Ib qho nyuaj tshaj plaws thiab tsis nkag siab cov ntsiab lus ntawm kev ua lej hauv tsev kawm qib siab yog kev sib koom ua ke thiab kev suav lej sib txawv. Koj yuav tsum paub thiab nkag siab cov ntsiab lus no, nrog rau kev siv tau. Ntau lub tsev kawm txuj ci kev qhuab qhia raug khi rau qhov sib txawv thiab kev sib koom ua ke.
Cov lus qhia luv luv txog kev sib npaug
Cov kab zauv no yog ib lub ntsiab lus tseem ceeb ntawm kev ua lej hauv txoj kev kawm. Ib qho kev sib npaug sib txawv yog ib qho kev sib npaug uas cuam tshuam cov kev hloov pauv ywj pheej, txoj haujlwm yuav tsum pom, thiab cov txiaj ntsig ntawm qhov kev ua haujlwm ntawd rau cov hloov pauv uas xav tias yog ywj siab. Differential calculus rau nrhiav kev ua haujlwm ntawm ib qho kev sib txawv yog hu ua dog dig. Yog tias qhov xav tau ua haujlwm nyob ntawm ntau qhov sib txawv, ces ib tus hais txog ib feem ntawm qhov sib txawv.
Qhov tseeb, nrhiav tau ib qho lus teb rau qhov sib npaug los ntawm kev sib koom ua ke, thiab txoj kev daws teeb meem yog txiav txim siab los ntawm hom kab zauv.
first order equations
Ib qho kev sib npaug thawj zaug yog qhov sib npaug uas tuaj yeem piav qhia txog qhov sib txawv, qhov xav tau, thiab nws thawj qhov sib txawv. Cov kab zauv zoo li no tuaj yeem muab rau hauv peb hom: qhia meej, tsis meej, sib txawv.
Cov tswv yim xav tau los daws
Thawj qhov xwm txheej - teeb tsa tus nqi ntawm qhov xav tau ua haujlwm rau tus nqi muab ntawm qhov sib txawv uas yog ywj pheej.
Txoj kev daws teeb meem ntawm qhov sib npaug sib txawv - txhua qhov kev ua haujlwm sib txawv, hloov pauv raws li qhov sib npaug qub, hloov nws mus rau qhov sib npaug. Cov kev daws tau, uas tsis meej, yog qhov sib npaug ntawm qhov sib npaug.
Kev daws teeb meem dav dav ntawm qhov sib npaug sib txawv yog qhov ua haujlwm y=y(x; C), uas tuaj yeem ua tiav cov lus txiav txim hauv qab no:
- Ib txoj haujlwm tuaj yeem muaj ib qho kev txiav txim siab tas li С.
- Qhov tshwm sim yuav tsum yog kev daws teeb meem rau qhov sib npaug rau txhua qhov kev txiav txim siab ntawm qhov tsis txaus ntseeg.
- Nrog rau qhov pib mob, qhov kev txiav txim siab tsis tu ncua tuaj yeem txhais tau hauv ib txoj hauv kev tshwj xeeb kom cov kev daws teeb meem tshwj xeeb yuav ua tau raws li cov xwm txheej thaum ntxov.
Kev xyaum, qhov teeb meem Cauchy feem ntau siv - nrhiav kev daws teeb meem tshwj xeeb thiab tuaj yeem sib piv nrog cov xwm txheej tau teeb tsa thaum pib.
Cauchy's theorem yog ib qho kev qhia uas hais txog qhov muaj nyob thiab qhov txawv ntawm ib qho kev daws teeb meem hauv kev xam qhov sib txawv.
Geometric kev nkag siab:
- kev daws teeb meem y=y(x;C)equation yog tag nrho tus naj npawb ntawm ib qho nkhaus.
- Differential calculus tso cai rau koj los txuas cov kev sib koom ua ke ntawm ib qho taw tes hauv XOY dav hlau thiab cov tangent kos rau ntawm qhov nkhaus.
- Tsim thawj qhov xwm txheej txhais tau tias teeb tsa lub dav hlau.
- Yuav daws qhov teeb meem Cauchy txhais tau hais tias los ntawm tag nrho cov txheej txheem ntawm ib qho nkhaus uas sawv cev rau tib txoj kev daws teeb meem ntawm kab zauv, nws yog ib qho tsim nyog los xaiv ib qho dhau los ntawm tib qhov ua tau.
- Ua tiav ntawm cov xwm txheej ntawm Cauchy theorem ntawm qhov taw tes txhais tau hais tias ib qho kev nkhaus (tsis tas li ntawd, tsuas yog ib qho) yuav tsum dhau los ntawm qhov chaw xaiv hauv lub dav hlau.
sib piv sib txawv sib txawv
Los ntawm txhais, qhov sib npaug sib txawv yog qhov sib npaug uas nws sab xis piav qhia lossis cuam tshuam raws li cov khoom lag luam (qee zaum qhov piv) ntawm ob txoj haujlwm, ib qho nyob ntawm "x", thiab lwm yam - tsuas yog ntawm "y ". Ib qho piv txwv meej rau hom no: y'=f1(x)f2(y).
txhawm rau daws qhov sib npaug ntawm ib daim ntawv tshwj xeeb, koj yuav tsum xub hloov pauv qhov derivative y'=dy / dx. Tom qab ntawd, los ntawm kev tswj qhov sib npaug, koj yuav tsum coj nws mus rau ib daim ntawv uas koj tuaj yeem ua ke ob feem ntawm qhov sib npaug. Tom qab qhov kev hloov pauv tsim nyog, peb muab ob qho tib si thiab ua kom yooj yim rau qhov tshwm sim.
Homogeneous equations
Los ntawm txhais, qhov sib npaug sib txawv tuaj yeem hu ua homogeneous yog tias nws muaj daim ntawv hauv qab no: y'=g(y / x).
Hauv qhov no, qhov hloov pauv y / x=feem ntau sivt(x).
Yuav kom daws tau qhov sib npaug, nws yog ib qho tsim nyog los txo qhov sib npaug sib npaug mus rau ib daim ntawv uas muaj qhov sib txawv. Txhawm rau ua qhov no, koj yuav tsum ua cov haujlwm hauv qab no:
- Display, nthuav qhia qhov kev ua haujlwm ntawm thawj zaug, los ntawm ib qho kev ua haujlwm qub raws li qhov sib npaug tshiab.
- Cov kauj ruam tom ntej yog hloov cov txiaj ntsig ua rau hauv daim foos f(x; y)=g(y / x). Hauv cov lus yooj yim, ua kom qhov sib npaug tsuas muaj qhov piv y / x thiab qhov tsis tu ncua.
- Ua qhov hloov pauv hauv qab no: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Kev hloov pauv yuav pab faib qhov sib txawv ntawm qhov sib npaug, maj mam coj nws mus rau ib daim ntawv yooj yim dua.
kab zauv sib npaug
Lub ntsiab lus ntawm cov kab zauv no yog raws li hauv qab no: kab zauv sib txawv linear yog ib qho kev sib npaug uas nws sab xis yog qhia raws li kab lus hais txog kev ua haujlwm qub. Cov haujlwm uas xav tau hauv qhov no: y'=a(x)y + b(x).
Cia peb rov hais dua cov ntsiab lus raws li hauv qab no: txhua qhov sib npaug ntawm qhov kev txiav txim thib 1 yuav dhau los ua kab hauv nws daim ntawv yog tias qhov tseem ceeb thiab nws cov txiaj ntsig tau suav nrog hauv thawj qib sib npaug thiab tsis sib npaug ntawm ib leeg. Cov "classical form" ntawm ib kab zauv sib txawv muaj cov qauv hauv qab no: y' + P(x)y=Q(x).
Ua ntej daws qhov sib npaug, nws yuav tsum hloov mus rau "cov ntawv qub". Cov kauj ruam tom ntej yuav yog qhov kev xaiv ntawm txoj kev daws teeb meem: txoj kev Bernoulli lossis Lagrange txoj kev.
daws qhov sib npaug nrogsiv txoj kev qhia los ntawm Bernoulli, txhais tau hais tias kev hloov pauv thiab txo qhov sib npaug ntawm qhov sib txawv ntawm qhov sib npaug rau ob qhov sib npaug nrog cov sib txawv sib txawv ntawm cov haujlwm U(x) thiab V(x), uas tau muab rau hauv lawv daim ntawv qub.
Txoj Kev Lagrange yog txhawm rau nrhiav kev daws teeb meem rau qhov sib npaug qub.
- Nws yog qhov tsim nyog los nrhiav qhov kev daws teeb meem ntawm homogeneous sib npaug. Tom qab tshawb nrhiav, peb muaj lub luag haujlwm y=y(x, C), qhov C yog qhov tsis tu ncua.
- Peb tab tom nrhiav kev daws rau qhov sib npaug qub hauv tib daim ntawv, tab sis peb xav txog C=C(x). Peb hloov txoj haujlwm y=y(x, C(x)) rau hauv qhov sib npaug qub, nrhiav txoj haujlwm C(x) thiab sau cov kev daws teeb meem ntawm qhov sib npaug qub.
Bernoulli equation
Bernoulli's equation - yog sab xis ntawm lub laij lej siv daim foos f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, qhov twg k yog ib qho txiaj ntsig ntawm tus lej, tsis noj raws li ib qho Piv txwv li thaum k=0 thiab k=1.
Yog tias k=1, ces tus lej suav yuav sib cais, thiab thaum k=0, qhov sib npaug tseem nyob.
Cia peb xav txog qhov xwm txheej ntawm kev daws cov kab zauv no. Peb muaj tus qauv Bernoulli sib npaug. Nws yuav tsum tau txo mus rau ib tug linear ib, rau qhov no koj yuav tsum tau faib qhov sib npaug ntawm yk. Tom qab ua haujlwm no, hloov z(x)=y1-k. Tom qab ib tug series ntawm transformations, qhov sib npaug yuav raug txo mus rau ib tug linear ib, feem ntau yog los ntawm kev hloov txoj kev z=UV.
Kev sib npaug hauv tag nrho qhov sib txawv
Definition. Ib qho kev sib npaug nrog tus qauv P(x; y)dx + Q(x; y)dy=0 yog hu ua kev sib npaug tag nrhoqhov sib txawv, yog tias cov xwm txheej hauv qab no tau ntsib (hauv qhov xwm txheej no, "d" yog qhov sib txawv ib nrab): dP(x; y) / dy=dQ(x; y) / dx.
Txhua qhov kev txiav txim sib txawv thawj zaug suav tias ua ntej tuaj yeem tso tawm ua qhov sib txawv.
Cov kev suav suav daws tau ntau txoj hauv kev. Tab sis, txawm li cas los xij, lawv txhua tus pib nrog kev kuaj mob. Yog tias qhov xwm txheej txaus siab, ces thaj tsam sab laug ntawm qhov sib npaug yog tag nrho qhov sib txawv ntawm qhov tseem tsis tau paub ua haujlwm U(x; y). Tom qab ntawd, raws li qhov sib npaug, dU (x; y) yuav muab sib npaug rau xoom, thiab yog li ntawd, qhov sib npaug ntawm qhov sib npaug ntawm tag nrho qhov sib txawv yuav tshwm sim hauv daim ntawv U (x; y) u003d C. Yog li ntawd, kev daws ntawm qhov sib npaug yog txo kom pom qhov ua haujlwm U (x; y).
Integrating factor
Yog tias qhov xwm txheej dP(x; y) / dy=dQ(x; y) / dx tsis txaus siab nyob rau hauv kab zauv, ces qhov sib npaug tsis muaj daim ntawv uas peb xav saum toj no. Tab sis qee zaum nws muaj peev xwm xaiv tau qee qhov haujlwm M (x; y), thaum sib npaug los ntawm qhov sib npaug siv daim ntawv sib npaug hauv tag nrho "diffurs". Txoj haujlwm M (x; y) raug xa mus rau qhov kev sib koom ua ke.
Ib qho kev sib koom ua ke tsuas yog pom tau thaum nws dhau los ua txoj haujlwm ntawm ib qho sib txawv.
