Rau ntau tus neeg, kev tshuaj xyuas lej tsuas yog ib pawg ntawm cov lej tsis paub, cim thiab cov ntsiab lus uas nyob deb ntawm lub neej tiag tiag. Txawm li cas los xij, lub ntiaj teb uas peb muaj nyob yog tsim los ntawm cov qauv lej, qhov kev txheeb xyuas uas pab tsis tau tsuas yog kawm txog lub ntiaj teb nyob ib puag ncig peb thiab daws nws cov teeb meem nyuaj, tab sis kuj ua kom yooj yim rau kev ua haujlwm txhua hnub. Tus lej lej txhais li cas thaum nws hais tias tus lej sib sau ua ke? Qhov no yuav tsum tau tham kom ntxaws ntxiv.
Dab tsi yog qhov tsis paub kawg?
Cia li xav txog matryoshka menyuam roj hmab uas haum ib qho hauv lwm qhov. Lawv qhov ntau thiab tsawg, sau ua tus lej, pib nrog qhov loj tshaj plaws thiab xaus nrog qhov tsawg tshaj plaws ntawm lawv, tsim ib ntu. Yog hais tias koj xav txog ib tug infinite tus naj npawb ntawm xws li cov duab ci, ces cov resulting kab yuav ntev heev. Qhov no yog tus lej sib npaug. Thiab nws nyhav rau xoom, txij li qhov loj ntawm txhua qhov tom qab zes menyuam roj hmab, kev puas tsuaj loj zuj zus tuaj, maj mam hloov mus ua tsis muaj dab tsi. Yog li nws yooj yimtuaj yeem piav qhia: dab tsi yog infinitesimal.
Ib qho piv txwv zoo ib yam yuav yog txoj kev coj mus rau qhov deb. Thiab qhov pom qhov ntev ntawm lub tsheb tsav mus deb ntawm tus neeg soj ntsuam raws nws, maj mam shrinking, tig mus rau hauv ib tug shapeless speck resembling ib tug dot. Yog li, lub tshuab, zoo li ib yam khoom, tsiv mus nyob rau hauv ib qho kev tsis paub, ua me me infinitely. Cov kev txwv ntawm lub cev uas tau teev tseg yuav tsis yog xoom hauv qhov kev nkag siab ntawm lo lus, tab sis invariably nyiam tus nqi hauv qhov kawg txwv. Yog li ntawd, cov kab ke no rov ua dua mus rau xoom.
Xam txhua yam poob los poob
Cia peb xav txog tam sim no ib qho xwm txheej hauv ntiaj teb. Tus kws kho mob tau hais kom tus neeg mob noj cov tshuaj, pib nrog kaum tee ib hnub thiab ntxiv ob zaug ib hnub tom ntej. Thiab yog li tus kws kho mob tau hais kom txuas ntxiv mus txog thaum cov ntsiab lus ntawm lub vial ntawm cov tshuaj, qhov ntim ntawm 190 tee, khiav tawm. Nws ua raws li qhov ua ntej uas tus lej ntawm xws li, teem caij los ntawm hnub, yuav yog tus lej hauv qab no: 10, 12, 14 thiab lwm yam.
Yuav ua li cas thiaj nrhiav tau lub sijhawm los ua kom tiav tag nrho cov chav kawm thiab cov tswv cuab ntawm cov kab ke? Ntawm no, tau kawg, ib tus tuaj yeem suav cov tee hauv txoj kev qub. Tab sis nws yog qhov yooj yim dua, muab cov qauv, siv cov qauv rau qhov sib npaug ntawm kev ua lej lej nrog cov kauj ruam d=2. Thiab siv txoj kev no, nrhiav kom paub tias cov tswv cuab ntawm tus lej series yog 10. Nyob rau hauv rooj plaub no., a10=28. Tus nab npawb noov qhia txog pes tsawg hnub ntawm kev noj tshuaj, thiab 28 sib raug rau cov tee uas tus neeg mob yuav tsum tau.siv hnub kawg. Cov kab ke no puas sib txuas? Tsis yog, vim hais tias txawm hais tias nws raug txwv rau 10 los ntawm hauv qab thiab 28 los ntawm saum toj no, xws li cov lej tsis muaj kev txwv, tsis zoo li cov piv txwv yav dhau los.
Qhov txawv yog dab tsi?
Cia tam sim no sim ua kom meej: thaum tus lej series hloov mus ua ib qho kev sib koom ua ke. Lub ntsiab lus ntawm hom no, raws li tuaj yeem txiav txim siab los ntawm cov saum toj no, ncaj qha cuam tshuam nrog lub tswv yim ntawm kev txwv tsis pub dhau, qhov muaj nyob ntawm uas qhia txog qhov tseem ceeb ntawm qhov teeb meem. Yog li dab tsi yog qhov txawv ntawm qhov piv txwv yav dhau los? Thiab yog vim li cas nyob rau hauv kawg ntawm lawv, tus naj npawb 28 tsis tuaj yeem suav tias yog qhov txwv ntawm tus lej X =10 + 2(n-1)?
Yuav kom paub meej cov lus nug no, xav txog lwm cov kab ke uas tau muab los ntawm cov qauv hauv qab no, qhov twg n belongs rau cov lej ntawm ntuj.
Lub zej zog ntawm cov tswv cuab yog ib pawg ntawm feem ntau, tus lej ntawm uas yog 1, thiab tus denominator tau nce ntxiv: 1, ½ …
Ntxiv mus, txhua tus neeg sawv cev txuas ntxiv ntawm cov koob no nce mus txog 0 ntau thiab ntau dua ntawm qhov chaw nyob ntawm tus lej kab. Thiab qhov lawv nyob ze rau nws, qhov denser lawv cov concentration ntawm tus lej kab ua. Thiab qhov kev ncua deb ntawm lawv raug txo qis, tig mus rau hauv ib qho infinitesimal. Nov yog lub cim qhia tias kev sib txuas ua ke.
ZooYog li, cov duab plaub ntau xim uas pom nyob rau hauv daim duab, thaum tsiv mus nyob rau hauv qhov chaw, pom pom ntau neeg coob coob, nyob rau hauv lub hypothetical txwv tig mus rau negligible.
Infinitely loj sequence
Tom tau txheeb xyuas lub ntsiab lus ntawm kev sib koom ua ke, cia peb mus rau qhov piv txwv. Ntau tus ntawm lawv tau paub txog tib neeg txij li thaum ub. Qhov yooj yim tshaj plaws ntawm kev sib txawv ntawm qhov sib txawv yog cov txheej txheem ntawm ntuj thiab tus lej. Lawv hu ua infinitely loj nyob rau hauv ib txoj kev sib txawv, txij li thaum lawv cov tswv cuab, tas li nce, tau nce mus rau qhov zoo infinity.
Ib qho piv txwv ntawm qhov no tuaj yeem yog ib qho ntawm cov lej lej thiab cov lej lej nrog cov kauj ruam thiab tus lej, feem, ntau dua li xoom. Tsis tas li ntawd, cov lej series suav hais tias yog qhov sib txawv, uas tsis muaj qhov txwv txhua. Piv txwv li, X =(-2) -1.
Fibonacci sequence
Cov txiaj ntsig ntawm qhov tau hais dhau los ntawm tus lej series rau tib neeg yog qhov tsis lees paub. Tab sis muaj ntau ntau yam piv txwv zoo. Ib tug ntawm lawv yog Fibonacci ib theem zuj zus. Txhua tus ntawm nws cov tswv cuab, uas pib nrog ib qho, yog cov lej ntawm cov yav dhau los. Nws thawj ob tus neeg sawv cev yog 1 thiab 1. Qhov thib peb 1 + 1=2, thib plaub 1 + 2=3, thib tsib 2 + 3=5. Ntxiv mus, raws li tib lub logic, cov lej 8, 13, 21 thiab lwm yam ua raws.
Cov lej no nce mus tsis kawg thiab tsis muajkawg txwv. Tab sis nws muaj lwm yam khoom zoo. Qhov piv ntawm txhua tus lej dhau los mus rau tus lej tom ntej tau los ze dua thiab ze dua hauv nws tus nqi rau 0.618. Ntawm no koj tuaj yeem nkag siab qhov sib txawv ntawm qhov sib xyaw ua ke thiab sib txawv, vim tias yog tias koj ua ib feem ntawm qhov kev faib ib feem, cov lej qhia yuav muaj qhov txwv tsis pub dhau 0.618.
Sib Piv ntawm Fibonacci ratios
Tus lej series qhia saum toj no yog dav siv rau cov tswv yim rau kev tsom xam ntawm kev lag luam. Tab sis qhov no tsis txwv rau nws lub peev xwm, uas cov neeg Iyiv thiab Greeks paub thiab muaj peev xwm coj mus rau hauv kev coj ua thaum ub. Qhov no tau ua pov thawj los ntawm cov pyramids lawv tsim thiab Parthenon. Tom qab tag nrho, tus naj npawb 0.618 yog qhov sib txuas tas li ntawm ntu kub, paub zoo nyob rau hnub qub. Raws li txoj cai no, txhua ntu tuaj yeem muab faib kom qhov sib piv ntawm nws qhov chaw yuav sib haum nrog qhov sib piv ntawm qhov loj tshaj plaws ntawm ntu thiab tag nrho ntev.
Cia peb tsim cov kev sib raug zoo uas tau hais tseg thiab sim tshuaj xyuas cov kab ke no. Tus lej series yuav muaj raws li hauv qab no: 1; 0.5; 0.67; 0,6; 0.625; 0.615; 0, 619,ua. Txuas ntxiv rau hauv txoj kev no, peb tuaj yeem ua kom paub tseeb tias qhov txwv ntawm qhov sib xyaw ua ke yuav yog 0.618. Txawm li cas los xij, nws yog ib qho tsim nyog yuav tsum nco ntsoov lwm yam khoom ntawm qhov tsis tu ncua. Ntawm no cov lej zoo li mus randomly, thiab tsis yog nyob rau hauv ascending los yog descending kev txiav txim. Qhov no txhais tau hais tias qhov sib xyaw ua ke no tsis yog monotone. Yog vim li cas qhov no thiaj li yuav tham ntxiv.
Monotonicity thiab txwv
Cov tswv cuab ntawm cov lej tuaj yeem txo qis nrog tus lej nce ntxiv (yog tias x 1 >x 2 >x 3>…>x >…) lossis nce (yog x1<x2<x3<…<x <…). Hauv qhov no, qhov sib lawv liag tau hais tias yog nruj me ntsis monotonic. Lwm cov qauv kuj tuaj yeem pom, qhov uas cov lej yuav tsis txo qis thiab tsis nce ntxiv (x 1≧x 2≧x 3≧ …≧x ≧… 3 ≦…≦x ≦…), tom qab ntawd qhov kev sib txuas ua tiav ib qho tseem yog monotonic, tsuas yog tsis nyob hauv qhov kev txiav txim siab nruj. Ib qho piv txwv zoo ntawm thawj qhov kev xaiv no yog tus lej series muab los ntawm cov qauv hauv qab no.
Tom tau pleev xim rau cov lej ntawm cov koob no, koj tuaj yeem pom tias ib tus ntawm nws cov tswv cuab, tsis tas li mus txog 1, yuav tsis dhau qhov nqi no. Nyob rau hauv tas li ntawd, lub convergent sequence yog hais tias yuav bounded. Qhov no tshwm sim thaum twg muaj tus lej zoo li M, uas ib txwm muaj ntau dua ib qho ntawm cov ntsiab lus ntawm series modulo. Yog hais tias ib tug xov tooj series muaj cov cim qhia ntawm monotonicity thiab muaj kev txwv, thiab yog li ntawd converges, ces nws yuav tsum tau endowed nrog xws li ib tug khoom. Thiab qhov opposite tsis tas yuav muaj tseeb. Qhov no yog pov thawj los ntawm boundedness theorem rau ib tug convergent sequence.
Kev siv cov kev soj ntsuam zoo li no hauv kev xyaum yog qhov tseem ceeb heev. Cia peb muab piv txwv tshwj xeeb los ntawm kev tshuaj xyuas cov khoom ntawm cov kab ke X =n / n + 1, thiab ua pov thawj nws qhov kev sib koom ua ke. Nws yog ib qho yooj yim los qhia tias nws yog monotone, txij li (x +1 - x) yog tus lej zoo rau tej yam nqi. Qhov txwv ntawm qhov sib npaug yog sib npaug rau tus lej 1, uas txhais tau hais tias txhua yam kev mob ntawm lub theorem saum toj no, kuj hu ua Weierstrass theorem, txaus siab. Lub theorem ntawm lub boundedness ntawm ib tug convergent sequence hais tias yog hais tias nws muaj ib tug txwv, ces nyob rau hauv txhua rooj plaub nws hloov tawm mus rau bounded. Txawm li cas los xij, cia peb ua piv txwv hauv qab no. Tus lej series X =(-1) yog bounded los ntawm hauv qab no los ntawm -1 thiab los ntawm saum toj no los ntawm 1. Tab sis cov kab lus no tsis yog monotonic, tsis muaj txwv, thiab yog li ntawd tsis converges. Qhov ntawd yog, lub hav zoov ntawm kev txwv thiab kev sib koom ua ke tsis tas li ua raws li kev txwv. Txhawm rau ua qhov no, cov kev txwv qis thiab sab saud yuav tsum sib phim, xws li nyob rau hauv cov ntaub ntawv ntawm Fibonacci ratios.
Tus lej thiab cov cai ntawm lub Ntiaj Teb
Qhov yooj yim tshaj plaws ntawm kev sib koom ua ke thiab sib txawv yog kab tias cov lej X =n thiab X =1 / n. Thawj ntawm lawv yog cov xwm txheej ntawm cov lej. Nws yog, raws li twb tau hais lawm, infinitely loj. Qhov thib ob convergent sequence yog bounded, thiab nws cov ntsiab lus yog nyob ze rau infinitesimal nyob rau hauv magnitude. Txhua tus qauv no qhia txog ib sab ntawm lub ntiaj teb multifaceted, pab ib tug neeg los xav txog thiab xam ib yam dab tsi uas tsis paub, nkag tsis tau rau kev nkag siab ntawm cov lus ntawm cov lej thiab cov cim.
Txoj kev cai ntawm lub qab ntuj khwb, xws li los ntawm negligible mus rau incredibly loj, kuj qhia cov golden piv ntawm 0.618. Cov kws tshawb fawblawv ntseeg hais tias nws yog lub hauv paus ntawm lub ntsiab ntawm tej yam thiab yog siv los ntawm cov xwm los tsim nws qhov chaw. Cov kev sib raug zoo ntawm tus tom ntej thiab yav dhau los cov tswv cuab ntawm Fibonacci series, uas peb twb tau hais lawm, tsis ua kom tiav qhov kev ua qauv qhia ntawm amazing khoom ntawm no cim series. Yog tias peb txiav txim siab qhov kev faib tawm ntawm lub sijhawm dhau los los ntawm qhov txuas ntxiv mus rau ib qho, ces peb tau txais cov koob ntawm 0.5; 0.33; 0.4; 0.375; 0.384; 0.380; 0, 382,ua. Nws yog qhov nthuav tias qhov kev txwv tsis pub dhau los sib sau ua ke, nws tsis yog monotonous, tab sis qhov sib piv ntawm cov neeg nyob sib ze heev los ntawm ib tus tswv cuab ib txwm kwv yees li 0.382, uas tseem tuaj yeem siv rau hauv architecture, kev tsom xam thiab lwm yam lag luam.
Muaj lwm cov coefficients nthuav dav ntawm Fibonacci series, lawv txhua tus ua lub luag haujlwm tshwj xeeb hauv qhov xwm txheej, thiab tseem siv los ntawm tus txiv neej rau lub hom phiaj tswv yim. Mathematicians paub tseeb tias lub ntiaj teb txhim kho raws li ib qho "golden kauv", tsim los ntawm cov coefficients qhia. Nrog lawv cov kev pab, nws muaj peev xwm xam tau ntau yam tshwm sim nyob rau hauv lub ntiaj teb thiab nyob rau hauv qhov chaw, xws li los ntawm kev loj hlob ntawm cov kab mob mus rau lub zog ntawm cov comets nyob deb. Raws li nws hloov tawm, DNA code ua raws li cov cai zoo sib xws.
Kev txo qis geometric kev nce qib
Muaj ib txoj kev xav uas lees paub qhov txawv ntawm qhov txwv ntawm kev sib koom ua ke. Qhov no txhais tau hais tias nws tsis tuaj yeem muaj ob lossis ntau qhov txwv, uas yog qhov tseem ceeb rau kev nrhiav nws tus yam ntxwv lej.
Cia peb saib ib corooj plaub. Txhua tus lej suav nrog cov tswv cuab ntawm qhov kev ua lej lej yog qhov sib txawv, tshwj tsis yog cov ntaub ntawv nrog xoom kauj ruam. Tib yam siv rau qhov kev nce qib geometric, tus lej ntawm qhov ntau dua 1. Cov kev txwv ntawm cov lej zoo li no yog qhov "ntxiv" lossis "muab" ntawm infinity. Yog tias tus denominator tsawg dua -1, ces tsis muaj kev txwv txhua. Muaj lwm txoj kev xaiv tau.
Xav txog tus lej series muab los ntawm tus qauv X =(1/4) -1. Thaum xub thawj siab ib muag, nws yog ib qho yooj yim kom pom tias qhov kev sib koom ua ke no yog bounded vim nws yog nruj me ntsis txo qis thiab tsis muaj peev xwm ntawm kev coj tus nqi tsis zoo.
Cia sau nws cov tswv cuab ua ke.
Nws yuav tig tawm: 1; 0.25; 0.0625; 0.015625; 0, 00390625 thiab lwm yam. Kev suav yooj yim yooj yim txaus kom nkag siab sai npaum li cas qhov kev nce qib geometric txo qis los ntawm tus lej 0<q<1. Thaum lub denominator ntawm cov nqe lus nce indefinitely, lawv lawv tus kheej ua infinitesimal. Qhov no txhais tau hais tias qhov txwv ntawm tus lej series yog 0. Qhov piv txwv no ib zaug ntxiv qhia txog qhov txwv tsis pub muaj kev sib koom ua ke.
Fundamental sequences
Augustin Louis Cauchy, tus kws tshawb fawb Fab Kis, qhia rau ntiaj teb ntau yam haujlwm ntsig txog kev txheeb xyuas lej. Nws tau muab cov lus txhais rau cov ntsiab lus xws li kev sib txawv, ib qho, txwv, thiab txuas ntxiv. Nws kuj tau kawm txog cov yam ntxwv ntawm kev sib koom ua ke. Yuav kom nkag siab lub ntsiab ntawm nws lub tswv yim,qee cov ntsiab lus tseem ceeb yuav tsum tau sau tseg.
Thaum pib ntawm tsab xov xwm, nws tau pom tias muaj cov kab ke uas muaj cov zej zog uas cov ntsiab lus sawv cev rau cov tswv cuab ntawm qee cov kab ntawm kab tiag tiag pib ua pawg, kab ntau thiab ntau dua ntom ntom. Nyob rau tib lub sijhawm, qhov kev ncua deb ntawm lawv txo qis raws li tus naj npawb ntawm cov neeg sawv cev tom ntej nce, tig mus rau hauv ib qho me me infinitely. Yog li, nws hloov tawm hais tias nyob rau hauv ib cheeb tsam muab ib tug infinite tus naj npawb ntawm cov neeg sawv cev ntawm ib tug muab series yog grouped, thaum sab nraum nws muaj ib tug tsawg kawg nkaus ntawm lawv. Cov kab ke no hu ua qhov tseem ceeb.
Cov qauv Cauchy nto moo, tsim los ntawm tus kws lej Fabkis tus lej, qhia meej tias muaj cov cuab yeej zoo li no txaus los ua pov thawj tias qhov sib txuas sib txuas. Qhov thim rov qab kuj muaj tseeb.
Nws yuav tsum tau muab sau tseg tias qhov kev xaus ntawm Fabkis txoj lej yog feem ntau ntawm kev txaus siab theoretical nkaus xwb. Nws daim ntawv thov hauv kev xyaum yog suav tias yog ib qho teeb meem nyuaj, yog li ntawd, txhawm rau kom paub meej txog kev sib koom ua ke ntawm cov koob, nws yog qhov tseem ceeb dua los ua pov thawj tias muaj qhov txwv tsis pub dhau rau ib ntu. Txwv tsis pub, nws raug suav hais tias yog qhov sib txawv.
Thaum daws teeb meem, ib tus yuav tsum coj mus rau hauv tus account cov yam ntxwv ntawm kev sib koom ua ke. Lawv qhia hauv qab no.
Infinite sums
Cov kws tshawb fawb nto moo ntawm keeb kwm yav dhau los xws li Archimedes, Euclid, Eudoxus siv cov lej ntawm cov lej tsis kawg los suav qhov ntev ntawm nkhaus, ntim ntawm lub cev.thiab thaj chaw ntawm cov duab. Tshwj xeeb, nyob rau hauv txoj kev no nws muaj peev xwm nrhiav tau tawm ntawm thaj tsam ntawm parabolic ntu. Rau qhov no, cov lej ntawm cov lej ntawm qhov kev nce qib geometric nrog q=1/4 tau siv. Cov ntim thiab thaj chaw ntawm lwm cov nuj nqis tsis txaus ntseeg tau pom zoo ib yam. Qhov kev xaiv no tau hu ua "kev qaug zog" txoj kev. Lub tswv yim yog hais tias lub cev kawm, complex nyob rau hauv cov duab, tau tawg mus rau hauv qhov chaw, uas yog cov duab nrog yooj yim ntsuas tsis. Vim li no, nws tsis yooj yim los xam lawv thaj chaw thiab ntim, thiab tom qab ntawd lawv ntxiv.
Los ntawm txoj kev, cov haujlwm zoo sib xws tau paub zoo rau cov menyuam kawm ntawv niaj hnub no thiab pom muaj nyob hauv USE cov haujlwm. Txoj kev tshwj xeeb, pom los ntawm cov poj koob yawm txwv nyob deb, yog qhov kev daws teeb meem yooj yim tshaj plaws. Txawm hais tias tsuas muaj ob lossis peb ntu uas cov lej tau muab faib, qhov sib ntxiv ntawm lawv cov cheeb tsam tseem yog cov lej ntawm cov lej.
Ntau tom qab ntau dua li cov kws tshawb fawb Greek thaum ub Leibniz thiab Newton, raws li kev paub ntawm lawv cov thawj coj txawj ntse, tau kawm cov qauv ntawm kev suav suav. Kev paub txog cov khoom sib txuas tau pab lawv daws qhov sib txawv thiab algebraic sib npaug. Tam sim no, txoj kev xav ntawm koob, tsim los ntawm kev siv zog ntawm ntau tiam neeg ntawm cov kws tshawb fawb txawj ntse, muab lub sijhawm los daws cov teeb meem lej thiab cov tswv yim ntau heev. Thiab txoj kev tshawb fawb ntawm cov lej ua ntu zus tau yog qhov teeb meem tseem ceeb daws los ntawm kev txheeb xyuas lej txij li nws pib.
