Vector yog ib yam khoom geometric tseem ceeb, nrog kev pab ntawm nws cov khoom nws yooj yim los daws ntau yam teeb meem ntawm lub dav hlau thiab hauv qhov chaw. Hauv tsab xov xwm no, peb yuav txhais nws, xav txog nws cov yam ntxwv tseem ceeb, thiab tseem qhia tias yuav ua li cas lub vector hauv qhov chaw tuaj yeem siv los txhais cov dav hlau.
Dab tsi yog vector: ob-dimensional case
Ua ntej tshaj plaws, nws yuav tsum nkag siab meej tias peb tab tom tham txog dab tsi. Hauv geometry, ib ntu qhia yog hu ua vector. Zoo li txhua ntu, nws yog tus cwj pwm los ntawm ob lub ntsiab lus tseem ceeb: qhov pib thiab qhov kawg. Cov kev sib koom tes ntawm cov ntsiab lus no tshwj xeeb txiav txim siab txhua tus yam ntxwv ntawm vector.
Cia peb xav txog ib qho piv txwv ntawm vector ntawm lub dav hlau. Txhawm rau ua qhov no, peb kos ob qhov kev sib txuas ua ke x thiab y. Cia peb kos ib qho kev txiav txim siab P(x, y). Yog tias peb txuas qhov taw tes no mus rau lub hauv paus chiv keeb (point O), thiab tom qab ntawd qhia cov kev taw qhia rau P, ces peb tau txais vector OP¯ (tom qab hauv tsab xov xwm, lub bar hla lub cim qhia tias peb tab tom xav txog vector). Daim duab kos duab ntawm lub dav hlau yog qhia hauv qab no.
Ntawm no, lwm tus vector AB¯ kuj tau qhia, thiab koj tuaj yeem pom tias nws cov yam ntxwv zoo ib yam li OP¯, tab sis nws yog nyob rau ntawm qhov sib txawv ntawm qhov sib koom ua ke. Los ntawm kev txhais lus sib luag OP¯, koj tuaj yeem tau txais tus lej tsis kawg ntawm vectors nrog cov khoom qub.
Vector hauv qhov chaw
Txhua yam khoom tiag uas nyob ib puag ncig peb yog nyob rau hauv peb qhov chaw. Kev kawm txog cov khoom geometric ntawm cov duab peb-dimensional cuam tshuam nrog stereometry, uas ua haujlwm nrog lub tswv yim ntawm peb-dimensional vectors. Lawv txawv ntawm ob-seem tsuas yog nyob rau hauv hais tias lawv cov lus piav qhia yuav tsum tau ib tug ntxiv coordinate, uas yog ntsuas raws tus thib peb perpendicular x thiab y axis z.
Daim duab hauv qab no qhia txog vector hauv qhov chaw. Lub coordinates ntawm nws kawg raws txhua axis yog qhia los ntawm cov xim segments. Qhov pib ntawm vector yog nyob rau ntawm qhov kev sib tshuam ntawm tag nrho peb qhov kev sib koom ua ke, uas yog, nws muaj kev tswj hwm (0; 0; 0).
Vim ib lub vector ntawm lub dav hlau yog qhov tshwj xeeb ntawm ntu ntu ntu, peb yuav txiav txim siab tsuas yog peb-seem vector hauv kab lus.
Vector ua haujlwm raws li paub ua haujlwm ntawm nws pib thiab xaus
xav tias muaj ob lub ntsiab lus P(x1; y1; z1) thiab Q(x2; y2; z2). Yuav ua li cas los txiav txim qhov kev tswj hwm ntawm vector PQ¯. Ua ntej, nws yog ib qho tsim nyog kom pom zoo cov ntsiab lus twg yuav yog qhov pib thiab qhov kawg ntawm vector. Hauv kev ua lej, nws yog kev cai sau cov khoom hauv nqe lus nug raws nws cov kev taw qhia, uas yog, P yog qhov pib, Q- qhov kawg. Qhov thib ob, cov kev tswj hwm ntawm vector PQ¯ yog xam raws li qhov sib txawv ntawm qhov sib thooj ntawm qhov kawg thiab qhov pib, uas yog:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Nco ntsoov tias los ntawm kev hloov pauv ntawm vector, nws cov kev tswj hwm yuav hloov pauv kos npe, raws li hauv qab no:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Qhov no txhais tau tias PQ¯=-QP¯.
Nws yog ib qho tseem ceeb kom nkag siab ib yam ntxiv. Nws tau hais saum toj no hais tias nyob rau hauv lub dav hlau muaj ib tug infinite tus naj npawb ntawm vectors sib npaug rau ib tug muab. Qhov tseeb no kuj siv tau rau rooj plaub spatial. Qhov tseeb, thaum peb xam cov kev tswj xyuas ntawm PQ¯ hauv qhov piv txwv saum toj no, peb tau ua haujlwm ntawm kev sib txuas lus ntawm cov vector no nyob rau hauv ib txoj kev uas nws keeb kwm coincided nrog lub hauv paus chiv keeb. Vector PQ¯ tuaj yeem kos raws li ntu qhia los ntawm keeb kwm mus rau taw tes M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Vector properties
Zoo li txhua yam khoom siv geometry, ib lub vector muaj qee yam uas tuaj yeem siv los daws teeb meem. Cia peb sau lawv luv luv.
Vector modulus yog qhov ntev ntawm ntu qhia. Paub txog cov coordinates, nws yog ib qho yooj yim los xam nws. Rau cov vector PQ¯ hauv qhov piv txwv saum toj no, lub modulus yog:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Vector module raudav hlau yog xam los ntawm cov qauv zoo sib xws, tsuas yog tsis muaj kev koom tes ntawm peb lub koom haum.
Cov lej thiab qhov sib txawv ntawm vectors yog ua raws li txoj cai ntawm daim duab peb sab. Daim duab hauv qab no qhia yuav ua li cas ntxiv thiab rho tawm cov khoom no.
Kom tau txais cov lej vector, ntxiv qhov pib ntawm qhov thib ob mus rau qhov kawg ntawm thawj vector. Qhov xav tau vector yuav pib thaum pib ntawm thawj zaug thiab xaus rau qhov kawg ntawm qhov thib ob vector.
Qhov sib txawv yog ua los ntawm qhov tseeb tias qhov kev rho tawm vector yog hloov los ntawm qhov rov qab, thiab tom qab ntawd cov haujlwm ntxiv tau piav qhia saum toj no tau ua.
Dhau li ntawm qhov sib ntxiv thiab rho tawm, nws tseem ceeb heev kom muaj peev xwm muab cov vector los ntawm tus lej. Yog tias tus lej sib npaug rau k, ces tus vector tau txais uas nws qhov modulus yog k lub sijhawm sib txawv ntawm qhov qub, thiab cov kev taw qhia yog tib yam (k>0) lossis rov qab rau tus thawj (k<0).
Kev ua haujlwm ntawm kev sib npaug ntawm cov vectors ntawm lawv tus kheej kuj txhais tau. Peb yuav tso ib kab lus cais rau nws hauv kab lus.
Scalar thiab vector multiplication
xav tias muaj ob tug vectors u¯(x1; y1; z1) and v¯(x2; y2; z2). Vector los ntawm vector tuaj yeem muab faib ua ob txoj kev sib txawv:
- Scalar. Hauv qhov no, qhov tshwm sim yog tus lej.
- Vector. Qhov tshwm sim yog qee qhov vector tshiab.
Cov khoom lag luam ntawm vectors u¯ thiab v¯ yog xam raws li hauv qab no:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Qhov twg α yog lub kaum sab xis ntawm cov vectors muab.
Nws tuaj yeem pom tau tias paub txog kev tswj hwm u¯ thiab v¯, lawv cov khoom lag luam tuaj yeem suav nrog siv cov qauv hauv qab no:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Cov khoom lag luam scalar yog yooj yim siv thaum decomposing ib vector rau hauv ob ntu ntu qhia. Nws kuj yog siv los xam cov parallelism los yog orthogonality ntawm vectors, thiab xam lub kaum sab xis ntawm lawv.
Cov khoom ntoo khaub lig ntawm u¯ thiab v¯ muab cov vector tshiab uas yog perpendicular rau cov thawj thiab muaj modulus:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Txoj kev nqes los yog nce ntawm tus vector tshiab yog txiav txim siab los ntawm txoj cai ntawm sab tes xis (plaub ntiv tes ntawm sab tes xis yog qhia los ntawm qhov kawg ntawm thawj vector mus rau qhov kawg ntawm qhov thib ob, thiab tus ntiv tes xoo tuav. qhia cov kev taw qhia ntawm lub vector tshiab). Daim duab hauv qab no qhia txog qhov tshwm sim ntawm cov khoom ntoo khaub lig rau arbitrary a¯ thiab b¯.
Cov khoom ntoo khaub lig yog siv los xam cov cheeb tsam ntawm cov duab, nrog rau kev txiav txim siab cov kev sib koom ua ke ntawm vector perpendicular rau lub dav hlau muab.
Vectors thiab lawv cov khoom yooj yim siv thaum txhais qhov sib npaug ntawm lub dav hlau.
Ib txwm thiab kev sib npaug ntawm lub dav hlau
Muaj ntau txoj hauv kev los txhais lub dav hlau. Ib qho ntawm lawv yog qhov muab los ntawm qhov sib npaug dav dav ntawm lub dav hlau, uas ua raws ncaj qha los ntawm kev paub ntawm vector perpendicular rau nws thiab qee qhov paub cov ntsiab lus uas belongs rau lub dav hlau.
xav tias muaj vector n¯ (A; B; C) thiab point P (x0; y0; z 0). Yam xwm txheej twg yuav txaus siab rau tag nrho cov ntsiab lus Q(x; y; z) ntawm lub dav hlau? Cov xwm txheej no muaj nyob rau hauv perpendicularity ntawm tej vector PQ¯ mus rau ib txwm n¯. Rau ob lub voj voog ncig, cov khoom dot dhau los ua xoom (cos(90o)=0), sau qhov no:
(n¯PQ¯)=0 or
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Qhib cov brackets, peb tau txais:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 or
Ax + By + Cz +D=0 where D=-Ax0-By0-Cz0.
Qhov kev sib npaug no hu ua dav dav rau lub dav hlau. Peb pom tias cov coefficients nyob rau hauv pem hauv ntej ntawm x, y, thiab z yog lub coordinates ntawm lub perpendicular vector n¯. Nws hu ua lub dav hlau qhia.
Vector parametric sib npaug ntawm lub dav hlau
Txoj kev thib ob los txhais lub dav hlau yog siv ob lub vectors dag hauv nws.
xav tias muaj vectors u¯(x1; y1; z1) and v¯(x2; y2; z2). Raws li nws tau hais, txhua tus ntawm lawv hauv qhov chaw tuaj yeem sawv cev los ntawm tus lej tsis kawg ntawm cov lus qhia zoo ib yam, yog li ntawd, xav tau ib qho ntxiv los txiav txim siab lub dav hlau tshwj xeeb. Cia qhov no yog P(x0;y0; z0). Txhua lub ntsiab lus Q(x; y; z) yuav pw hauv lub dav hlau xav tau yog tias vector PQ¯ tuaj yeem sawv cev ua ke ntawm u¯ thiab v¯. Ntawd yog, peb muaj:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Qhov twg α thiab β yog qee tus lej tiag. Los ntawm qhov sib npaug no ua raws li cov lus qhia:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Nws yog hu ua parametric vector sib npaug ntawm lub dav hlau nrog rau 2 vectors u¯ thiab v¯. Hloov pauv qhov tsis txaus ntseeg α thiab β, ib tus tuaj yeem pom tag nrho cov ntsiab lus (x; y; z) ntawm lub dav hlau no.
Los ntawm qhov sib npaug no nws yooj yim kom tau txais cov lus qhia dav dav rau lub dav hlau. Txhawm rau ua qhov no, nws yog qhov txaus los nrhiav cov kev taw qhia vector n¯, uas yuav yog perpendicular rau ob leeg vectors u¯ thiab v¯, uas yog, lawv cov khoom vector yuav tsum tau siv.
Qhov teeb meem ntawm kev txiav txim siab dav dav ntawm lub dav hlau
Cia peb qhia yuav ua li cas siv cov qauv saum toj no los daws cov teeb meem geometric. Piv txwv tias cov vector coj ntawm lub dav hlau yog n¯(5; -3; 1). Koj yuav tsum pom qhov sib npaug ntawm lub dav hlau, paub tias qhov point P(2; 0; 0) belongs rau nws.
Qhov kev sib npaug sib npaug yog sau li:
Ax + By + Cz +D=0.
Vim lub vector perpendicular rau lub dav hlau paub, qhov sib npaug yuav siv daim ntawv:
5x - 3y + z +D=0.
Nws tseem nrhiav tau lub sijhawm pub dawb D. Peb suav nws los ntawm kev paub txog kev tswj hwm P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Yog li, qhov kev sib npaug xav tau ntawm lub dav hlau muaj daim ntawv:
5x - 3y + z -10=0.
Daim duab hauv qab no qhia tias lub dav hlau tshwm sim zoo li cas.
Qhov taw qhia ntawm cov ntsiab lus sib raug rau kev sib tshuam ntawm lub dav hlau nrog x, y thiab z axes.
Qhov teeb meem ntawm kev txiav txim siab lub dav hlau los ntawm ob lub vectors thiab taw tes
Tam sim no xav tias lub dav hlau yav dhau los tau txhais txawv. Ob vectors u¯(-2; 0; 10) thiab v¯(-2; -10/3; 0) paub, nrog rau qhov point P(2; 0; 0). Yuav sau lub dav hlau sib npaug li cas hauv vector parametric daim ntawv? Siv cov qauv tsim nyog, peb tau txais:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Nco ntsoov tias cov ntsiab lus ntawm qhov sib npaug ntawm lub dav hlau no, cov vectors u¯ thiab v¯ tuaj yeem ua tiav ib qho, tab sis nrog ib qho xwm txheej: lawv yuav tsum tsis txhob sib npaug. Txwv tsis pub, lub dav hlau tsis tuaj yeem txiav txim siab tshwj xeeb, txawm li cas los xij, ib tus tuaj yeem nrhiav qhov sib npaug rau ib lub teeb lossis ib lub dav hlau.
