Thaum daws teeb meem geometric hauv qhov chaw, feem ntau muaj cov uas yuav tsum tau suav cov kaum sab xis ntawm cov khoom sib txawv. Hauv kab lus no, peb yuav xav txog qhov teeb meem ntawm kev nrhiav cov kaum sab xis ntawm cov dav hlau thiab nruab nrab ntawm lawv thiab ib txoj kab ncaj nraim.
Kab hauv qhov chaw
Nws paub tias txhua txoj kab ncaj nraim hauv lub dav hlau tuaj yeem txhais tau los ntawm qhov sib npaug hauv qab no:
y=ax + b
Nov a thiab b yog qee tus lej. Yog tias peb sawv cev ib txoj kab ncaj nraim hauv qhov chaw nrog tib qhov kev qhia, ces peb tau txais ib lub dav hlau mus rau lub z axis. Rau kev ua lej txhais ntawm kab spatial, ib txoj kev daws teeb meem sib txawv yog siv dua li ntawm ob sab. Nws muaj nyob rau hauv kev siv lub tswvyim ntawm "direction vector".
Tus coj vector ntawm txoj kab ncaj qha qhia nws txoj kev taw qhia hauv qhov chaw. Qhov no parameter belongs rau kab. Txij li thaum muaj cov txheej txheem tsis kawg ntawm cov vectors sib npaug hauv qhov chaw, tom qab ntawd txhawm rau txhawm rau txiav txim siab qhov khoom siv geometric, nws tseem yuav tsum paub txog qhov sib koom ua ke ntawm cov ntsiab lus ntawm nws.
Xav tias muajpoint P(x0; y0; z0) and direction vector v¯(a; b; c), ces qhov sib npaug ntawm txoj kab ncaj tuaj yeem muab tau raws li hauv qab no:
(x; y; z)=P + αv¯ or
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Qhov kev qhia no yog hu ua parametric vector equation ntawm ib txoj kab ncaj nraim. Lub coefficient α yog ib qho parameter uas tuaj yeem coj txhua qhov txiaj ntsig tiag tiag. Cov kev sib koom ua ke ntawm ib kab tuaj yeem sawv cev ncaj qha los ntawm kev nthuav dav qhov sib npaug:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb;
z=z0+ αc
Sib npaug ntawm lub dav hlau
Muaj ntau hom kev sau ib qho kev sib npaug rau lub dav hlau hauv qhov chaw. Ntawm no peb yuav xav txog ib qho ntawm lawv, uas feem ntau yog siv thaum xam cov ces kaum ntawm ob lub dav hlau los yog ntawm ib qho ntawm lawv thiab ib txoj kab ncaj nraim.
Yog qee tus vector n¯(A; B; C) paub, uas yog perpendicular rau lub dav hlau xav tau, thiab taw tes P(x0; y 0; z0), uas belongs rau nws, ces cov kab zauv dav dav rau tom kawg yog:
Ax + By + Cz + D=0 qhov twg D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Peb tau tshem tawm qhov kev coj ua ntawm cov lus no, uas yooj yim heev. Ntawm no peb tsuas yog nco ntsoov tias, paub txog cov coefficients ntawm qhov sib txawv ntawm qhov sib npaug ntawm lub dav hlau, ib tus tuaj yeem pom tau txhua qhov vectors uas yog perpendicular rau nws. Cov tom kawg yog hu ua normals thiab yog siv los xam cov ces kaum ntawm lub inclined thiab lub dav hlau thiab nruab nrab ntawmarbitrary analogues.
Qhov chaw ntawm cov dav hlau thiab cov qauv rau lub kaum sab xis ntawm lawv
Cia hais tias muaj ob lub dav hlau. Dab tsi yog cov kev xaiv rau lawv qhov chaw txheeb ze hauv qhov chaw. Txij li lub dav hlau muaj ob qhov ntev tsis kawg thiab ib qho xoom, tsuas yog ob txoj kev xaiv rau lawv qhov kev sib koom ua ke tuaj yeem ua tau:
- lawv yuav sib npaug;
- lawv yuav sib tshooj.
Lub kaum sab xis ntawm dav hlau yog qhov ntsuas nruab nrab ntawm lawv cov vectors, piv txwv li ntawm lawv qhov qub n1¯ thiab n2¯.
Pom tseeb, yog tias lawv sib npaug rau lub dav hlau, ces qhov kev sib tshuam yog xoom ntawm lawv. Yog hais tias lawv sib tshuam, ces nws yog nonzero, tab sis ib txwm ntse. Ib rooj plaub tshwj xeeb ntawm kev sib tshuam yuav yog lub kaum sab xis 90 o, thaum cov dav hlau sib koom ua ke rau ib leeg.
Lub kaum sab xis ntawm n1¯ thiab n2¯ tau yooj yim txiav txim siab los ntawm cov khoom lag luam ntawm cov vectors. Ntawd yog, tus qauv siv qhov chaw:
α=arccos((n1¯ n2¯)/(|n1 ¯| |n2¯|)
Xav tias cov kev tswj hwm ntawm cov vectors yog: n1¯(a1; b1;c1), n2¯(a2; b2; c2). Tom qab ntawd, siv cov qauv rau kev suav cov khoom scalar thiab cov qauv ntawm vectors los ntawm lawv cov kev tswj xyuas, cov lus qhia saum toj no tuaj yeem rov sau dua li:
α=arccos(|a1 a2 + b1 b 2 +c1 c2| / (√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b 22+ c22))
Lub modulus nyob rau hauv tus lej tshwm sim vim kom tshem tawm cov txiaj ntsig ntawm obtuse kaum.
Piv txwv ntawm kev daws teeb meem los txiav txim lub kaum sab xis ntawm kev sib tshuam ntawm cov dav hlau
Paub yuav ua li cas nrhiav lub kaum sab xis ntawm lub dav hlau, peb yuav daws cov teeb meem hauv qab no. Ob lub dav hlau tau muab, qhov sib npaug ntawm uas yog:
3x + 4y - z + 3=0;
-x - 2y + 5z +1=0
lub kaum sab xis ntawm lub dav hlau yog dab tsi?
Los teb cov lus nug ntawm qhov teeb meem, cia peb nco ntsoov tias cov coefficients ntawm qhov sib txawv ntawm qhov sib npaug ntawm lub dav hlau yog qhov sib koom ua ke ntawm cov lus qhia vector. Rau cov dav hlau qhia peb muaj cov haujlwm hauv qab no ntawm lawv qhov qub:
1¯(3; 4; -1);
2¯(-1; -2; 5)
Tam sim no peb pom cov khoom lag luam ntawm cov vectors thiab lawv cov qauv, peb muaj:
(n1¯n2¯)=-3 -8 -5=-16;
|n1¯|=√(9+16+1)=√26;
|n2¯|=√(1+4+25)=√30
Tam sim no koj tuaj yeem hloov cov lej pom hauv cov qauv uas tau muab rau hauv kab lus dhau los. Peb tau txais:
α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o
Tus nqi tshwm sim sib raug rau lub kaum sab xis ntawm kev sib tshuam ntawm cov dav hlau teev hauv qhov xwm txheejcov haujlwm.
Tam sim no xav txog lwm qhov piv txwv. Muab ob lub dav hlau:
x + y -3=0;
3x + 3y + 8=0
Puas yog lawv sib tshuam? Wb sau tawm qhov tseem ceeb ntawm cov kev tswj hwm ntawm lawv cov vectors kev taw qhia, xam lawv cov khoom lag luam thiab cov qauv:
1¯(1; 1; 0);
2¯(3; 3; 0);(n1¯ n2¯)=3 + 3 + 0=6;
|n1¯|=√2;
|n2¯|=√18
Tom qab ntawd lub kaum sab xis ntawm kev sib tshuam yog:
α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.
Lub kaum sab xis no qhia tias cov dav hlau tsis sib tshuam, tab sis yog sib npaug. Qhov tseeb tias lawv tsis sib haum yog ib qho yooj yim los xyuas. Cia peb ua qhov no ib qho kev txiav txim siab uas yog thawj ntawm lawv, piv txwv li, P(0; 3; 2). Hloov nws cov kev tswj xyuas hauv qhov sib npaug thib ob, peb tau txais:
30 +33 + 8=17 ≠ 0
Qhov ntawd yog, point P tsuas yog rau thawj lub dav hlau xwb.
Yog li ob lub dav hlau sib luag thaum lawv qhov qub.
dav hlau thiab kab ncaj
Nyob rau hauv rooj plaub ntawm kev txiav txim siab qhov chaw txheeb ze ntawm lub dav hlau thiab ib txoj kab ncaj nraim, muaj ob peb txoj kev xaiv ntau dua li ob lub dav hlau. Qhov tseeb no txuas nrog qhov tseeb tias txoj kab ncaj nraim yog ib qho khoom siv ib sab. Kab thiab dav hlau tuaj yeem yog:
- muab sib luag, qhov no lub dav hlau tsis sib tshuam kab;
- kawg yuav yog ntawm lub dav hlau, thaum nws tseem yuav ua tib yam rau nws;
- ob qho khoom ua tausib tshuam ntawm qee lub kaum sab xis.
Cia peb xav txog rooj plaub kawg ua ntej, vim nws xav tau kev qhia txog lub tswvyim ntawm kev sib tshuam.
Kab thiab dav hlau, lub kaum sab xis ntawm lawv
Yog txoj kab ncaj nraim hla lub dav hlau, ces nws hu ua inclined nrog rau nws. Lub ntsiab lus ntawm kev sib tshuam yog hu ua lub hauv paus ntawm txoj kab nqes. Txhawm rau txiav txim siab lub kaum sab xis ntawm cov khoom geometric no, nws yog ib qho tsim nyog yuav tsum txo qis ncaj nraim rau lub dav hlau los ntawm txhua qhov chaw. Tom qab ntawd lub ntsiab lus ntawm kev sib tshuam ntawm lub perpendicular nrog lub dav hlau thiab qhov chaw ntawm kev sib tshuam ntawm txoj kab inclined nrog nws tsim ib txoj kab ncaj nraim. Lub tom kawg yog hu ua qhov projection ntawm thawj kab mus rau lub dav hlau nyob rau hauv kev txiav txim siab. Lub kaum sab xis ntawm txoj kab thiab nws qhov projection yog qhov yuav tsum tau ua.
Ib yam tsis meej pem txhais ntawm lub kaum sab xis ntawm lub dav hlau thiab oblique yuav qhia meej cov duab hauv qab no.
Ntawm no lub kaum ABO yog lub kaum sab xis ntawm kab AB thiab dav hlau a.
Tau sau cov qauv rau nws, xav txog ib qho piv txwv. Cia muaj ib txoj kab ncaj nraim thiab dav hlau, uas tau piav qhia los ntawm qhov sib npaug:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c);
Ax + Bx + Cx + D=0
Nws yog ib qho yooj yim los xam lub kaum sab xis xav tau rau cov khoom no yog tias koj pom cov khoom scalar ntawm cov kev taw qhia vectors ntawm kab thiab lub dav hlau. Lub kaum sab xis uas tshwm sim yuav tsum tau muab rho tawm ntawm 90o, ces nws tau txais ntawm txoj kab ncaj nraim thiab dav hlau.
Daim duab saum toj no qhia tau piav qhia algorithm rau kev nrhiavxam lub kaum sab xis. Ntawm no β yog lub kaum sab xis ntawm qhov qub thiab kab, thiab α yog nruab nrab ntawm txoj kab thiab nws qhov projection mus rau lub dav hlau. Pom tau tias lawv cov lej yog 90o.
Saum toj no, ib qho qauv tau nthuav tawm uas teb cov lus nug ntawm yuav ua li cas nrhiav lub kaum sab xis ntawm dav hlau. Tam sim no peb muab cov lus qhia sib xws rau rooj plaub ntawm txoj kab ncaj nraim thiab dav hlau:
α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a 2 + b2 + c 2)√(A 2 + B 2 + C 2))
Lub modulus hauv cov qauv tso cai tsuas yog cov kaum sab xis raug suav. Kev ua haujlwm arcsine tau tshwm sim es tsis txhob ntawm arccosine vim yog siv cov qauv txo qis ntawm trigonometric functions (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).
Teeb meem: Lub dav hlau hla txoj kab ncaj nraim
Tam sim no cia peb qhia yuav ua li cas ua haujlwm nrog cov qauv saum toj no. Cia peb daws qhov teeb meem: nws yog tsim nyog los xam lub kaum sab xis ntawm lub y-axis thiab lub dav hlau muab los ntawm qhov sib npaug:
y - z + 12=0
lub dav hlau no muaj nyob hauv daim duab.
Koj tuaj yeem pom tias nws cuam tshuam cov y thiab z axes ntawm cov ntsiab lus (0; -12; 0) thiab (0; 0; 12), feem, thiab yog sib npaug rau x axis.
Kev taw qhia vector ntawm kab y muaj kev tswj hwm (0; 1; 0). Ib vector perpendicular rau ib lub dav hlau muab yog tus cwj pwm los ntawm kev tswj hwm (0; 1; -1). Peb siv cov qauv rau lub kaum sab xis ntawm kev sib tshuam ntawm txoj kab ncaj nraim thiab lub dav hlau, peb tau txais:
α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o
Teeb meem: txoj kab ncaj nraim mus rau lub dav hlau
Tam sim no cia peb txiav txim siabzoo ib yam li cov teeb meem yav dhau los, cov lus nug uas tau muab sib txawv. Qhov sib npaug ntawm lub dav hlau thiab txoj kab ncaj yog paub:
x + y - z - 3=0;
(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)
Nws yog ib qho tsim nyog yuav tsum paub seb cov khoom geometric no sib npaug rau ib leeg.
Peb muaj ob lub vectors: txoj kab ncaj nraim yog (0; 2; 2) thiab kev taw qhia ntawm lub dav hlau yog (1; 1; -1). Nrhiav lawv cov khoom dot:
01 + 12 - 12=0
Qhov tshwm sim xoom qhia tias lub kaum sab xis ntawm cov vectors yog 90 o, uas ua pov thawj tias kab thiab lub dav hlau yog tib yam.
Tam sim no cia saib seb kab no tsuas yog sib npaug lossis tseem nyob hauv lub dav hlau. Txhawm rau ua qhov no, xaiv qhov chaw nyob ntawm txoj kab thiab xyuas seb nws puas yog lub dav hlau. Piv txwv li, cia peb coj λ=0, ces tus taw tes P(1; 0; 0) belongs rau kab. Hloov mus rau qhov sib npaug ntawm lub dav hlau P:
1 - 3=-2 ≠ 0
point P tsis yog lub dav hlau, txhais tau tias tag nrho cov kab tsis nyob hauv ib qho.
Qhov twg yog qhov tseem ceeb kom paub cov kaum sab xis ntawm cov khoom siv geometric?
Cov qauv saum toj no thiab cov piv txwv ntawm kev daws teeb meem tsis yog qhov kev xav tau xwb. Lawv feem ntau siv los txiav txim qhov tseem ceeb ntawm lub cev ntawm cov duab peb sab tiag tiag, xws li prisms lossis pyramids. Nws yog ib qho tseem ceeb kom muaj peev xwm txiav txim siab lub kaum sab xis ntawm cov dav hlau thaum xam qhov ntim ntawm cov duab thiab qhov chaw ntawm lawv qhov chaw. Ntxiv mus, yog hais tias nyob rau hauv cov ntaub ntawv ntawm ib tug ncaj prism nws muaj peev xwm tsis siv cov qauv los txiav tximcov nqi teev tseg, ces rau txhua hom pyramid lawv siv yog inevitable.
Hauv qab no, xav txog ib qho piv txwv ntawm kev siv txoj kev xav saum toj no los txiav txim siab lub kaum sab xis ntawm lub pyramid nrog lub hauv paus square.
Pyramid thiab nws cov ces kaum
Daim duab hauv qab no qhia txog lub pyramid, ntawm lub hauv paus ntawm uas yog ib lub xwmfab nrog sab a. Qhov siab ntawm daim duab yog h. Yuav tsum nrhiav ob lub ces kaum:
- nruab nrab sab saum npoo thiab puag;
- nruab nrab sab tav thiab puag.
Yuav daws qhov teeb meem, koj yuav tsum xub nkag mus rau hauv qhov kev sib koom tes thiab txiav txim siab qhov tsis sib xws ntawm cov vertices sib thooj. Daim duab qhia tau hais tias keeb kwm ntawm kev sib koom ua ke coincides nrog lub ntsiab lus nyob rau hauv nruab nrab ntawm lub hauv paus square. Hauv qhov no, lub hauv paus dav hlau tau piav qhia los ntawm qhov sib npaug:
z=0
Ntawd yog, rau ib qho x thiab y, tus nqi ntawm qhov kev sib koom thib peb yog xoom. Lub dav hlau sab nraud ABC cuam tshuam cov z-axis ntawm qhov taw tes B(0; 0; h), thiab y-axis ntawm qhov taw tes nrog kev tswj hwm (0; a/2; 0). Nws tsis hla lub x-axis. Qhov no txhais tau hais tias qhov sib npaug ntawm lub dav hlau ABC tuaj yeem sau ua:
y / (a / 2) + z / h=1 lossis
2hy + az - ah=0
Vector AB¯ yog ib sab ntug. Nws pib thiab xaus kev tswj xyuas yog: A(a/2; a/2; 0) thiab B(0; 0; h). Tom qab ntawd cov kev tswj hwm ntawm vector nws tus kheej:
AB¯(-a/2; -a/2; h)
Peb tau pom txhua qhov sib npaug tsim nyog thiab vectors. Tam sim no nws tseem siv cov qauv txiav txim siab.
Ua ntej peb suav hauv lub pyramid lub kaum sab xis ntawm lub dav hlau ntawm lub hauv pausthiab sab. Cov vectors sib raug zoo yog: n1¯(0; 0; 1) thiab n2¯(0; 2h; a). Ces lub kaum sab xis yuav yog:
α=arccos(a / √(4h2 + a2)
Lub kaum sab xis ntawm dav hlau thiab ntug AB yuav yog:
β=arcsin(h / √(a2 / 2 + h2)
Nws tseem yuav hloov tau qhov tseem ceeb ntawm sab ntawm lub hauv paus a thiab qhov siab h kom tau txais cov ces kaum xav tau.
