Ib qho teeb meem tshwm sim hauv stereometry yog cov haujlwm ntawm kev hla cov kab ncaj thiab dav hlau thiab suav cov kaum sab xis ntawm lawv. Cia peb xav txog hauv kab lus no kom ntxaws ntxiv txog qhov hu ua kev sib koom tes thiab cov ces kaum ntawm kab thiab lub dav hlau.
Kab thiab dav hlau hauv geometry
Ua ntej xav txog txoj kev sib koom tes thiab lub kaum sab xis ntawm kab thiab lub dav hlau, koj yuav tsum tau paub nrog cov khoom npe geometric.
Ib kab yog xws li sau cov ntsiab lus hauv qhov chaw lossis ntawm lub dav hlau, txhua qhov tuaj yeem tau txais los ntawm linearly hloov qhov dhau los mus rau ib qho vector. Nyob rau hauv dab tsi nram qab no, peb denote no vector los ntawm lub cim u¯. Yog tias qhov vector no muab ntau dua los ntawm ib tus lej uas tsis sib npaug rau xoom, ces peb tau txais vector parallel rau u¯. Ib kab yog ib yam khoom uas tsis muaj kawg.
Ib dav hlau kuj yog ib qho kev sau ntawm cov ntsiab lus uas nyob rau hauv xws li yog tias koj tsim cov vectors arbitrary los ntawm lawv, ces tag nrho cov ntawm lawv yuav perpendicular rau ib co vector n¯. Cov tom kawg no hu ua normal or simple normal. Ib lub dav hlau, tsis zoo li txoj kab ncaj nraim, yog ob qhov khoom uas tsis muaj qhov kawg.
Txoj kev sib koom tes daws teeb meem geometry
Raws li lub npe ntawm txoj kev nws tus kheej, peb tuaj yeem xaus tias peb tab tom tham txog ib txoj hauv kev los daws cov teeb meem, uas yog ua raws li kev ua tau zoo ntawm kev txheeb xyuas cov lej sib txuas. Hauv lwm lo lus, txoj kev sib koom ua ke tso cai rau koj los daws cov teeb meem geometric siv cov cuab yeej algebra universal, lub ntsiab ntawm qhov sib npaug.
Nws yuav tsum tau muab sau tseg tias txoj kev xav tau tshwm sim thaum kaj ntug ntawm niaj hnub geometry thiab algebra. Ib qho txiaj ntsig zoo rau nws txoj kev loj hlob tau ua los ntawm Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton thiab Leibniz hauv 17th-18th centuries.
Lub ntsiab lus ntawm txoj kev yog xam qhov nrug, lub kaum sab xis, thaj chaw thiab ntim ntawm cov ntsiab lus geometric raws li kev sib koom ua ke ntawm cov ntsiab lus paub. Nco ntsoov tias daim ntawv ntawm qhov sib npaug kawg tau txais nyob ntawm qhov kev sib koom ua ke. Feem ntau, cov kab lus Cartesian yog siv rau hauv cov teeb meem, vim nws yooj yim tshaj plaws los ua haujlwm nrog.
kab sib npaug
Kev txiav txim siab ntawm txoj kev sib koom tes thiab cov ces kaum ntawm kab thiab lub dav hlau, cia peb pib nrog kev teeb tsa cov kab sib npaug. Muaj ntau txoj hauv kev los sawv cev cov kab hauv daim ntawv algebraic. Ntawm no peb xav txog qhov sib npaug vector nkaus xwb, vim nws tuaj yeem tau yooj yim tau los ntawm nws hauv lwm daim ntawv thiab yooj yim ua haujlwm nrog.
Xav tias muaj ob lub ntsiab lus: P thiab Q. Nws paub tias kab tuaj yeem kos los ntawm lawv, thiab nwsyuav yog tus xwb. Qhov sib piv cov lej sawv cev ntawm lub caij zoo li no:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Qhov twg PQ¯ yog vector uas nws cov haujlwm tau txais raws li hauv qab no:
PQ¯=Q - P.
Lub cim λ qhia txog qhov ntsuas uas tuaj yeem coj tus lej kiag li.
Nyob rau hauv cov lus sau, koj tuaj yeem hloov cov kev taw qhia ntawm vector, thiab tseem hloov cov kev tswj hwm Q es tsis txhob taw tes P. Tag nrho cov kev hloov pauv no yuav tsis ua rau muaj kev hloov pauv hauv qhov chaw geometric ntawm kab.
Nco ntsoov tias thaum daws teeb meem, qee zaum yuav tsum sawv cev rau qhov sau vector sib npaug hauv daim ntawv qhia meej (parametric).
Tshav dav hlau hauv qhov chaw
Raws li txoj kab ncaj nraim, kuj tseem muaj ntau hom kev sib npaug ntawm lej rau lub dav hlau. Ntawm lawv, peb sau cov vector, qhov sib npaug hauv ntu thiab daim ntawv dav dav. Hauv tsab xov xwm no, peb yuav xyuam xim tshwj xeeb rau daim ntawv kawg.
Ib kab zauv dav dav rau lub dav hlau arbitrary tuaj yeem sau tau raws li hauv qab no:
Ax + By + Cz + D=0.
Latin cov ntawv loj yog qee tus lej uas txhais lub dav hlau.
Qhov yooj yim ntawm cov ntawv sau no yog qhov tseeb tias nws muaj cov vector ib txwm rau lub dav hlau. Nws yog sib npaug rau:
n¯=(A, B, C).
Paub tus vector no ua rau nws ua tau, los ntawm kev saib luv luv ntawm qhov sib npaug ntawm lub dav hlau, xav txog qhov chaw ntawm qhov kawg hauv qhov kev sib koom ua ke.
Kev sib koom ua ke hauvqhov chaw ntawm kab thiab dav hlau
Nyob rau nqe lus tom ntej ntawm tsab xov xwm peb yuav txav mus rau qhov kev txiav txim siab ntawm txoj kev sib koom tes thiab lub kaum sab xis ntawm kab thiab lub dav hlau. Ntawm no peb yuav teb cov lus nug ntawm yuav ua li cas cov ntsiab lus geometric suav nrog tuaj yeem nyob hauv qhov chaw. Muaj peb txoj hauv kev:
- Txoj kab ncaj nraim hla lub dav hlau. Siv txoj kev sib koom tes, koj tuaj yeem suav ntawm ib qho taw tes ntawm kab thiab lub dav hlau sib tshuam.
- Lub dav hlau ntawm txoj kab ncaj nraim yog sib npaug. Hauv qhov no, qhov system ntawm kev sib npaug ntawm cov ntsiab lus geometric tsis muaj kev daws teeb meem. Txhawm rau ua pov thawj parallelism, cov cuab yeej ntawm cov khoom scalar ntawm cov directing vector ntawm txoj kab ncaj nraim thiab qhov qub ntawm lub dav hlau feem ntau yog siv.
- Lub dav hlau muaj kab. Kev daws qhov kev sib npaug ntawm qhov xwm txheej no, peb yuav los xaus tias rau ib qho txiaj ntsig ntawm qhov ntsuas λ, qhov tseeb qhov sib npaug yog tau.
Hauv qhov thib ob thiab thib peb, lub kaum sab xis ntawm cov khoom geometric tau teev tseg yog sib npaug rau xoom. Hauv thawj kis, nws nyob ntawm 0 txog 90o.
Xaiv kaum ntawm kab thiab dav hlau
Tam sim no cia peb mus ncaj qha rau lub ntsiab lus ntawm kab lus. Txhua qhov kev sib tshuam ntawm kab thiab lub dav hlau tshwm sim ntawm qee lub kaum sab xis. Lub kaum sab xis no yog tsim los ntawm txoj kab ncaj nraim nws tus kheej thiab nws qhov projection mus rau lub dav hlau. Ib qho kev kwv yees tuaj yeem tau txais yog tias los ntawm ib qho taw tes ntawm txoj kab ncaj nraim ib qho perpendicular yog qis rau ntawm lub dav hlau, thiab tom qab ntawd los ntawm qhov tau txais qhov sib tshuam ntawm lub dav hlau thiab lub perpendicular thiab qhov taw tes ntawm kev sib tshuam ntawm lub dav hlau thiab cov kab qub, kos ib txoj kab ncaj nraim uas yuav yog qhov projection.
Xaiv cov ces kaum ntawm kab thiab dav hlau tsis yog ib txoj haujlwm nyuaj. Yuav kom daws tau nws, nws yog txaus kom paub qhov sib npaug ntawm cov khoom geometric coj. Cia peb hais cov kab zauv no zoo li no:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Lub kaum sab xis xav tau yooj yim pom siv cov cuab yeej ntawm cov khoom ntawm cov scalar vectors u¯ thiab n¯. Cov qauv kawg zoo li no:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Cov qauv no hais tias lub sine ntawm lub kaum sab xis ntawm ib kab thiab ib lub dav hlau sib npaug rau qhov piv ntawm cov qauv ntawm cov khoom siv scalar ntawm cov cim vectors rau cov khoom ntawm lawv qhov ntev. Kom nkag siab tias yog vim li cas sine thiaj li tshwm sim tsis yog cosine, cia peb tig mus rau daim duab hauv qab no.
Nws tuaj yeem pom tias yog peb siv lub cosine muaj nuj nqi, peb yuav tau txais lub kaum sab xis ntawm vectors u¯ thiab n¯. Lub kaum sab xis xav tau θ (α hauv daim duab) tau txais raws li hauv qab no:
θ=90o- β.
Lub sine tshwm los ntawm kev siv cov qauv txo qis.
Example problem
Cia peb mus rau kev siv tswv yim ntawm kev paub txog kev paub. Cia peb daws qhov teeb meem raug ntawm lub kaum sab xis ntawm txoj kab ncaj nraim thiab lub dav hlau. Cov haujlwm hauv qab no ntawm plaub lub ntsiab lus tau muab:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Nws paub tias dhau los ntawm cov ntsiab lus PQMib lub dav hlau hla nws, thiab ib txoj kab ncaj nraim hla MN. Siv txoj kev sib koom tes, lub kaum sab xis ntawm lub dav hlau thiab kab yuav tsum raug xam.
Ua ntej, cia peb sau qhov sib npaug ntawm txoj kab ncaj nraim thiab lub dav hlau. Rau txoj kab ncaj nraim, nws yooj yim los sau nws:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Yuav ua kom qhov sib npaug ntawm lub dav hlau, peb xub pom qhov qub rau nws. Nws cov coordinates yog sib npaug rau cov khoom vector ntawm ob vectors dag hauv lub dav hlau muab. Peb muaj:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Tam sim no cia peb hloov cov kev tswj hwm ntawm ib qho taw tes dag hauv nws mus rau qhov sib npaug ntawm lub dav hlau dav dav kom tau tus nqi ntawm lub sij hawm pub dawb D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Lub dav hlau sib npaug yog:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Nws tseem siv cov qauv rau lub kaum sab xis tsim ntawm kev sib tshuam ntawm txoj kab ncaj nraim thiab lub dav hlau kom tau txais cov lus teb rau qhov teeb meem. Peb muaj:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Siv qhov teeb meem no ua piv txwv, peb tau qhia yuav ua li cas siv txoj kev sib koom tes los daws cov teeb meem geometric.
