Txawm tias nyob hauv tsev kawm ntawv, peb txhua tus tau kawm qhov sib npaug thiab, kom paub meej, cov txheej txheem ntawm kev sib npaug. Tab sis tsis muaj coob tus neeg paub tias muaj ntau txoj hauv kev los daws lawv. Niaj hnub no peb yuav txheeb xyuas kom meej txhua txoj hauv kev los daws qhov system ntawm linear algebraic equations, uas muaj ntau tshaj ob qhov sib npaug.
History
Hnub no nws paub tias kos duab ntawm kev daws qhov sib npaug thiab lawv cov txheej txheem pib hauv Npanpiloo thaum ub thiab Iyiv. Txawm li cas los xij, kev sib npaug hauv lawv daim ntawv ib txwm tshwm sim tom qab qhov pom ntawm qhov sib npaug ntawm qhov kos npe "=", uas tau qhia nyob rau hauv 1556 los ntawm cov ntaub ntawv Askiv lej. Los ntawm txoj kev, qhov kos npe no tau xaiv rau ib qho laj thawj: nws txhais tau hais tias ob qho tib si sib npaug. Tseeb tiag, tsis muaj ib qho piv txwv zoo ntawm kev sib npaug.
Tus tsim ntawm tsab ntawv niaj hnub tsim ntawm qhov tsis paub thiab cov cim qhia ntawm qib yog tus kws lej Fabkis tus lej Francois Viet. Txawm li cas los xij, nws cov kev xaiv tau txawv ntawm qhov niaj hnub no. Piv txwv li, nws qhia lub square ntawm tus lej tsis paub nrog tsab ntawv Q (lat. "quadratus"), thiab lub voos xwmfab nrog tsab ntawv C (lat. "cubus"). Cov npe no tam sim no zoo li tsis yooj yim, tab sis tom qab ntawdnws yog txoj kev nkag siab tshaj plaws los sau cov kab ke ntawm kab zauv sib npaug.
Txawm li cas los xij, qhov tsis zoo ntawm cov txheej txheem ntawm kev daws yog cov lej suav tsuas yog cov hauv paus zoo xwb. Tej zaum qhov no yog vim qhov tseeb tias qhov txiaj ntsig tsis zoo tsis muaj kev siv tswv yim. Ib txoj kev los yog lwm qhov, nws yog Italian mathematicians Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano thiab Rafael Bombelli uas yog thawj zaug xav txog cov hauv paus tsis zoo hauv lub xyoo pua 16th. Thiab niaj hnub saib, txoj hauv kev tseem ceeb rau kev daws qhov sib npaug ntawm plaub (los ntawm kev sib cais) tsuas yog tsim nyob rau xyoo pua 17th ua tsaug rau kev ua haujlwm ntawm Descartes thiab Newton.
Nyob rau hauv nruab nrab-18th caug xyoo, Swiss mathematician Gabriel Cramer tau pom ib txoj hauv kev tshiab los daws cov kab sib npaug ntawm cov kab zauv yooj yim dua. Txoj kev no tau muaj npe tom qab nws thiab rau hnub no peb siv nws. Tab sis peb yuav tham txog Cramer txoj kev me ntsis tom qab, tab sis rau tam sim no peb yuav tham txog cov kab sib npaug thiab txoj hauv kev los daws lawv cais ntawm lub system.
kab zauv sib npaug
Linear equations yog qhov sib npaug yooj yim tshaj plaws nrog qhov sib txawv. Lawv raug cais raws li algebraic. Linear equations yog sau nyob rau hauv daim ntawv no: 2+…a x =b. Peb yuav xav tau lawv cov neeg sawv cev rau hauv daim ntawv no thaum sau cov tshuab thiab matrices ntxiv.
Systems of linear algebraic equations
Lub ntsiab lus ntawm lo lus no yog qhov no: nws yog ib qho kev sib npaug uas muaj ntau yam tsis paub thiab kev daws teeb meem. Raws li txoj cai, hauv tsev kawm ntawv txhua yam tau txiav txim siab los ntawm cov kab kenrog ob lossis peb qhov sib npaug. Tab sis muaj cov tshuab nrog plaub lossis ntau dua. Cia peb xub xyuas seb yuav sau lawv li cas thiaj li yooj yim los daws lawv tom qab. Ua ntej, cov kab ke ntawm kab zauv kab zauv sib npaug yuav zoo dua yog tias txhua qhov sib txawv tau sau ua x nrog qhov ntsuas qhov tsim nyog: 1, 2, 3, thiab lwm yam. Thib ob, txhua qhov sib npaug yuav tsum raug txo mus rau hauv daim ntawv canonical: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Tom qab tag nrho cov kauj ruam no, peb tuaj yeem pib tham txog yuav ua li cas thiaj nrhiav tau cov kev daws teeb meem ntawm cov kab sib npaug. Matrices yuav muaj txiaj ntsig zoo rau qhov no.
Matrices
A matrix yog lub rooj uas muaj cov kab thiab kab, thiab nws cov ntsiab lus nyob ntawm lawv qhov kev sib tshuam. Cov no tuaj yeem yog cov nqi tshwj xeeb lossis cov hloov pauv. Feem ntau, txhawm rau xaiv cov ntsiab lus, cov ntawv sau npe tau muab tso rau hauv lawv (piv txwv li, a 11 lossis 23). Thawj qhov ntsuas txhais tau tias kab zauv thiab qhov thib ob yog tus lej kab. Ntawm matrices, nrog rau lwm yam lej, koj tuaj yeem ua ntau yam haujlwm. Yog li koj tuaj yeem:
1) Tshem tawm thiab ntxiv cov ntxhuav ntawm tib qhov loj.
2) Muab cov matrix los ntawm qee tus lej lossis vector.
3) Hloov pauv: Tig kab matrix rau hauv kab thiab kab hauv kab.
4) Muab cov matrices ntau yog tias cov kab ntawm ib qho ntawm lawv sib npaug rau cov kab ntawm lwm tus.
Peb yuav tham txog tag nrho cov txheej txheem no kom ntxaws ntxiv, vim tias lawv yuav muaj txiaj ntsig zoo rau peb yav tom ntej. Kev rho tawm thiab ntxiv cov matrices yog qhov yooj yim heev. Yog liraws li peb coj matrices ntawm tib qhov loj, ces txhua lub ntsiab ntawm ib lub rooj sib raug rau txhua lub ntsiab ntawm lwm tus. Yog li, peb ntxiv (rho tawm) ob lub ntsiab lus (nws yog ib qho tseem ceeb uas lawv nyob hauv tib qhov chaw hauv lawv cov matrices). Thaum muab cov matrix los ntawm tus lej lossis vector, koj tsuas yog yuav tsum muab txhua lub ntsiab lus ntawm matrix los ntawm tus lej ntawd (lossis vector). Kev hloov pauv yog txheej txheem nthuav dav heev. Nws yog qhov nthuav heev qee zaum pom nws hauv lub neej tiag tiag, piv txwv li, thaum hloov kev taw qhia ntawm lub ntsiav tshuaj lossis xov tooj. Cov cim ntawm lub desktop yog matrix, thiab thaum koj hloov txoj hauj lwm, nws transposes thiab ua wider, tab sis txo nyob rau hauv qhov siab.
Cia peb saib lwm tus txheej txheem xws li matrix multiplication. Txawm hais tias nws yuav tsis muaj txiaj ntsig rau peb, nws tseem yuav muaj txiaj ntsig kom paub nws. Koj tuaj yeem muab ob lub matrices tsuas yog tias tus naj npawb ntawm kab hauv ib lub rooj sib npaug rau cov kab hauv lwm qhov. Tam sim no cia peb coj cov ntsiab lus ntawm ib kab ntawm ib lub matrix thiab cov ntsiab lus ntawm cov kab sib txuas ntawm lwm tus. Peb muab lawv los ntawm ib leeg thiab tom qab ntawd ntxiv lawv (piv txwv li, cov khoom ntawm cov khoom a 11 thiab a 12 los ntawm b 12thiab b22 yuav sib npaug: a11b12 + a 12 b22). Yog li, ib feem ntawm lub rooj tau txais, thiab nws tau sau ntxiv los ntawm txoj kev zoo sib xws.
Tam sim no peb tuaj yeem pib saib seb qhov txheej txheem ntawm kab sib npaug daws li cas.
Gauss method
Lub ncauj lus no pib dhau txawm tias tom tsev kawm ntawv. Peb paub zoo lub tswv yim ntawm "system ntawm ob kab sib npaug" thiab paub yuav ua li cas los daws lawv. Tab sis yuav ua li cas yog tias tus lej ntawm qhov sib npaug ntau dua ob? Txoj kev Gauss yuav pab peb nrog qhov no.
Tau kawg, txoj kev no yooj yim siv yog tias koj ua cov matrix tawm ntawm qhov system. Tab sis koj tsis tuaj yeem hloov nws thiab daws nws hauv nws daim ntawv purest.
Yog li txoj kev no yuav daws qhov system ntawm cov kab sib npaug Gaussian li cas? Los ntawm txoj kev, txawm hais tias txoj kev no muaj npe tom qab nws, nws tau pom nyob rau hauv ancient sij hawm. Gauss tawm tswv yim hauv qab no: txhawm rau ua haujlwm nrog kev sib npaug kom thiaj li txo tau tag nrho cov txheej txheem mus rau ib daim ntawv teev tseg. Ntawd yog, nws yog qhov tsim nyog uas los ntawm sab saum toj mus rau hauv qab (yog tias muab tso rau kom raug) los ntawm thawj qhov sib npaug mus rau qhov kawg, ib qho tsis paub txo qis. Hauv lwm lo lus, peb yuav tsum ua kom paub tseeb tias peb tau txais, hais, peb qhov sib npaug: hauv thawj - peb yam tsis paub, hauv qhov thib ob - ob, hauv peb - ib qho. Tom qab ntawd los ntawm kab zauv kawg peb pom thawj qhov tsis paub, hloov nws tus nqi rau hauv qhov sib npaug thib ob lossis thawj qhov sib npaug, thiab tom qab ntawd nrhiav ob qhov sib txawv ntxiv.
Cramer method
Txhawm rau ua tus qauv no, nws yog ib qho tseem ceeb kom paub cov txuj ci ntxiv, rho tawm ntawm matrices, thiab koj kuj yuav tsum muaj peev xwm nrhiav tau cov kev txiav txim. Yog li ntawd, yog tias koj ua txhua yam no tsis zoo lossis tsis paub yuav ua li cas, koj yuav tsum tau kawm thiab xyaum.
Dab tsi yog qhov tseem ceeb ntawm txoj kev no, thiab yuav ua li cas thiaj li tau txais qhov system ntawm kab sib npaug Cramer? Txhua yam yog yooj yim heev. Peb yuav tsum tsim ib tug matrix los ntawm cov zauv (yuav luag ib txwm) coefficients ntawm ib tug system ntawm linear algebraic equations. Txhawm rau ua qhov no, tsuas yog nqa cov lej ua ntej ntawm cov tsis paub thiab teeb tsa lawv hauvrooj nyob rau hauv qhov kev txiav txim uas lawv tau kaw nyob rau hauv lub system. Yog tias tus lej ua ntej los ntawm "-" kos npe, ces peb sau qhov tsis zoo coefficient. Yog li, peb tau sau cov thawj matrix los ntawm cov coefficients ntawm qhov tsis paub, tsis suav nrog cov lej tom qab cov cim sib npaug (naturally, qhov sib npaug yuav tsum raug txo rau hauv daim ntawv canonical, thaum tsuas yog tus lej ntawm sab xis, thiab tag nrho cov tsis paub nrog. coefficients ntawm sab laug). Tom qab ntawd koj yuav tsum tsim ntau ntau matrices - ib qho rau txhua qhov sib txawv. Ua li no, peb hloov nyob rau hauv lem txhua kem nrog coefficients nyob rau hauv thawj matrix nrog ib kem ntawm cov zauv tom qab lub sib npaug zos kos npe rau. Yog li, peb tau txais ntau qhov matrices thiab tom qab ntawd nrhiav lawv cov kev txiav txim.
Tom qab peb tau pom cov kev txiav txim, qhov teeb meem me me. Peb muaj qhov pib matrix, thiab muaj ob peb qhov txiaj ntsig matrices uas sib haum rau ntau qhov sib txawv. Txhawm rau kom tau txais cov kev daws teeb meem ntawm qhov system, peb faib cov kev txiav txim siab ntawm cov txiaj ntsig tau los ntawm kev txiav txim siab ntawm thawj lub rooj. Tus lej tshwm sim yog tus nqi ntawm ib qho ntawm qhov sib txawv. Ib yam li ntawd, peb pom txhua yam tsis paub.
Lwm txoj kev
Muaj ntau ntau txoj hauv kev kom tau txais cov kev daws teeb meem ntawm cov kab sib npaug. Piv txwv li, lub npe hu ua Gauss-Jordan txoj kev, uas yog siv los nrhiav kev daws teeb meem rau ib qho kev sib npaug ntawm plaub thiab tseem cuam tshuam nrog kev siv matrices. Kuj tseem muaj txoj hauv kev Jacobi rau kev daws qhov system ntawm linear algebraic equations. Nws yog qhov yooj yim tshaj los hloov mus rau lub computer thiab siv hauv kev suav.
mob nyuaj
Complexity feem ntau tshwm sim thaum tus lej ntawm qhov sib npaug tsawg dua tus lej ntawm qhov sib txawv. Tom qab ntawd peb tuaj yeem hais kom paub meej tias qhov system tsis sib xws (uas yog, nws tsis muaj cov hauv paus hniav), lossis tus naj npawb ntawm nws cov kev daws teeb meem zoo li infinity. Yog tias peb muaj qhov thib ob, peb yuav tsum tau sau cov kev daws teeb meem dav dav ntawm qhov system ntawm kab sib npaug. Nws yuav muaj tsawg kawg yog ib qho sib txawv.
Zoo kawg
Ntawm no peb los txog kawg. Los xaus: peb tau txheeb xyuas qhov system thiab matrix yog dab tsi, peb tau kawm yuav ua li cas thiaj nrhiav tau cov kev daws teeb meem dav dav rau cov kab ke ntawm kab sib npaug. Tsis tas li ntawd, lwm txoj kev xaiv tau raug txiav txim siab. Peb pom tias yuav ua li cas cov txheej txheem ntawm cov kab zauv sib npaug daws tau: txoj kev Gauss thiab Cramer txoj kev. Peb tham txog cov teeb meem nyuaj thiab lwm txoj hauv kev los nrhiav kev daws teeb meem.
Qhov tseeb, lub ntsiab lus no yog qhov dav dua, thiab yog tias koj xav nkag siab zoo dua, peb qhia koj kom nyeem cov ntawv tshwj xeeb ntxiv.
