Yuav ua li cas thiaj nrhiav tau cov khoom ntawm matrices. Matrix sib npaug. Scalar khoom ntawm matrices. Cov khoom ntawm peb matrices

2024 Tus sau: Angel Austin | [email protected]. Kawg hloov kho: 2023-12-17 05:28

Matrices (cov ntxhuav nrog cov lej) tuaj yeem siv rau ntau qhov kev suav. Ib txhia ntawm lawv yog muab faib los ntawm ib tug zauv, ib tug vector, lwm matrix, ob peb matrices. Cov khoom yog qee zaum tsis raug. Qhov tshwm sim yuam kev yog qhov tshwm sim ntawm qhov tsis paub txog cov cai rau kev ua lej suav. Cia peb kawm seb yuav ua li cas sib npaug.

Matrix thiab tus lej

Cia pib nrog qhov yooj yim tshaj plaws - muab lub rooj nrog cov lej los ntawm tus nqi tshwj xeeb. Piv txwv li, peb muaj ib tug matrix A nrog cov ntsiab lus a_ij (kuv yog kab zauv thiab j yog kab zauv) thiab tus lej e. Cov khoom ntawm matrix los ntawm tus lej e yuav yog matrix B nrog cov ntsiab lus b_ij, uas pom los ntawm cov mis:

b_ij=e × a_ij.

T. e. kom tau lub ntsiab b₁₁ koj yuav tsum coj lub caij a₁₁ thiab muab nws los ntawm tus lej xav tau, kom tau b ₁₂ yuav tsum nrhiav cov khoom ntawm lub caij a ₁₂ thiab tus lej e, thiab lwm yam.

Cia peb daws qhov teeb meem thib 1 hauv daim duab. Kom tau txais matrix B, tsuas yog muab cov ntsiab lus los ntawm A los ntawm 3:

1. a₁₁ × 3=18. Peb sau tus nqi no rau hauv matrix B ntawm qhov chaw uas kab No. 1 thiab kab No. 1 sib tshuam.
2. a₂₁ × 3=15. We got element b₂₁.
3. a₁₂ × 3=-6. Peb tau txais lub ntsiab b₁₂. Peb sau rau hauv matrix B ntawm qhov chaw uas kab 2 thiab kab 1 sib tshuam.
4. a₂₂ × 3=9. This result is element b₂₂.
5. a₁₃ × 3=12. Sau tus lej no rau hauv matrix rau ntawm lub caij b₁₃.
6. a₂₃ × 3=-3. Tus lej kawg tau txais yog element b₂₃.

Yog li, peb tau txais cov duab plaub nrog cov lej.

18	–6	12
15	9	–3

Vectors thiab cov xwm txheej rau lub neej ntawm cov khoom ntawm matrices

Hauv kev qhuab qhia lej, muaj qhov zoo li "vector". Lo lus no yog hais txog ib qho kev txiav txim ntawm qhov tseem ceeb ntawm a₁ rau a . Lawv hu ua vector space coordinates thiab sau ua ke. Kuj tseem muaj lo lus "transposed vector". Nws cov khoom yog teem raws li ib txoj hlua.

Vectors tuaj yeem hu ua matrices:

• kem vector yog matrix ua los ntawm ib kem;
• kab vector yog matrix uas suav nrog ib kab xwb.

Thaum ua tiavdhau matrices ntawm kev ua haujlwm sib npaug, nws yog ib qho tseem ceeb uas yuav tsum nco ntsoov tias muaj qhov xwm txheej rau qhov muaj nyob ntawm cov khoom. Kev ua lej A × B tuaj yeem ua tau tsuas yog thaum tus naj npawb ntawm kab hauv cov lus A yog sib npaug ntawm cov kab hauv cov lus B. Cov txiaj ntsig tau tshwm sim los ntawm kev suav ib txwm muaj cov lej ntawm kab hauv kab A thiab cov lej ntawm kab. hauv rooj B.

Thaum muab ntau, nws tsis pom zoo kom rov muab cov matrices (multipliers). Lawv cov khoom feem ntau tsis sib haum mus rau txoj cai commutative (tshem tawm) txoj cai ntawm kev sib npaug, piv txwv li qhov tshwm sim ntawm kev ua haujlwm A × B tsis sib npaug rau qhov tshwm sim ntawm kev ua haujlwm B × A. Qhov no yog hu ua qhov tsis sib xws ntawm cov khoom ntawm matrices. Qee zaum, qhov tshwm sim ntawm qhov sib npaug A × B yog sib npaug rau qhov txiaj ntsig ntawm qhov sib npaug B × A, piv txwv li, cov khoom sib txuas. Matrices uas qhov sib npaug A × B=B × A tuav yog hu ua permutation matrices. Saib cov piv txwv ntawm cov lus hauv qab no.

Multiplication by a kab vector

Thaum muab lub matrix los ntawm kab vector, peb yuav tsum coj mus rau hauv tus account qhov xwm txheej rau qhov muaj nyob ntawm cov khoom. Tus naj npawb ntawm kab (n) nyob rau hauv lub rooj yuav tsum phim tus naj npawb ntawm cov kev sib koom ua ke uas tsim cov vector. Qhov tshwm sim ntawm kev suav yog qhov hloov pauv vector. Nws tus naj npawb ntawm kev tswj xyuas yog sib npaug rau cov kab (m) ntawm lub rooj.

Yuav ua li cas ua haujlwm ntawm vector y xam yog tias muaj matrix A thiab vector x? Rau kev suav cov qauv tsim:

y₁=a₁₁x₁ + a₁₂ x₂ + … + a₁ x , y₂=a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a 2n_x,

………………………………………, y_m=a_m1x₁ + a_{m2 x}2 _{+ … + a}mn_x ,

qhov twg x₁, …, x yog kev tswj hwm los ntawm x-vector, m yog tus lej ntawm kab hauv matrix thiab tus lej ntawm kev tswj hwm hauv y- vector tshiab, n yog tus lej ntawm kab hauv matrix thiab tus lej ntawm kev tswj hwm hauv x-vector, a₁₁, a_{12, …, a}mn– cov ntsiab lus ntawm matrix A.

Yog li, kom tau txais qhov i-th tivthaiv ntawm cov vector tshiab, cov khoom lag luam tau ua tiav. Tus i-th kab vector yog muab los ntawm matrix A, thiab nws muab ntau dua los ntawm cov vector x.

Cia peb daws qhov teeb meem 2. Koj tuaj yeem pom cov khoom ntawm matrix thiab vector vim A muaj 3 kab thiab x muaj 3 pawg. Yog li ntawd, peb yuav tsum tau ib kab vector nrog 4 coordinates. Cia peb siv cov qauv saum toj no:

1. Compute y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Tus nqi kawg yog 2.
2. Compute y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Thaum xam, peb tau 0.
3. Compute y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Cov txiaj ntsig ntawm cov khoom ntawm cov ntsiab lus qhia yog 6.
4. Compute y₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Tus tswj xyuas yog -8.

Law vector-matrix multiplication

Koj tsis tuaj yeem muab cov matrix nrog ntau kab los ntawm kab vector. Nyob rau hauv cov ntaub ntawv no, tus mob rau lub hav zoov ntawm kev ua hauj lwm tsis txaus siab. Tab sis kev sib npaug ntawm kab vector los ntawm matrix yog ua tau. Qhov nokev ua haujlwm suav yog ua thaum tus naj npawb ntawm kev tswj hwm hauv vector thiab tus lej ntawm kab hauv lub rooj sib tw. Qhov tshwm sim ntawm cov khoom ntawm ib tug vector thiab ib tug matrix yog ib tug tshiab kab vector. Nws tus naj npawb ntawm kev tswj xyuas yuav tsum sib npaug ntawm cov kab hauv kab hauv matrix.

Kev xam thawj qhov kev sib koom tes ntawm tus vector tshiab suav nrog kev muab cov kab vector thiab thawj kab vector los ntawm lub rooj. Qhov thib ob coordinate yog xam nyob rau hauv ib tug zoo xws li txoj kev, tab sis es tsis txhob ntawm thawj kab vector, lub thib ob kab vector yog coj. Ntawm no yog cov qauv dav dav rau kev xam cov haujlwm:

y_k=a_1kx₁ +a_2kx₂ + … + a_mkx _m, qhov twg y_k yog kev sib koom tes los ntawm y-vector, (k yog nruab nrab ntawm 1 thiab n), m yog tus lej ntawm kab hauv matrix thiab tus lej ntawm kev tswj hwm nyob rau hauv x-vector, n yog tus naj npawb ntawm kab hauv matrix thiab tus naj npawb ntawm kev sib koom ua ke hauv y-vector, nrog alphanumeric indices yog cov ntsiab lus ntawm matrix A.

khoom ntawm cov duab plaub

Qhov kev suav no yuav zoo li nyuaj. Txawm li cas los xij, kev sib faib tau yooj yim ua tiav. Cia peb pib nrog lub ntsiab lus. Cov khoom ntawm matrix A nrog m kab thiab n kab thiab matrix B nrog n kab thiab p kab yog matrix C nrog m kab thiab p kab, nyob rau hauv uas lub caij c _ijyog sum ntawm cov khoom ntawm cov ntsiab lus i-th kab ntawm lub rooj A thiab j-th kab los ntawm lub rooj B. Hauv cov ntsiab lus yooj yim, lub caij c_ij yog cov khoom lag luam ntawm i-th kab. vector ntawm table A thiab j-th kab vector los ntawm rooj B.

Tam sim no cia peb xam tawm hauv kev xyaum yuav ua li cas thiaj nrhiav tau cov khoom ntawm cov duab plaub. Cia peb daws qhov teeb meem No. 3 rau qhov no. Cov xwm txheej rau lub neej ntawm cov khoom txaus siab. Wb pib xam lub ntsiab c_ij:

1. Matrix C yuav muaj 2 kab thiab 3 kab.
2. Xaiv element c₁₁. Ua li no, peb ua cov khoom scalar ntawm kab No. 1 los ntawm matrix A thiab kem No. 1 los ntawm matrix B. c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Tom qab ntawd peb mus rau hauv txoj kev zoo sib xws, hloov tsuas yog kab, kab (nyob ntawm qhov ntsuas qhov ntsuas).
3. c₁₂=12.
4. c₁₃=9.
5. c₂₁=31.
6. c₂₂=18.
7. c₂₃=36.

Cov ntsiab lus suav nrog. Tam sim no nws tseem tsuas yog ua ib daim duab plaub ntawm tus lej tau txais.

16	12	9
31	18	36

Multiplication ntawm peb matrices: theoretical part

Koj puas tuaj yeem pom cov khoom ntawm peb qhov matrices? Qhov kev ua haujlwm suav no ua tau. Cov txiaj ntsig tuaj yeem tau txais ntau txoj hauv kev. Piv txwv li, muaj 3 lub rooj square (ntawm tib qhov kev txiav txim) - A, B thiab C. Los xam cov khoom, koj tuaj yeem:

1. Multiply A thiab B ua ntej. Ces muab qhov tshwm sim los ntawm C.
2. Ua ntej nrhiav qhov khoom ntawm B thiab C. Ces muab cov matrix A los ntawm qhov tshwm sim.

Yog tias koj xav tau ntau cov duab plaub, ces ua ntej koj yuav tsum tau ua kom paub tseeb tias qhov kev ua haujlwm suav no ua tau. Yuav tsumcov khoom A × B thiab B × C muaj.

Kev nce ntxiv tsis yog yuam kev. Muaj xws li ib yam li "associativity ntawm matrix multiplication". Lo lus no hais txog qhov sib npaug (A × B) × C=A × (B × C).

Peb Matrix Kev Sib Tw Sib Tw

Square matrices

Pib los ntawm kev sib faib me me square matrices. Daim duab hauv qab no qhia txog qhov teeb meem 4, uas peb yuav tsum tau daws.

Peb yuav siv cov cuab yeej koom ua ke. Ua ntej peb muab A thiab B, lossis B thiab C. Peb nco ntsoov ib yam: koj tsis tuaj yeem sib pauv yam, uas yog, koj tsis tuaj yeem muab B × A lossis C × B. qhov tshwm sim yuam kev.

Kev txiav txim siab nce qib.

Kauj Ruam Ib. Txhawm rau nrhiav cov khoom lag luam, peb ua ntej muab A los ntawm B. Thaum muab ob lub matrices, peb yuav raug coj los ntawm cov cai uas tau teev tseg saum toj no. Yog li, qhov tshwm sim ntawm kev sib faib A thiab B yuav yog matrix D nrog 2 kab thiab 2 kab, piv txwv li ib lub duab plaub yuav suav nrog 4 yam. Cia peb nrhiav tau lawv los ntawm kev suav:

• d₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30;
• d₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10;
• d₂₁=3 × 1 + 2 × 6=15;
• d₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

Intermediate result ready.

30	10
15	16

Kauj Ruam 2. Tam sim no cia peb muab cov matrix D los ntawm matrix C. Qhov tshwm sim yuav tsum yog square matrix G nrog 2 kab thiab 2 kab. Xam cov ntsiab lus:

• g₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250;
• g₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180;
• g₂₁=15 × 8 + 16 × 1=136;
• g₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123.

Yog li, qhov tshwm sim ntawm cov khoom ntawm square matrices yog lub rooj G nrog cov ntsiab lus suav.

250	180
136	123

Rectangular matrices

Daim duab hauv qab no qhia txog qhov teeb meem 5. Nws yuav tsum muab cov duab plaub sib npaug thiab nrhiav kev daws teeb meem.

Cia saib seb qhov xwm txheej ntawm cov khoom lag luam A × B thiab B × C puas txaus siab. Cia peb pib daws qhov teeb meem.

Kev txiav txim siab nce qib.

Kauj Ruam Ib. Multiply B los ntawm C kom tau D. Matrix B muaj 3 kab thiab 4 kab, thiab matrix C muaj 4 kab thiab 2 kab. Qhov no txhais tau tias peb yuav tau txais matrix D nrog 3 kab thiab 2 kab. Cia peb suav cov ntsiab lus. Nov yog 2 qhov piv txwv suav:

• d₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
• d₁₂=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.

Peb tseem yuav daws qhov teeb meem. Raws li kev suav ntxiv, peb pom cov txiaj ntsig d₂₁, d₂ 2, d₃₁ thiab d₃₂. Cov ntsiab lus no yog 0, 19, 1 thiab 11 feem. Wb sau qhov pom qhov tseem ceeb rau hauv cov duab plaub.

0	7
0	19
1	11

Kauj Ruam 2. Muab A los ntawm D kom tau qhov kawg matrix F. Nws yuav muaj 2 kab thiab 2 kab. Xam cov ntsiab lus:

• f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
• f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
• f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
• f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.

Compose ib daim duab plaub, uas yog qhov kawg ntawm kev muab peb cov matrices.

1	139
3	52

Taw qhia rau kev ua haujlwm ncaj qha

Zoo heev to taub cov khoom yog Kronecker khoom ntawm matrices. Nws kuj muaj lub npe ntxiv - ua haujlwm ncaj qha. Lo lus no txhais li cas? Wb hais tias peb muaj rooj A ntawm kev txiav txim m × n thiab rooj B ntawm kev txiav txim p × q. Cov khoom ncaj qha ntawm matrix A thiab matrix B yog matrix ntawm kev txiav txim mp × nq.

Peb muaj 2 square matrices A, B, uas muaj nyob rau hauv daim duab. Qhov thib ib muaj 2 kab thiab 2 kab, thiab qhov thib ob muaj 3 kab thiab 3 kab. Peb pom tias cov matrix tshwm sim los ntawm cov khoom ncaj qha muaj 6 kab thiab raws nraim tib tus naj npawb ntawm kab.

Cov ntsiab lus ntawm cov matrix tshiab suav nrog hauv cov khoom ncaj qha li cas? Nrhiav cov lus teb rau lo lus nug no yooj yim heev yog tias koj txheeb xyuas daim duab. Ua ntej sau thawj kab. Coj thawj lub ntsiab lus los ntawm kab saum toj kawg nkaus ntawm lub rooj A thiab ua ntu zus los ntawm cov ntsiab lus ntawm thawj kablos ntawm lub rooj B. Tom ntej no, coj cov khoom thib ob ntawm thawj kab ntawm lub rooj A thiab ua ntu zus los ntawm cov ntsiab lus ntawm thawj kab ntawm lub rooj B. Txhawm rau sau cov kab thib ob, coj thawj lub ntsiab lus los ntawm thawj kab ntawm lub rooj A dua thiab muab nws los ntawm cov ntsiab lus ntawm kab thib ob ntawm lub rooj B.

Qhov kawg matrix tau los ntawm cov khoom ncaj qha hu ua block matrix. Yog tias peb txheeb xyuas daim duab dua, peb tuaj yeem pom tias peb qhov txiaj ntsig muaj 4 blocks. Tag nrho cov no suav nrog cov ntsiab lus ntawm matrix B. Tsis tas li ntawd, ib lub ntsiab ntawm txhua qhov thaiv yog muab faib los ntawm ib qho tshwj xeeb ntawm matrix A. Hauv thawj ntu, tag nrho cov ntsiab lus tau muab faib ua_{11, hauv thib ob - by a}12, nyob rau hauv thib peb - ntawm a₂₁, hauv plaub - ntawm a₂₂.

khoom txiav txim siab

Thaum xav txog lub ntsiab lus ntawm matrix sib npaug, nws tsim nyog xav txog cov ntsiab lus xws li "tus txiav txim siab ntawm cov khoom ntawm matrices". Dab tsi yog tus txiav txim? Qhov no yog ib qho tseem ceeb yam ntxwv ntawm lub square matrix, ib tug tej yam nqi uas muab rau no matrix. Lub literal designation ntawm tus determinant yog det.

Rau lub matrix A uas muaj ob kab thiab ob kab, qhov kev txiav txim siab nrhiav tau yooj yim. Muaj cov qauv me me uas yog qhov sib txawv ntawm cov khoom ntawm cov ntsiab lus tshwj xeeb:

det A=a₁₁ × a₂₂ - a₁₂ × a₂₁.

Cia peb xav txog ib qho piv txwv ntawm kev xam qhov txiav txim rau lub rooj thib ob. muaj matrix A uas a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=5 thiab a22_{=1. Txhawm rau xam qhov ntsuas, siv tus qauv:}

det A=2 × 1 - 3 × 5=2 – 15=–13.

Rau 3 × 3 matrices, tus txiav txim siab yog suav nrog cov qauv siv ntau dua. Nws tau nthuav tawm hauv qab no rau matrix A:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃ + a_{12 a}23_a31 _{+ a}13_a21_{a 32} – a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁ a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁ a₃₃.

Kom nco ntsoov cov qauv, peb tuaj nrog txoj cai peb sab, uas yog qhia hauv daim duab. Ua ntej, cov ntsiab lus ntawm lub ntsiab kab pheeb ces kaum yog multiplied. Cov khoom ntawm cov ntsiab lus qhia los ntawm cov ces kaum ntawm daim duab peb sab nrog liab sab yog ntxiv rau qhov tau txais txiaj ntsig. Tom ntej no, cov khoom ntawm lub ntsiab ntawm kab pheeb ces kaum yog rho tawm thiab cov khoom ntawm cov ntsiab lus qhia los ntawm cov ces kaum ntawm daim duab peb sab nrog xiav sab yog rho tawm.

Tam sim no cia peb tham txog qhov kev txiav txim ntawm cov khoom ntawm matrices. Muaj ib lub theorem uas hais tias qhov ntsuas no yog sib npaug rau cov khoom ntawm cov determinants ntawm cov lus sib npaug. Cia peb txheeb xyuas qhov no nrog ib qho piv txwv. Peb muaj matrix A nrog nkag a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 thiab a22_{=1 and matrix B with entries b}11_{=4, b}12_{=5, b} 21 _{=1 and b}22_{=2. Nrhiav cov kev txiav txim rau cov matrices A thiab B, cov khoom A × B thiab qhov txiav txim ntawm cov khoom no.}

Kev txiav txim siab nce qib.

Kauj Ruam Ib. Xam cov kev txiav txim rau A: det A=2 × 1 - 3 × 1=-1. Tom ntej no, xam qhov txiav txim rau B: det B=4 × 2 - 5 × 1=3.

Kauj Ruam 2. Wb nrhiavcov khoom A × B. Qhia cov matrix tshiab los ntawm tsab ntawv C. Xam nws cov ntsiab lus:

• c₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11;
• c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16;
• c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5;
• c₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

Kauj Ruam 3. Xuas tus txiav txim rau C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Sib piv nrog tus nqi uas tuaj yeem tau txais los ntawm kev muab cov kev txiav txim siab ntawm cov matrices qub. Cov lej yog tib yam. Cov theorem saum toj no muaj tseeb.

khoom qeb

Qhov qeb duas ntawm matrix yog tus yam ntxwv uas qhia txog qhov siab tshaj plaws ntawm cov kab ncaj nraim los yog kab. Txhawm rau xam cov qib, kev hloov pauv theem pib ntawm matrix tau ua:

• rearrangement of two parallel rows;
• muab tag nrho cov ntsiab lus ntawm ib kab ntawm lub rooj los ntawm tus lej tsis yog xoom;
• ntxiv rau cov ntsiab lus ntawm ib kab ntawm cov ntsiab lus los ntawm lwm kab, muab faib los ntawm tus lej tshwj xeeb.

Tom qab kev hloov pauv theem pib, saib tus lej ntawm cov hlua uas tsis yog xoom. Lawv tus lej yog qib ntawm matrix. Xav txog qhov piv txwv yav dhau los. Nws nthuav tawm 2 matrices: A nrog cov ntsiab lus a₁₁=2, a₁₂=3, a ₂₁=1 thiab a₂₂=1 thiab B nrog cov ntsiab lus b₁₁=4, b₁₂=5, b ₂₁=1 thiab b₂₂=2. Peb kuj yuav siv cov matrix C tau los ntawm kev sib npaug. Yog tias peb ua qhov hloov pauv theem pib, ces yuav tsis muaj kab xoom hauv cov matrices yooj yim. Qhov no txhais tau hais tias ob qib ntawm lub rooj A, thiab qib ntawm lub rooj B, thiab qibrooj C yog 2.

Tam sim no cia peb them tshwj xeeb rau qib ntawm cov khoom ntawm matrices. Muaj ib txoj kev xav hais tias qhov qeb duas ntawm cov khoom ntawm cov ntxhuav uas muaj cov lej tsis tshaj qhov qeb duas ntawm ib qho ntawm cov xwm txheej. Qhov no tuaj yeem ua pov thawj. Cia A ua k × s matrix thiab B ua s × m matrix. Cov khoom ntawm A thiab B yog sib npaug rau C.

Cia peb kawm daim duab saum toj no. Nws qhia thawj kab ntawm matrix C thiab nws cov lus yooj yim. Kab lus no yog ib qho kev sib xyaw ua ke ntawm cov kab uas muaj nyob rau hauv matrix A. Ib yam li ntawd, ib qho tuaj yeem hais txog lwm kem los ntawm cov duab plaub C. Yog li, lub subspace tsim los ntawm kab vectors ntawm lub rooj C yog nyob rau hauv lub subspace tsim los ntawm lub kem vectors ntawm lub rooj A. Yog li no, qhov dimension ntawm subspace No. 1 tsis tshaj qhov dimension ntawm subspace No. 2. Qhov no txhais tau hais tias cov qeb nyob rau hauv txhua kab ntawm lub rooj C tsis tshaj qhov qeb duas nyob rau hauv txhua kab ntawm lub rooj A, i.e., r(C) ≦ r(A). Yog tias peb sib cav ib yam, peb tuaj yeem ua kom paub tseeb tias kab ntawm matrix C yog cov kab sib txuas ntawm kab ntawm matrix B. Qhov no txhais tau tias qhov tsis sib xws r(C) ≦ r(B).

Yuav ua li cas thiaj nrhiav tau cov khoom ntawm matrices yog ib lub ntsiab lus nyuaj. Nws tuaj yeem paub tau yooj yim, tab sis kom ua tiav qhov txiaj ntsig zoo li no, koj yuav tsum siv sijhawm ntau los nco txog tag nrho cov kev cai thiab theorems uas twb muaj lawm.