Kab lus no yuav tsom mus rau ntu tshwj xeeb ntawm kev ua lej hu ua combinatorics. Cov qauv, cov cai, cov piv txwv ntawm kev daws teeb meem - tag nrho cov no koj tuaj yeem nrhiav tau ntawm no los ntawm kev nyeem cov ntawv mus rau qhov kawg.
Yog li, nqe lus no yog dab tsi? Combinatorics cuam tshuam nrog qhov teeb meem ntawm suav txhua yam khoom. Tab sis qhov no, cov khoom tsis yog plums, pears lossis txiv apples, tab sis lwm yam. Combinatorics pab peb pom qhov tshwm sim ntawm qhov tshwm sim. Piv txwv li, thaum ua si phaib, qhov tshwm sim yog dab tsi uas tus neeg sib tw muaj trump card? Los yog xws li ib tug piv txwv - dab tsi yog qhov tshwm sim uas koj yuav tau txais raws nraim dawb los ntawm ib lub hnab ntawm nees nkaum pob? Nws yog rau cov haujlwm no uas peb yuav tsum paub tsawg kawg yog cov hauv paus ntsiab lus ntawm kev ua lej no.
Kev sib koom ua ke
Xav txog qhov teeb meem ntawm cov ntsiab lus tseem ceeb thiab cov qauv ntawm combinatorics, peb tsis tuaj yeem tab sis xyuam xim rau kev teeb tsa combinatorial. Lawv yog siv tsis tau tsuas yog rau formulation, tab sis kuj los daws ntau yam teeb meem combinatorial. Piv txwv ntawm cov qauv no yog:
- qhov chaw;
- permutation;
- kev sib koom;
- ntaus ntawv;
- sib naj npawb.
Peb yuav tham txog thawj peb qhov kev nthuav dav ntxiv tom qab, tab sis peb yuav ua tib zoo mloog rau qhov sib xyaw thiab sib cais hauv ntu no. Thaum lawv tham txog qhov muaj pes tsawg leeg ntawm ib tus lej (hais, a), lawv txhais tau tias tus sawv cev ntawm tus lej a raws li kev txiav txim ntawm qee tus lej zoo. Thiab kev sib cais yog qhov tsis tau txiav txim.
Sections
Ua ntej peb mus ncaj qha rau cov qauv ntawm combinatorics thiab kev txiav txim siab ntawm cov teeb meem, nws tsim nyog ua tib zoo saib xyuas qhov tseeb tias combinatorics, zoo li lwm ntu ntawm kev ua lej, muaj nws cov ntu ntu. Cov no suav nrog:
- suav;
- qauv;
- extreme;
- Ramsey txoj kev xav;
- probabilistic;
- topological;
- infinite.
Nyob rau hauv thawj rooj plaub, peb tab tom tham txog enumerative combinatorics, cov teeb meem xav txog enumeration los yog suav cov configurations sib txawv uas yog tsim los ntawm cov ntsiab lus. Raws li txoj cai, qee qhov kev txwv yog txwv rau cov teeb tsa no (qhov txawv txav, tsis paub qhov txawv, muaj peev xwm rov ua dua, thiab lwm yam). Thiab tus naj npawb ntawm cov kev teeb tsa no suav nrog siv txoj cai ntawm kev sib ntxiv lossis sib npaug, uas peb yuav tham txog me ntsis tom qab. Cov txheej txheem combinatorics suav nrog cov kev xav ntawm cov duab thiab matroids. Ib qho piv txwv ntawm qhov teeb meem combinatorics heev yog dab tsi yog qhov loj tshaj plaws ntawm daim duab uas txaus siab rau cov khoom nram qab no… Hauv kab lus plaub, peb tau hais txog Ramsey txoj kev xav, uas kawm txog qhov muaj cov qauv tsis tu ncua hauv kev teeb tsa random. Yam yuav tshwm simcombinatorics muaj peev xwm teb cov lus nug - dab tsi yog qhov tshwm sim uas ib lub teeb muab muaj qee yam khoom. Raws li koj tuaj yeem twv, topological combinatorics siv cov txheej txheem hauv topology. Thiab thaum kawg, lub ntsiab lus thib xya - infinitary combinatorics kawm txog daim ntawv thov ntawm combinatorics txoj kev rau infinite sets.
Txoj cai ntxiv
Ntawm cov qauv ntawm combinatorics, ib qho tuaj yeem nrhiav tau yooj yim heev, uas peb tau paub ntev. Ib qho piv txwv yog txoj cai sum. Piv txwv tias peb tau txais ob qho kev ua (C thiab E), yog tias lawv sib koom ua ke, kev ua C tuaj yeem ua tau ntau txoj hauv kev (piv txwv li, a), thiab kev ua E tuaj yeem ua tiav hauv b, tom qab ntawd ib qho ntawm lawv (C los yog E) tuaj yeem ua tiav hauv ib txoj hauv kev + b.
Hauv txoj kev xav, qhov no nyuaj rau kev nkag siab, peb yuav sim qhia tag nrho cov ntsiab lus nrog piv txwv yooj yim. Cia peb coj tus naj npawb nruab nrab ntawm cov tub ntxhais kawm hauv ib chav kawm - cia peb hais tias nws yog nees nkaum tsib. Ntawm lawv yog kaum tsib tus ntxhais thiab kaum tus tub. Ib tug neeg saib xyuas raug muab rau hauv chav kawm txhua hnub. Muaj pes tsawg txoj hauv kev los muab ib tus neeg tuaj koom hauv chav kawm hnub no? Txoj kev daws teeb meem yog qhov yooj yim heev, peb yuav siv txoj cai ntxiv. Cov ntawv nyeem tsis tau hais tias tsuas yog cov tub thiab cov ntxhais xwb thiaj ua tau haujlwm. Yog li ntawd, nws tuaj yeem yog ib qho ntawm kaum tsib tus ntxhais lossis ib qho ntawm kaum tus tub. Ua raws li txoj cai sum, peb tau txais ib qho piv txwv yooj yooj yim uas cov tub ntxhais kawm hauv tsev kawm theem pib tau yooj yim tiv nrog: 15 + 10. Muaj kev suav, peb tau txais cov lus teb: nees nkaum tsib. Qhov ntawd yog, tsuas muaj nees nkaum tsib txoj kev xwbmuab chav ua haujlwm rau hnub no.
txoj cai ntau ntau
Txoj cai ntawm kev sib faib kuj yog rau cov qauv ntawm cov combinatorics. Cia peb pib nrog txoj kev xav. Piv txwv li peb yuav tsum tau ua ntau yam (a): thawj qhov kev txiav txim yog ua nyob rau hauv 1 txoj kev, qhov thib ob - nyob rau hauv 2 txoj kev, qhov thib peb - nyob rau hauv 3 txoj kev, thiab thiaj li nyob rau mus txog rau thaum kawg a-action yog ua nyob rau hauv sa txoj kev. Tom qab ntawd tag nrho cov kev ua no (uas peb muaj tag nrho) tuaj yeem ua tiav hauv N. Yuav ua li cas xam tus tsis paub N? Cov mis no yuav pab tau peb li no: N \u003d c1c2c3…ca.
Dua, tsis muaj dab tsi meej hauv txoj kev xav, cia peb mus rau qhov piv txwv yooj yim ntawm kev siv txoj cai sib npaug. Cia peb kawm tib chav kawm ntawm nees nkaum tsib tus neeg, uas kaum tsib tus ntxhais thiab kaum tus tub kawm. Tsuas yog lub sijhawm no peb yuav tsum xaiv ob tus neeg tuaj koom. Lawv tuaj yeem yog cov tub hluas lossis ntxhais, lossis ib tug tub nrog ib tug ntxhais. Peb tig mus rau theem pib ntawm qhov teeb meem. Peb xaiv thawj tus neeg tuaj koom, raws li peb tau txiav txim siab hauv kab lus kawg, peb tau txais nees nkaum tsib txoj kev xaiv. Tus neeg thib ob ntawm lub luag haujlwm tuaj yeem yog ib tus ntawm cov neeg seem. Peb muaj nees nkaum tsib tus tub ntxhais kawm, peb xaiv ib qho, uas txhais tau hais tias ib qho ntawm nees nkaum plaub tus neeg tuaj yeem yog tus thib ob ntawm lub luag haujlwm. Thaum kawg, peb siv txoj cai sib npaug thiab pom tias ob tus neeg tuaj koom tuaj yeem xaiv tau rau pua txoj hauv kev. Peb tau txais tus lej no los ntawm kev muab nees nkaum tsib thiab nees nkaum plaub.
Swap
Tam sim no peb yuav xav txog ib qho ntxiv combinatorics formula. Hauv tshooj lus no, pebCia peb tham txog permutations. Xav txog qhov teeb meem tam sim nrog ib qho piv txwv. Wb nqa cov npas billiard, peb muaj n-th tus naj npawb ntawm lawv. Peb yuav tsum xam: muaj pes tsawg txoj kev xaiv los npaj lawv nyob rau hauv kab, uas yog, ua ib qho kev txiav txim.
Cia pib, yog tias peb tsis muaj pob, ces peb kuj muaj xoom qhov kev xaiv. Thiab yog tias peb muaj ib lub pob, ces qhov kev npaj kuj yog tib yam (kev ua lej, qhov no tuaj yeem sau tau raws li hauv qab no: Р1=1). Ob lub npas tuaj yeem muab faib ua ob txoj kev sib txawv: 1, 2 thiab 2, 1. Yog li ntawd, Р2=2. Peb lub npas tuaj yeem npaj tau rau txoj kev (Р3=6): 1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 2, 1; 3, 1, 2. Thiab yog tias tsis muaj peb lub pob, tab sis kaum lossis kaum tsib? Txhawm rau sau tag nrho cov kev xaiv ua tau ntev heev, ces combinatorics tuaj rau peb pab. Cov mis permutation yuav pab peb nrhiav cov lus teb rau peb cov lus nug. Pn=nP(n-1). Yog tias peb sim ua kom yooj yim cov qauv, peb tau txais: Pn=n(n - 1) … 21. Thiab qhov no yog cov khoom ntawm thawj tus lej. Tus lej no hu ua factorial, thiab txhais tau tias n!
Cia peb xav txog qhov teeb meem. Tus thawj coj txhua txhua tag kis sawv ntxov ua nws qhov kev sib cais hauv ib kab (nees nkaum tus neeg). Muaj peb tus phooj ywg zoo tshaj plaws hauv kev sib cais - Kostya, Sasha thiab Lesha. Qhov tshwm sim yog dab tsi uas lawv yuav nyob ib sab? Txhawm rau nrhiav cov lus teb rau lo lus nug, koj yuav tsum faib qhov tshwm sim ntawm qhov tshwm sim "zoo" los ntawm tag nrho cov txiaj ntsig. Tag nrho cov naj npawb ntawm permutations yog 20!=2,5 qun. Yuav ua li cas suav cov txiaj ntsig "zoo"? Xav tias Kostya, Sasha thiab Lesha yog ib tug superman. Ces pebPeb tsuas muaj kaum yim yam. Tus naj npawb ntawm permutations nyob rau hauv cov ntaub ntawv no yog 18=6.5 quadrillion. Nrog rau tag nrho cov no, Kostya, Sasha thiab Lesha tuaj yeem txav mus los ntawm lawv tus kheej hauv lawv qhov sib cais tsis tau, thiab qhov no yog 3 ntxiv!=6 kev xaiv. Yog li peb muaj 18 lub hnub qub "zoo" tag nrho! 3 yog! Peb tsuas yog yuav tsum nrhiav qhov xav tau: (18!3!) / 20! Uas yog kwv yees li 0.016. Yog hais tias hloov mus rau ib feem, nws hloov tawm tsuas yog 1.6%.
Accommodation
Tam sim no peb yuav xav txog lwm qhov tseem ceeb thiab tsim nyog combinatorics formula. Kev nyob yog peb qhov teeb meem tom ntej, uas peb xav kom koj xav txog hauv nqe lus no. Peb yuav ua kom nyuaj dua. Cia peb xav tias peb xav xav txog qhov kev hloov pauv tau, tsuas yog tsis yog los ntawm tag nrho cov teeb (n), tab sis los ntawm ib qho me me (m). Qhov ntawd yog, peb txiav txim siab permutations ntawm n yam khoom los ntawm m.
Cov qauv hauv paus ntawm combinatorics yuav tsum tsis yog tsuas yog cim xwb, tab sis nkag siab. Txawm tias muaj tseeb hais tias lawv ua ntau nyuaj, txij li thaum peb tsis muaj ib tug parameter, tab sis ob. Piv txwv tias m \u003d 1, ces A \u003d 1, m \u003d 2, ces A \u003d n(n - 1). Yog tias peb txuas ntxiv ua kom yooj yim cov qauv thiab hloov mus rau kev sau npe siv cov factorials, peb tau txais cov qauv luv luv: A \u003d n! / (n - m)!
Peb tau txiav txim siab yuav luag tag nrho cov qauv ntawm kev sib txuas nrog cov piv txwv. Tam sim no cia peb tsiv mus rau theem kawg ntawm kev xav txog cov chav kawm ntawm combinatorics - paub txog kev sib xyaw ua ke. Tam sim no peb yuav xaiv m cov khoom los ntawm n peb muaj, thaum peb yuav xaiv txhua yam ntawm txhua txoj hauv kev. Qhov no txawv ntawm qhov chaw nyob li cas? Peb yuav tsisxav txog kev txiav txim. Cov txheej txheem tsis tau txiav txim no yuav yog kev sib xyaw ua ke.
Tam sim qhia qhov cim: C. Peb muab tso rau m pob tawm ntawm n. Peb tsis txhob them nyiaj rau kev txiav txim thiab tau txais kev sib txuas ua ke. Txhawm rau kom tau txais cov lej sib txuas, peb yuav tsum faib cov lej ntawm qhov chaw los ntawm m! (m factorial). Ntawd yog, C \u003d A / m! Yog li, muaj ob peb txoj hauv kev xaiv los ntawm n cov pob, kwv yees li qhov sib npaug ntawm ntau npaum li cas los xaiv yuav luag txhua yam. Muaj ib qho laj thawj rau qhov no: xaiv me ntsis yog tib yam li pov tseg yuav luag txhua yam. Nws tseem yog ib qho tseem ceeb uas yuav tau hais txog ntawm qhov no tias qhov siab tshaj plaws ntawm kev sib txuas tuaj yeem ua tiav thaum sim xaiv ib nrab ntawm cov khoom.
Yuav ua li cas xaiv tus qauv los daws qhov teeb meem?
Peb tau tshuaj xyuas kom meej cov qauv ntawm cov combinatorics: kev tso kawm, kev hloov pauv thiab kev sib xyaw ua ke. Tam sim no peb txoj haujlwm yog los pab txhawb kev xaiv cov qauv tsim nyog los daws qhov teeb meem hauv combinatorics. Koj tuaj yeem siv cov tswv yim yooj yim hauv qab no:
- Nug koj tus kheej: Puas yog qhov kev txiav txim ntawm cov ntsiab lus suav nrog hauv cov ntawv ntawm qhov teeb meem?
- Yog lo lus teb tsis yog, ces siv cov mis ua ke (C=n! / (m!(n - m)!)).
- Yog lo lus teb tsis yog, koj yuav tsum teb ib lo lus nug ntxiv: puas yog tag nrho cov ntsiab lus suav nrog hauv kev sib xyaw ua ke?
- Yog lo lus teb yog, ces siv tus qauv permutation (P=n!).
- Yog lo lus teb tsis yog, ces siv tus lej faib (A=n! / (n - m)!).
Example
Peb tau txiav txim siab cov ntsiab lus ntawm kev sib xyaw ua ke, cov qauv thiab qee qhov teeb meem. Tam sim no cia peb txav mus rauxav txog qhov teeb meem tiag tiag. Xav tias koj muaj kiwi, txiv kab ntxwv thiab txiv tsawb rau pem hauv ntej ntawm koj.
nqe lus nug ib: Muaj pes tsawg txoj hauv kev lawv tuaj yeem hloov kho? Ua li no, peb siv tus qauv permutation: P=3!=6 txoj kev.
Lo lus nug ob: Muaj pes tsawg txoj hauv kev xaiv ib lub txiv ntoo? Qhov no yog qhov tseeb, peb tsuas muaj peb txoj kev xaiv - xaiv kiwi, txiv kab ntxwv lossis txiv tsawb, tab sis peb siv cov mis sib xyaw ua ke: C \u003d 3! /(2!1!)=3.
nqe lus nug peb: Yuav xaiv ob lub txiv hmab txiv ntoo li cas? Peb muaj kev xaiv dab tsi? Kiwi thiab txiv kab ntxwv; kiwi thiab txiv tsawb; txiv kab ntxwv thiab txiv tsawb. Ntawd yog, peb txoj kev xaiv, tab sis qhov no yog qhov yooj yim los xyuas siv cov qauv sib xyaw ua ke: C \u003d 3! / (1!2!)=3
Nqe lus nug plaub: Yuav xaiv peb txiv hmab txiv ntoo li cas? Raws li koj tuaj yeem pom, tsuas muaj ib txoj hauv kev xaiv peb txiv hmab txiv ntoo: noj kiwi, txiv kab ntxwv thiab txiv tsawb. C=3! / (0!3!)=1.
Nqe lus nug tsib: Koj tuaj yeem xaiv tsawg kawg ib lub txiv hmab txiv ntoo ntau npaum li cas? Qhov xwm txheej no txhais tau hais tias peb tuaj yeem noj ib, ob lossis tag nrho peb txiv hmab txiv ntoo. Yog li ntawd, peb ntxiv C1 + C2 + C3=3 + 3 + 1=7. Qhov ntawd yog, peb muaj xya txoj hauv kev coj yam tsawg ib daim txiv hmab txiv ntoo los ntawm lub rooj.
