Dab tsi yog tus lej tsis sib haum? Vim li cas lawv thiaj hu li ntawd? Lawv siv qhov twg thiab lawv yog dab tsi? Tsawg tus tuaj yeem teb cov lus nug no yam tsis muaj hesitation. Tab sis qhov tseeb, cov lus teb rau lawv yog qhov yooj yim heev, txawm hais tias tsis yog txhua tus xav tau lawv thiab nyob rau qhov xwm txheej tsawg heev
Qhov tseem ceeb thiab lub npe
Irrational cov lej yog cov lej tsis kawg uas tsis yog cov zauv feem. Qhov xav tau los qhia txog lub tswv yim no yog vim qhov tseeb tias yav dhau los cov ntsiab lus uas twb muaj lawm ntawm qhov tseeb lossis qhov tseeb, tus lej suav, ntuj thiab cov lej tsis txaus los daws cov teeb meem tshiab. Piv txwv li, txhawm rau xam seb qhov square ntawm 2 yog dab tsi, koj yuav tsum siv cov zauv uas tsis muaj qhov kawg. Tsis tas li ntawd, ntau qhov sib npaug yooj yim kuj tsis muaj kev daws teeb meem yam tsis qhia lub tswv yim ntawm tus lej tsis sib haum.
Cov teeb no yog suav tias yog I. Thiab, raws li twb tau hais meej lawm, cov txiaj ntsig no tsis tuaj yeem sawv cev raws li ib feem yooj yim, hauv tus lej uas yuav muaj tus lej, thiab hauv tus lej - tus lej ntuj.
Thawj zaug puas tautxwv tsis pub, Indian lej tau ntsib qhov tshwm sim no nyob rau xyoo pua 7 BC, thaum nws tau pom tias lub hauv paus square ntawm qee qhov tsis tuaj yeem qhia meej. Thiab thawj cov pov thawj ntawm lub neej ntawm cov lej no yog ntaus nqi rau Pythagorean Hippasus, uas tau ua qhov no hauv cov txheej txheem ntawm kev kawm ib qho isosceles txoj cai peb sab. Ib qho kev pabcuam loj rau kev kawm ntawm cov txheej txheem no tau ua los ntawm qee tus kws tshawb fawb uas nyob ua ntej peb lub sijhawm. Kev taw qhia txog lub tswv yim ntawm cov lej tsis sib haum xeeb tau hloov kho ntawm cov lej uas twb muaj lawm, uas yog vim li cas lawv tseem ceeb heev.
Yog qhov piv hauv Latin txhais tau tias "feem", "ratio", ces lub npe "ir"
muab lo lus no lub ntsiab lus. Yog li, lub npe ntawm cov txheej txheem ntawm cov lej no qhia tias lawv tsis tuaj yeem cuam tshuam nrog tus lej lossis feem ntau, lawv muaj qhov sib cais. Qhov no yog los ntawm lawv cov ntsiab lus.
Qhov chaw hauv tag nrho kev faib tawm
Cov lej tsis txaus ntseeg, nrog rau cov lej sib piv, suav nrog pawg ntawm cov lej tiag lossis tus lej tiag, uas dhau los ua tus lej nyuaj. Tsis muaj subsets, txawm li cas los xij, muaj ntau hom algebraic thiab transcendental, uas yuav tau tham hauv qab no.
Properties
Vim cov lej tsis sib haum xeeb yog ib feem ntawm cov lej tiag tiag, tag nrho lawv cov khoom uas tau kawm hauv lej (lawv kuj hu ua cov kev cai lij choj yooj yim algebraic) siv rau lawv.
a + b=b + a (commutativity);
(a + b) + c=a + (b + c)(associativity);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (qhov muaj nyob ntawm tus lej rov qab);
ab=ba (displacement law);
(ab)c=a(bc) (kev faib tawm);
a(b+c)=ab + ac (distributive law);
a x 1=a
a x 1/a=1 (lub neej ntawm tus lej inverse);
Kev sib piv kuj tau ua raws li cov cai thiab cov hauv paus ntsiab lus:
Yog > b thiab b > c, ces > c (kev hloov pauv ntawm qhov piv) thiab. etc.
Tau kawg, txhua tus lej tsis sib haum tuaj yeem hloov pauv tau siv cov lej lej yooj yim. Tsis muaj cov cai tshwj xeeb rau qhov no.
Ntxiv rau, axiom ntawm Archimedes siv rau cov lej tsis sib haum. Nws hais tias rau ob qhov ntau a thiab b, nqe lus yog qhov tseeb tias los ntawm kev siv lub sijhawm txaus, koj tuaj yeem hla b.
Siv
Txawm hais tias hauv lub neej zoo tib yam koj tsis tas yuav cuam tshuam nrog lawv, cov lej tsis muaj txiaj ntsig suav tsis tau. Muaj ntau ntau, tab sis lawv yuav luag tsis pom. Peb nyob ib puag ncig los ntawm irrational tooj nyob txhua qhov chaw. Piv txwv li paub rau txhua tus yog tus lej pi, sib npaug rau 3, 1415926 …, lossis e, uas yog qhov tseem ceeb ntawm lub hauv paus ntawm lub logarithm, 2, 718281828 … Hauv algebra, trigonometry thiab geometry, lawv yuav tsum tau siv tas li.. Los ntawm txoj kev, tus nqi nto moo ntawm "kub seem", uas yog, qhov sib piv ntawm ob qhov loj dua rau qhov me, thiab lwm yam, kuj yog
belongs rau cov teeb no. Lesser known "silver" - too.
Lawv nyob ruaj khov rau ntawm tus lej kab, yog li ntawm ob qhov txiaj ntsig ntsig txog cov txheej txheem tsim nyog, qhov tsis txaus ntseeg yuav tshwm sim.
Tseem muaj ntau yam teeb meem tsis daws teeb meem ntsig txog cov teeb no. Muaj cov qauv zoo li qhov ntsuas ntawm irrationality thiab normality ntawm tus lej. Cov lej suav txuas ntxiv tshuaj xyuas cov piv txwv tseem ceeb tshaj plaws rau lawv cov koom nrog ib pawg lossis lwm qhov. Piv txwv li, nws ntseeg tau tias e yog tus lej ib txwm, uas yog, qhov tshwm sim ntawm cov lej sib txawv tshwm sim hauv nws cov ntaub ntawv yog tib yam. Raws li rau pi, kev tshawb fawb tseem tab tom ua txog nws. Ib qho kev ntsuas ntawm irrationality tseem hu ua tus nqi qhia tias qhov no lossis tus lej ntawd tuaj yeem kwv yees los ntawm tus lej rational.
Algebraic thiab transcendental
Raws li twb tau hais lawm, cov lej tsis sib haum xeeb tau muab faib ua algebraic thiab transcendental. Conditionally, txij li hais lus nruj me ntsis, qhov kev faib tawm no yog siv los faib cov teeb C.
Qhov kev xaiv no zais cov lej nyuaj, uas suav nrog tus lej tiag lossis tus lej tiag.
Yog li, tus nqi algebraic yog tus nqi uas yog lub hauv paus ntawm ib lub npe uas tsis zoo ib yam sib npaug rau xoom. Piv txwv li, lub hauv paus square ntawm 2 yuav nyob rau hauv pawg no vim nws yog kev daws rau qhov sib npaug x2 - 2=0.
Txhua lwm tus lej tiag uas tsis ua raws li tus mob no hu ua transcendental. Rau qhov ntau yam nosuav nrog cov piv txwv nto moo tshaj plaws thiab twb tau hais tseg - tus lej pi thiab lub hauv paus ntawm lub logarithm ntuj e.
Ntxim qab kawg, tsis yog ib tug los yog tus thib ob yog thawj zaug txiav tawm los ntawm cov lej hauv lub peev xwm no, lawv qhov kev tsis sib haum xeeb thiab kev hloov pauv tau raug pov thawj ntau xyoo tom qab lawv tshawb pom. Rau pi, cov pov thawj tau muab rau hauv 1882 thiab yooj yim hauv 1894, uas xaus rau 2,500-xyoo kev sib cav txog qhov teeb meem ntawm squaring lub voj voog. Nws tseem tsis tau paub meej, yog li cov lej niaj hnub no muaj qee yam ua haujlwm. Los ntawm txoj kev, thawj qhov tseeb txaus xam ntawm tus nqi no tau ua los ntawm Archimedes. Ua ntej nws, txhua qhov kev suav tau kwv yees dhau lawm.
Rau e (tus lej Euler lossis Napier), pov thawj ntawm nws qhov kev hla dhau los tau pom nyob rau xyoo 1873. Nws yog siv los daws qhov sib npaug ntawm logarithmic.
Lwm cov piv txwv muaj xws li sine, cosine, thiab tangent tus nqi rau ib qho algebraic uas tsis yog xoom tus nqi.
