Cov tub ntxhais kawm feem ntau ntsib qhov chaw ntawm qhov kev txiav txim thib 2 hauv thawj xyoo. Thaum xub thawj, cov dej num ntawm lub ncauj lus no yuav zoo li yooj yim, tab sis thaum koj kawm lej siab dua thiab nkag mus rau hauv kev tshawb fawb, thaum kawg koj tuaj yeem nres koj tus kheej hauv qhov tshwm sim. Txhawm rau tiv thaiv qhov no los ntawm qhov tshwm sim, nws yog ib qho tsim nyog tsis yog tsuas yog cim xwb, tab sis kom nkag siab tias qhov no lossis qhov saum npoo tau txais li cas, hloov pauv cov coefficients cuam tshuam rau nws thiab nws qhov chaw nyob ntawm qhov qub kev tswj hwm qhov system, thiab yuav ua li cas thiaj nrhiav tau qhov system tshiab. (ib qho uas nws qhov nruab nrab coincides nrog keeb kwm kev tswj hwm, thiab cov symmetry axis yog sib npaug rau ib qho ntawm cov kev sib koom tes). Wb pib txij thaum pib.
Definition
GMT yog hu ua qhov kev txiav txim thib 2, qhov kev sib koom ua ke uas ua kom txaus siab rau qhov sib npaug ntawm daim ntawv hauv qab no:
F(x,y,z)=0.
Nws yog qhov tseeb tias txhua lub ntsiab lus ntawm qhov chaw yuav tsum muaj peb qhov kev sib koom ua ke hauv qee lub hauv paus. Txawm hais tias qee zaum qhov chaw ntawm cov ntsiab lus tuaj yeem degenerate, piv txwv li, mus rau hauv lub dav hlau. Nws tsuas yog txhais tau hais tias ib qho ntawm cov kev tswj xyuas tas li thiab sib npaug ntawm xoom hauv tag nrho cov txiaj ntsig tau txais.
Daim ntawv pleev xim tag nrho ntawm kev sib npaug uas tau hais los saum toj no zoo li no:
A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.
Anm – qee qhov tsis tu ncua, x, y, z – sib txawv sib xws rau affine coordinates ntawm qee qhov taw tes. Hauv qhov no, yam tsawg kawg yog ib qho ntawm qhov tseem ceeb yuav tsum tsis txhob muab sib npaug rau xoom, uas yog, tsis muaj ib qho taw tes yuav sib npaug rau qhov sib npaug.
Nyob rau hauv feem ntau ntawm cov piv txwv, ntau tus lej tseem ceeb yog qhov sib npaug ntawm xoom, thiab qhov sib npaug yog qhov yooj yim heev. Hauv kev xyaum, kev txiav txim siab seb lub ntsiab lus twg yog ib qho chaw tsis yooj yim (nws yog txaus los hloov nws cov kev tswj xyuas hauv qhov sib npaug thiab xyuas seb tus kheej puas tau pom). Lub ntsiab lus tseem ceeb hauv txoj haujlwm no yog coj qhov kawg mus rau hauv daim ntawv canonical.
Cov kab zauv sau saum toj no txhais ib qho (tag nrho cov npe hauv qab) qhov chaw ntawm qhov kev txiav txim thib 2. Peb yuav xav txog cov piv txwv hauv qab no.
Nyob ntawm qhov chaw ntawm qhov kev txiav txim thib 2
Qhov sib npaug ntawm qhov chaw ntawm qhov kev txiav txim thib 2 txawv tsuas yog qhov txiaj ntsig ntawm cov coefficients Anm. Los ntawm kev pom dav dav, rau qee qhov txiaj ntsig ntawm qhov tsis tu ncua, ntau qhov chaw tuaj yeem tau txais, cais raws li hauv qab no:
- Cylinders.
- hom elliptical.
- Hyperbolic type.
- Conical yam.
- Parabolic yam.
- dav hlau.
Txhua yam ntawm cov npe teev muaj ib daim ntawv ntuj thiab kev xav: hauv daim ntawv xav, qhov chaw ntawm cov ntsiab lus tiag tiag yog degenerates rau hauv daim duab yooj yim, lossis tsis tuaj yeem ua ke.
Cylinders
Qhov no yog hom yooj yim tshaj plaws, txij li qhov nkhaus nkhaus tsuas yog nyob ntawm lub hauv paus, ua raws li kev qhia. Cov tshuab hluav taws xob yog cov kab ncaj nraim rau lub dav hlau uas lub hauv paus lies.
Daim duab qhia txog lub tog raj kheej kheej kheej, tshwj xeeb ntawm lub tog raj kheej kheej kheej. Nyob rau hauv lub XY dav hlau, nws qhov projection yuav yog ib tug ellipse (nyob rau hauv peb cov ntaub ntawv, lub voj voog) - ib qho kev qhia, thiab nyob rau hauv XZ - ib daim duab plaub - txij li thaum lub generators yog parallel mus rau lub Z axis. muab cov coefficients cov nqi hauv qab no:
Siv cov cim ib txwm siv x, y, z, x nrog tus lej xov tooj - tsis muaj teeb meem.
Qhov tseeb, 1/a2thiab lwm qhov chaw qhia ntawm no yog tib coefficients qhia hauv kab zauv dav dav, tab sis nws yog kev cai sau rau hauv daim ntawv no - qhov no yog lub canonical sawv cev. Tsis tas li ntawd xwb, tsuas yog cov ntawv sau no yuav raug siv.
Qhov no yog txhais li cas lub tog raj kheej hyperbolic. Lub tswv yim zoo ib yam - lub siab yuav yog tus qhia.
y2=2px
Ib lub tog raj kheej parabolic tau txhais txawv me ntsis: nws daim ntawv canonical suav nrog tus coefficient p, hu ua parameter. Qhov tseeb, tus coefficient yog sib npaug rau q=2p, tab sis nws yog kev cai los faib rau ob yam uas tau nthuav tawm.
Muaj lwm hom lub tog raj kheej: xav txog. Tsis muaj qhov taw tes tiag tiag nyob rau lub tog raj kheej li no. Nws tau piav qhia los ntawm kev sib npaugelliptical lub tog raj kheej, tab sis es tsis txhob ntawm chav tsev yog -1.
hom elliptical
Ib qho ellipsoid tuaj yeem ncav cuag ib qho ntawm cov axes (nrog rau qhov nws nyob ntawm qhov tseem ceeb ntawm qhov tsis tu ncua a, b, c, qhia saum toj no; nws pom tseeb tias qhov loj dua coefficient yuav sib haum rau cov axis loj dua.).
Tseem kuj muaj qhov kev xav ellipsoid - muab tias cov lej ntawm cov kev sib koom ua ke sib npaug los ntawm cov coefficients yog -1:
YHyperboloids
Thaum tus rho tawm tshwm hauv ib qho ntawm qhov tas mus li, qhov sib npaug ellipsoid hloov mus rau qhov sib npaug ntawm ib daim ntawv hyperboloid. Nws yuav tsum to taub tias qhov rho tawm no tsis tas yuav tsum nyob ua ntej x3 ua haujlwm! Nws tsuas yog txiav txim siab qhov twg ntawm cov axes yuav yog lub axis ntawm kev sib hloov ntawm lub hyperboloid (los yog sib npaug rau nws, txij li thaum cov ntsiab lus ntxiv tshwm nyob rau hauv lub square (piv txwv li, (x-2) 2) qhov nruab nrab ntawm daim duab hloov, raws li qhov tshwm sim, qhov chaw txav mus rau qhov sib npaug ntawm qhov sib koom ua ke). Qhov no siv tau rau txhua qhov chaw xaj thib 2.
Dhau li ntawm, koj yuav tsum nkag siab tias qhov sib npaug tau nthuav tawm hauv daim ntawv canonical thiab lawv tuaj yeem hloov pauv los ntawm kev sib txawv ntawm qhov tsis tu ncua (nrog cov cim khaws cia!); thaum lawv daim ntawv (hyperboloid, cone, thiab lwm yam) yuav zoo li qub.
qhov sib npaug no twb tau muab los ntawm ob daim ntawv hyperboloid.
Conical nto
Tsis muaj chav nyob hauv qhov sib npaug ntawm lub khob - kev sib npaug rau xoom.
Tsuas yog ib thaj tsam conical hu ua lub khob hliav qab. Daim duab hauv qab no qhia tau tias, qhov tseeb, yuav muaj ob lub npe hu ua cones ntawm daim duab.
Ceebtoom Tseem Ceeb: hauv txhua qhov kev sib npaug ntawm canonical, qhov tsis tu ncua raug coj los ntawm lub neej ntawd. Txwv tsis pub, daim paib yuav cuam tshuam rau daim ntawv kawg.
Cov dav hlau sib koom ua lub dav hlau sib luag ntawm lub khob hliav qab, qhov nruab nrab ntawm qhov sib luag yog nyob ntawm lub hauv paus chiv keeb.
Tsuas muaj pluses hauv qhov kev xav ntawm lub khob sib npaug; nws muaj ib qho taw tes tiag tiag.
Paraboloids
Ntoj ntawm qhov kev txiav txim thib 2 hauv qhov chaw tuaj yeem coj cov duab sib txawv txawm tias muaj qhov sib npaug zoo sib xws. Piv txwv li, muaj ob hom paraboloids.
x2/a2+y2/b2=2z
Ib qho elliptical paraboloid, thaum Z axis yog nyob rau ntawm daim duab, yuav muab tso rau hauv ib qho ellipse.
x2/a2-y2/b2=2z
Hyperbolic paraboloid: ntu nrog cov dav hlau sib npaug rau ZY yuav tsim cov parabolas, thiab ntu nrog cov dav hlau sib npaug rau XY yuav tsim cov hyperbola.
sib sib zog nqus dav hlau
Muaj cov xwm txheej thaum qhov chaw ntawm qhov kev txiav txim thib 2 degenerate rau hauv lub dav hlau. Cov dav hlau no tuaj yeem npaj tau ntau yam.
Ua ntej xav txog cov dav hlau sib tshuam:
x2/a2-y2/b2=0
Qhov kev hloov pauv ntawm qhov sib npaug canonical ua rau tsuas yog ob lub dav hlau sib tshuam (xav txog!); tag nrho cov ntsiab lus tiag tiag yog nyob ntawm qhov axis ntawm qhov kev sib koom ua ke uas ploj lawm hauv kab zauv (hauv canonical - Z axis).
Parallel dav hlau
y2=a2
Thaum tsuas muaj ib qho kev sib koom tes, qhov chaw ntawm qhov kev txiav txim thib 2 degenerate mus rau hauv ib khub ntawm cov dav hlau sib npaug. Nco ntsoov, lwm qhov sib txawv tuaj yeem ua qhov chaw ntawm Y; ces cov dav hlau sib npaug mus rau lwm cov axes yuav tau.
y2=-a2
Ntawm no, lawv dhau los ua kev xav.
npog dav hlau
y2=0
Nrog cov kab zauv yooj yim no, ob lub dav hlau degenerate rau hauv ib qho - lawv coincide.
Tsis txhob hnov qab tias nyob rau hauv rooj plaub ntawm lub hauv paus peb-dimensional, cov kab zauv saum toj no tsis txhais txoj kab ncaj nraim y=0! Nws tsis muaj ob qhov sib txawv, tab sis qhov ntawd tsuas yog txhais tau tias lawv tus nqi yog qhov tsis tu ncua thiab sib npaug rau xoom.
Kev tsim kho
Ib txoj haujlwm nyuaj tshaj plaws rau tus menyuam kawm ntawv yog kev tsim kho ntawm qhov chaw thib 2. Nws yog qhov nyuaj tshaj kom txav los ntawm ib qho kev sib koom ua ke mus rau lwm qhov, muab cov ces kaum ntawm qhov nkhaus nrog kev hwm rau cov axes thiab qhov offset ntawm qhov chaw. Cia peb rov ua li cas thiaj li txiav txim siab qhov kev pom yav tom ntej ntawm daim duab nrog kev txheeb xyuasway.
Txhawm rau tsim qhov kev txiav txim thib 2, koj xav tau:
- nqa qhov sib npaug rau daim ntawv canonical;
- txiav txim siab hom ntog hauv kev kawm;
- tsim raws li tus nqi coefficient.
Hauv qab no yog txhua hom kev txiav txim siab:
Yuav kom sib sau ua ke, cia peb piav qhia meej ib qho piv txwv ntawm hom haujlwm no.
Examples
xav tias muaj qhov sib npaug:
3(x2-2x+1)+6y2+2z2+ 60y+144=0
Cia coj nws mus rau hauv daim ntawv canonical. Cia peb ib leeg tawm tag nrho cov squares, uas yog, peb npaj cov ntsiab lus muaj nyob rau hauv xws li ib txoj kev uas lawv yog qhov nthuav ntawm cov square ntawm cov sum los yog sib txawv. Piv txwv li: yog (a+1)2=a2+2a+1 ces a2+2a +1=(a+1)2. Peb yuav ua haujlwm thib ob. Nyob rau hauv cov ntaub ntawv no, nws tsis yog yuav tsum tau qhib lub brackets, vim qhov no tsuas yog complicates lub xam, tab sis nws yog tsim nyog los tshem tawm cov feem ntau 6 (nyob rau hauv lub brackets nrog tag nrho cov square ntawm Y):
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
Qhov sib txawv z tshwm sim hauv qhov no tsuas yog ib zaug - koj tuaj yeem tso nws ib leeg rau tam sim no.
Peb txheeb xyuas qhov sib npaug ntawm theem no: txhua yam tsis paub yog ua ntej los ntawm kev kos npe ntxiv; thaum muab faib los ntawm rau, ib tug seem. Yog li ntawd, peb muaj qhov sib npaug uas txhais tau tias yog ellipsoid.
Nco ntsoov tias 144 tau muab xam rau hauv 150-6, tom qab ntawd -6 tau txav mus rau sab xis. Vim li cas thiaj yuav tsum tau ua li no? Pom tseeb, qhov sib faib loj tshaj plaws hauv qhov piv txwv no yog -6, yog li ntawd tom qab faib los ntawm nwsib tug yog sab laug ntawm sab xis, nws yog ib qho tsim nyog yuav tsum " ncua" raws nraim 6 los ntawm 144 (qhov tseeb tias ib tug yuav tsum nyob rau sab xis yog qhia los ntawm lub xub ntiag ntawm ib tug dawb lub sij hawm - ib tug tas li tsis multiplied los ntawm ib tug tsis paub).
Faib txhua yam los ntawm rau thiab tau txais qhov sib npaug canonical ntawm ellipsoid:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
Hauv kev faib tawm yav dhau los ntawm qhov chaw ntawm qhov kev txiav txim thib 2, ib rooj plaub tshwj xeeb raug txiav txim siab thaum qhov nruab nrab ntawm daim duab yog nyob rau hauv keeb kwm ntawm kev tswj hwm. Hauv qhov piv txwv no, nws yog offset.
Peb xav tias txhua kab lus uas tsis paub yog qhov hloov pauv tshiab. Ntawd yog: a=x-1, b=y+5, c=z. Hauv kev tswj hwm tshiab, qhov nruab nrab ntawm lub ellipsoid coincides nrog lub ntsiab lus (0, 0, 0), yog li, a=b=c=0, wherece: x=1, y=-5, z=0. Hauv qhov pib ua haujlwm, qhov nruab nrab ntawm daim duab nyob ntawm qhov taw tes (1, -5, 0).
Ellipsoid yuav tau los ntawm ob lub ellipses: thawj zaug hauv XY dav hlau thiab qhov thib ob hauv XZ dav hlau (lossis YZ - tsis muaj teeb meem). Cov coefficients uas cov sib txawv tau muab faib yog squared nyob rau hauv lub canonical kab zauv. Yog li ntawd, nyob rau hauv cov piv txwv saum toj no, nws yuav zoo dua los faib los ntawm lub hauv paus ntawm ob, ib tug thiab lub hauv paus ntawm peb.
Lub axis me ntawm thawj lub voj voog, sib npaug rau Y axis, yog ob. Qhov loj axis thaum uas tig mus rau x-axis yog ob lub hauv paus ntawm ob. Lub me axis ntawm lub thib ob ellipse, thaum uas tig mus rau Y axis, tseem zoo ib yam - nws yog sib npaug rau ob. Thiab cov axis loj, sib npaug rau Z axis, yog sib npaug rau ob lub hauv paus ntawm peb.
Nrog kev pab los ntawm cov ntaub ntawv tau los ntawm qhov sib npaug qub los ntawm kev hloov mus rau hauv daim ntawv canonical, peb tuaj yeem kos tus ellipsoid.
Cov ntsiab lus hauv kab lus nolub ntsiab lus yog qhov dav heev, tab sis, qhov tseeb, raws li koj tuaj yeem pom tam sim no, tsis nyuaj heev. Nws txoj kev loj hlob, qhov tseeb, xaus rau lub sijhawm thaum koj nco txog cov npe thiab qhov sib npaug ntawm qhov chaw (thiab, tau kawg, lawv saib li cas). Hauv qhov piv txwv saum toj no, peb tau tham txog txhua kauj ruam hauv kev nthuav dav, tab sis coj qhov sib npaug mus rau hauv daim ntawv canonical yuav tsum muaj kev paub tsawg tsawg ntawm kev ua lej siab dua thiab yuav tsum tsis txhob ua rau muaj teeb meem rau tus menyuam kawm ntawv.
Kev tshuaj xyuas lub sijhawm yav tom ntej ntawm kev sib npaug uas twb muaj lawm yog ib txoj haujlwm nyuaj dua. Tab sis rau nws txoj kev daws teeb meem, nws yog txaus kom nkag siab tias yuav ua li cas cov kev sib raug zoo thib ob-order curves yog tsim - ellipses, parabolas, thiab lwm yam.
Cov mob Degeneracy - ib qho yooj yim dua. Vim tias tsis muaj qee qhov sib txawv, tsis yog tsuas yog cov lej suav tau yooj yim, raws li tau hais dhau los, tab sis kuj yog kev tsim kho nws tus kheej.
Thaum koj tuaj yeem ntseeg tau lub npe txhua hom ntawm qhov chaw, sib txawv ntawm qhov tsis tu ncua, tig daim duab mus rau ib lossis lwm cov duab - lub ntsiab lus yuav paub.
Kev vam meej hauv koj txoj kev kawm!
