia peb txav mus rau thawj lub caij ntawm kab thib peb, mus rau tus lej 3. Peb ua haujlwm zoo sib xws. Muab peb tus thawj kab, rho tawm ntawm kab thib peb thiab sau qhov tshwm sim.
Tom ntej no, peb pom tus lej 2 hauv kab thib ob. Peb rov ua haujlwm: muab cov kab saum toj kawg nkaus los ntawm ob thiab rho tawm ntawm qhov thib ob.
Peb tau tswj hwm kom xoom tag nrho cov khoom ntawm thawj kab ntawm cov square matrix, tshwj tsis yog rau tus lej 1, lub ntsiab ntawm kab pheeb ces kaum uas tsis tas yuav hloov pauv. Tam sim no nws yog ib qho tseem ceeb uas yuav tau khaws cov txiaj ntsig zeros, yog li peb yuav ua kev hloov pauv nrog kab, tsis yog kab. Cia wb mus rau kab thib ob ntawm qhov nthuav qhia matrix.
Cia pib los ntawm hauv qab dua - los ntawm lub caij ntawm kab thib ob ntawm kab kawg. Qhov no yog tus lej (-7). Txawm li cas los xij, hauv qhov no nws yooj yim dua los pib nrog tus lej (-1) - lub caij ntawm kab thib ob ntawm kab thib peb. Txhawm rau tig nws mus rau xoom, rho tawm kab thib ob los ntawm kab thib peb. Tom qab ntawd peb muab kab thib ob los ntawm xya thiab rho tawm ntawm plaub. Peb tau txais xoom es tsis txhob ntawm lub caij nyob rau hauv plaub kab ntawm kab thib ob. Tam sim no cia peb mus rau qhov thib pebcolumn.
Nyob hauv kab ntawv no, peb yuav tsum tig mus rau xoom tsuas yog ib tus lej xwb - 4. Nws yooj yim ua: tsuas yog ntxiv peb mus rau kab kawg thiab pom qhov xoom peb xav tau.
Tom qab tag nrho cov kev hloov pauv, peb tau muab cov ntawv thov matrix rau daim duab peb sab. Tam sim no, txhawm rau nrhiav nws qhov kev txiav txim siab, koj tsuas yog yuav tsum tau muab cov txiaj ntsig ntawm cov kab pheeb ces kaum loj. Peb tau txais: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Yog li ntawd, kev daws yog tus lej 160.
Yog li, tam sim no cov lus nug ntawm kev nqa cov matrix rau daim duab peb sab yuav tsis ua rau koj nyuaj.
Txo rau daim foos nce qib
Hauv kev ua haujlwm theem pib ntawm matrices, daim ntawv kauj ruam yog tsawg "xav tau" dua li daim duab peb sab. Nws yog feem ntau siv los nrhiav cov qib ntawm matrix (piv txwv li, tus naj npawb ntawm nws cov kab uas tsis yog xoom) los yog txiav txim siab linearly dependent thiab ywj siab kab. Txawm li cas los xij, cov kauj ruam matrix saib yog ntau yam, vim nws tsim nyog tsis yog rau hom square xwb, tab sis rau tag nrho lwm tus.
Txhawm rau txo cov matrix mus rau ib daim ntawv teev, koj yuav tsum xub nrhiav nws qhov kev txiav txim. Rau qhov no, cov txheej txheem saum toj no yog tsim nyog. Lub hom phiaj ntawm kev nrhiav tus txiav txim yog kom paub seb nws puas tuaj yeem hloov mus rau hauv kauj ruam matrix. Yog tias tus txiav txim siab ntau dua lossis tsawg dua xoom, ces koj tuaj yeem ua haujlwm yam xyuam xim. Yog tias nws sib npaug rau xoom, nws yuav tsis ua haujlwm kom txo cov matrix mus rau ib daim ntawv stepped. Hauv qhov no, koj yuav tsum tau xyuas seb puas muaj qhov yuam kev hauv cov ntaub ntawv lossis hauv matrix transformations. Yog tias tsis muaj qhov tsis raug, txoj haujlwm yuav daws tsis tau.
Cia saib ua li casnqa cov matrix mus rau ib daim ntawv uas siv cov piv txwv ntawm ob peb txoj haujlwm.
Kev Ua Haujlwm 1. Nrhiav qhov qeb duas ntawm cov lus qhia matrix.
Ua ntej peb yog square matrix ntawm peb qhov kev txiav txim (3x3). Peb paub tias txhawm rau txhawm rau nrhiav qib, nws yog qhov yuav tsum tau txo nws mus rau ib daim ntawv teev npe. Yog li ntawd, peb yuav tsum xub nrhiav tus txiav txim ntawm lub matrix. Siv cov txheej txheem peb sab: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinant=12. Nws yog ntau dua xoom, uas txhais tau hais tias cov matrix tuaj yeem txo mus rau ib daim ntawv stepped. Cia peb pib nws qhov kev hloov pauv.
Cia peb pib nrog lub caij ntawm kab laug sab ntawm kab thib peb - tus lej 2. Muab cov kab saum toj kawg nkaus los ntawm ob thiab rho tawm ntawm qhov thib peb. Ua tsaug rau qhov haujlwm no, ob qho tib si lub caij peb xav tau thiab tus lej 4 - lub caij ntawm kab thib ob ntawm kab thib peb - tig mus rau xoom.
Tom ntej no, tig mus rau xoom lub caij ntawm kab thib ob ntawm thawj kab - tus lej 3. Ua li no, muab cov kab saum toj kawg nkaus los ntawm peb thiab rho tawm ntawm qhov thib ob.
Peb pom tias qhov txo qis tau ua rau peb lub matrix. Hauv peb qhov xwm txheej, kev hloov pauv tsis tuaj yeem txuas ntxiv mus, vim tias cov khoom seem tsis tuaj yeem tig mus rau xoom.
Yog li, peb xaus lus tias cov kab uas muaj cov lej hauv qhov matrix no (lossis nws qib) yog 3. Teb rau txoj haujlwm: 3.
Kev Ua Haujlwm 2. Txiav txim siab tus lej ntawm cov kab uas tsis muaj kev ywj pheej ntawm cov matrix no.
Peb yuav tsum nrhiav cov hlua uas tsis tuaj yeem thim rov qab los ntawm kev hloov pauvmus zero. Qhov tseeb, peb yuav tsum nrhiav tus naj npawb ntawm cov kab uas tsis yog xoom, lossis qib ntawm tus sawv cev matrix. Ua li no, cia peb ua kom yooj yim.
Peb pom cov matrix uas tsis yog rau hom square. Nws muaj qhov ntev 3 x 4. Cia peb pib lub cam khwb cia los ntawm lub caij ntawm lub kaum sab laug qis - tus lej (-1).
Ntxiv kab thawj rau tus thib peb. Tom ntej no, rho tus thib ob los ntawm nws kom tig tus lej 5 mus rau xoom.
Kev hloov pauv ntxiv tsis tuaj yeem ua tsis tau. Yog li, peb txiav txim siab tias tus lej ntawm cov kab kev ywj pheej hauv nws thiab cov lus teb rau txoj haujlwm yog 3.
Tam sim no coj cov matrix rau hauv daim ntawv kauj ruam tsis yog ib txoj haujlwm ua tsis tau rau koj.
Ntawm cov piv txwv ntawm cov haujlwm no, peb tau txheeb xyuas qhov txo qis ntawm matrix mus rau daim duab peb sab thiab daim ntawv kauj ruam. Txhawm rau tshem tawm cov txiaj ntsig xav tau ntawm cov ntxhuav matrix, qee zaum nws yuav tsum tau ua kom pom kev xav thiab hloov pauv lawv cov kab lossis kab. Hmoov zoo hauv lej thiab ua haujlwm nrog matrices!
