Txoj kev axiomatic yog ib txoj hauv kev tsim cov kev tshawb fawb uas twb tau tsim lawm. Nws yog raws li kev sib cav, qhov tseeb, nqe lus uas tsis tas yuav muaj pov thawj lossis tsis lees paub. Qhov tseeb, qhov kev paub no tau nthuav tawm nyob rau hauv daim ntawv ntawm tus qauv txiav tawm, uas pib suav nrog cov ntsiab lus ntawm cov ntsiab lus los ntawm cov hauv paus ntsiab lus - axioms.
Txoj kev no tsis tuaj yeem yog qhov kev tshawb pom, tab sis tsuas yog kev faib tawm lub tswv yim xwb. Nws yog tsim nyog rau kev qhia. Lub hauv paus muaj cov kev cai thawj zaug, thiab cov ntaub ntawv tas li ua raws li qhov laj thawj tshwm sim. Qhov twg yog txoj kev axiomatic ntawm kev tsim ib txoj kev xav? Nws nyob ntawm lub hauv paus ntawm feem ntau niaj hnub sciences.
Kev tsim thiab kev loj hlob ntawm lub tswvyim ntawm axiomatic txoj kev, txhais ntawm lo lus
Ua ntej tshaj plaws, lub tswv yim no tau tshwm sim hauv Ancient tim Nkij teb chaws ua tsaug rau Euclid. Nws tau los ua tus tsim ntawm txoj kev axiomatic hauv geometry. Niaj hnub no nws muaj nyob rau hauv tag nrho cov sciences, tab sis feem ntau ntawm tag nrho cov nyob rau hauv lej. Txoj kev no yog tsim los ntawm kev tsim cov nqe lus, thiab cov kev xav tom ntej yog muab los ntawm kev tsim kho kom zoo.
Qhov no tau piav qhia raws li hauv qab no: muaj cov lus thiab cov ntsiab lus uastxhais los ntawm lwm cov ntsiab lus. Raws li qhov tshwm sim, cov kws tshawb fawb tuaj txog qhov xaus tias muaj cov ntsiab lus xaus uas yog qhov tseeb thiab tsis tu ncua - yooj yim, uas yog, axioms. Piv txwv li, thaum ua pov thawj qhov theorem, lawv feem ntau vam khom qhov tseeb uas twb tau tsim los lawm thiab tsis tas yuav muaj kev thim rov qab.
Txawm li cas los xij, ua ntej ntawd, lawv yuav tsum tau lees paub. Nyob rau hauv tus txheej txheem, nws hloov tawm hais tias ib tug unreasoned nqe lus yog coj raws li ib tug axiom. Raws li cov txheej txheem tas li, lwm cov theorems raug pov thawj. Lawv tsim lub hauv paus ntawm planimetry thiab yog cov qauv kev xav ntawm geometry. Cov axioms tsim nyob rau hauv qhov kev tshawb fawb no txhais tau tias yog cov khoom ntawm txhua qhov xwm txheej. Lawv, ntawm qhov tod tes, muaj cov khoom uas tau teev tseg hauv cov ntsiab lus tas li.
Tshawb nrhiav ntxiv ntawm axioms
Txoj kev tau suav tias yog qhov zoo tshaj plaws mus txog rau xyoo pua kaum cuaj. Lub ntsiab lus tseem ceeb ntawm kev tshawb nrhiav cov ntsiab lus tseem ceeb tsis tau kawm rov qab rau hauv cov hnub ntawd, tab sis hauv Euclid system ib tus tuaj yeem soj ntsuam tus qauv ntawm kev tau txais txiaj ntsig los ntawm txoj kev axiomatic. Cov kws tshawb fawb tshawb fawb tau pom lub tswv yim ntawm yuav ua li cas kom tau txais ib qho kev ua tiav ntawm kev paub txog geometric raws li txoj kev txiav tawm ntshiab. Lawv tau muab qee qhov me me ntawm cov lus pom zoo uas pom tau tias muaj tseeb.
Kev zoo ntawm cov lus Greek thaum ub
Euclid tau ua pov thawj ntau lub tswv yim, thiab qee qhov ntawm lawv tau ua ncaj ncees. Txawm li cas los xij, feem ntau hais txog cov txiaj ntsig no rau Pythagoras, Democritus thiab Hippocrates. Lub tom kawg suav ua tiav chav kawm ntawm geometry. Muaj tseeb, tom qab ntawd hauv Alexandria tuaj tawmcollection "Pib", tus sau uas yog Euclid. Tom qab ntawd, nws tau hloov npe mus rau "Elementary Geometry". Tom qab ib pliag, lawv pib thuam nws raws li qee qhov laj thawj:
- tag nrho cov txiaj ntsig tau tsim tsuas yog nrog tus kav thiab tus kav;
- geometry thiab lej tau muab cais thiab ua pov thawj nrog cov lej siv tau thiab cov ntsiab lus;
- axioms, ib txhia ntawm lawv, tshwj xeeb tshaj yog, lub thib tsib postulate, tau thov kom tshem tawm ntawm cov npe dav dav.
Vim li ntawd, tsis yog-Euclidean geometry tshwm nyob rau hauv lub xyoo pua 19th, uas tsis muaj lub hom phiaj tiag tiag postulate. Qhov kev txiav txim no tau muab lub zog rau kev txhim kho ntxiv ntawm geometric system. Yog li, cov kws tshawb fawb txog lej tuaj rau kev txiav tawm kev tsim kho.
Kev txhim kho kev paub lej raws li axioms
Thaum lub tshuab tshiab ntawm geometry pib tsim, txoj kev axiomatic kuj hloov. Hauv kev ua lej, lawv pib tig ntau dua mus rau kev tsim qauv kev txiav txim siab ntshiab. Yog li ntawd, tag nrho cov ntaub ntawv pov thawj tau tshwm sim hauv cov lej niaj hnub no, uas yog ntu tseem ceeb ntawm txhua qhov kev tshawb fawb. Hauv cov qauv lej pib nkag siab txog qhov xav tau kev pom zoo.
Yog li, thaum kawg ntawm lub xyoo pua, cov dej num meej thiab kev tsim kho ntawm cov tswv yim nyuaj tau tsim, uas los ntawm cov theorem nyuaj tau txo qis rau cov lus qhia yooj yim tshaj plaws. Yog li, tsis yog-Euclidean geometry txhawb nqa lub hauv paus ruaj khov rau kev muaj sia nyob ntxiv ntawm txoj kev axiomatic, nrog rau kev daws teeb meem ntawm qhov xwm txheej. Kev tsim ua lej:
- kev sib haum xeeb;
- fullness;
- kev ywj pheej.
Nyob rau hauv tus txheej txheem, ib txoj kev ntawm kev txhais lus tshwm sim thiab tau ua tiav lawm. Cov qauv no tau piav qhia raws li hauv qab no: rau txhua lub tswv yim tso tawm hauv txoj kev xav, ib qho khoom siv lej raug teeb tsa, qhov tag nrho ntawm qhov uas yog hu ua ib daim teb. Cov lus hais txog cov ntsiab lus uas tau teev tseg tuaj yeem yog qhov tsis tseeb lossis tseeb. Yog li ntawd, cov nqe lus muaj npe nyob ntawm cov lus xaus.
Txoj kev xav ntawm kev txhais lus
Raws li txoj cai, daim teb thiab cov khoom tseem suav nrog hauv kev ua lej, thiab nws, dhau los, tuaj yeem dhau los ua axiomatic. Kev txhais lus ua pov thawj cov nqe lus uas muaj kev sib raug zoo sib xws. Ib qho kev xaiv ntxiv yog ntau qhov tseeb uas qhov kev xav ua tsis sib haum.
Qhov tseeb, qhov xwm txheej tau ua tiav hauv qee kis. Raws li qhov tshwm sim, nws hloov tawm tias yog tias muaj ob lub ntsiab lus tsis tseeb lossis qhov tseeb hauv cov lus ntawm ib qho ntawm cov nqe lus, ces nws suav tias yog qhov tsis zoo lossis qhov zoo. Txoj kev no tau siv los ua pov thawj qhov sib xws ntawm Euclid's geometry. Siv txoj kev txhais lus, ib tus tuaj yeem daws cov lus nug ntawm kev ywj pheej ntawm cov tshuab ntawm axioms. Yog koj xav refute ib qho kev xav, ces nws yog txaus los ua pov thawj tias ib qho ntawm cov ntsiab lus tsis yog los ntawm lwm tus thiab yog yuam kev.
Txawm li cas los xij, nrog rau cov lus ua tiav, txoj kev kuj muaj qhov tsis muaj zog. Kev sib raug zoo thiab kev ywj pheej ntawm cov kab ke ntawm axioms raug daws raws li cov lus nug uas tau txais cov txiaj ntsig uas txheeb ze. Tsuas yog qhov tseem ceeb ntawm kev txhais lus yogKev tshawb pom ntawm lub luag haujlwm ntawm kev lej lej raws li cov qauv uas cov lus nug ntawm kev sib xws raug txo mus rau ntau qhov kev tshawb fawb.
Kev txhim kho niaj hnub ntawm axiomatic lej
Txoj kev axiomatic pib tsim hauv kev ua haujlwm ntawm Gilbert. Hauv nws lub tsev kawm ntawv, lub tswv yim ntawm kev xav thiab kev ua haujlwm tau qhia meej. Yog li ntawd, ib qho kev ua haujlwm dav dav tau tshwm sim, thiab cov khoom siv lej tau ua tiav. Tsis tas li ntawd, nws tau los daws cov teeb meem ntawm kev ncaj ncees. Yog li, cov txheej txheem raug tsim los ntawm cov chav kawm tiag tiag, uas muaj cov txheej txheem ntawm cov qauv thiab theorems.
Txhawm rau tsim cov qauv no, koj tsuas yog yuav tsum tau coj los ntawm kev yooj yim, vim tias lawv tsis muaj cov khoom siv semantic. Lawv tuaj yeem sau nrog cov cim, cim. Ntawd yog, qhov tseeb, lub kaw lus nws tus kheej yog tsim los ntawm txoj hauv kev uas txoj kev tshawb xav tuaj yeem siv tau txaus thiab tag nrho.
Vim li ntawd, lub hom phiaj ntawm kev ua lej tshwj xeeb lossis txoj haujlwm tau muab tso rau hauv qhov kev xav raws li cov ntsiab lus tseeb lossis kev txiav txim siab txiav tawm. Cov lus ntawm kev tshawb fawb txog zauv yog pauv mus rau ib qho kev cai, nyob rau hauv cov txheej txheem ib qho kev qhia thiab lub ntsiab lus yog txiav txim los ntawm tus qauv.
Formalization method
Nyob rau hauv lub xeev ntawm tej yam ntuj tso, xws li ib tug txoj kev yuav daws tau tej teeb meem ntiaj teb no raws li zoo sib xws, thiab tsim ib tug zoo essence ntawm kev ua lej theories raws li cov qauv muab los. Thiab qhov tseem ceeb tag nrho qhov no yuav daws tau los ntawm kev ua haujlwm raws li cov lus pov thawj. Lej txoj kev xav tau tas li nyuaj los ntawm kev ncaj ncees, thiabGilbert tau thov kom tshawb xyuas cov qauv no siv txoj hauv kev finite. Tab sis qhov program no ua tsis tiav. Gödel cov txiaj ntsig twb nyob rau xyoo pua nees nkaum ua rau cov lus xaus hauv qab no:
- natural sib xws tsis yooj yim sua vim qhov tseeb tias formalized lej lossis lwm yam kev tshawb fawb zoo sib xws los ntawm qhov system no yuav tsis tiav;
- cov qauv tsis tuaj yeem tshwm sim;
- kev lees paub tsis muaj pov thawj.
Cov kev txiav txim tseeb thiab tsim nyog finite tiav yog suav tias yog formalizable. Nrog rau qhov no hauv siab, txoj kev axiomatic muaj qee yam thiab meej ciam teb thiab muaj peev xwm nyob hauv qhov kev xav no.
Kev tshwm sim ntawm kev txhim kho ntawm axioms hauv kev ua lej ntawm cov lej
Txawm hais tias qee qhov kev txiav txim tau raug lees paub thiab tsis tsim kom raug, txoj hauv kev ntawm cov ntsiab lus tas li ua lub luag haujlwm tseem ceeb hauv kev tsim cov hauv paus ntawm kev ua lej. Tsis tas li ntawd, kev txhais lus thiab cov txheej txheem axiomatic hauv kev tshawb fawb tau nthuav tawm cov txiaj ntsig tseem ceeb ntawm kev sib xws, kev ywj pheej ntawm cov lus xaiv thiab kev xav hauv ntau txoj kev xav.
Nyob rau hauv qhov teeb meem ntawm kev sib xws, qhov tseem ceeb tshaj plaws yog siv tsis yog cov tswv yim tsim. Lawv kuj yuav tsum tau ntxiv nrog cov tswv yim, cov tswv yim thiab txhais tau tias ntawm kev ua tiav tiav. Nyob rau hauv cov ntaub ntawv no, ntau yam views, txoj kev, theories yog xam, uas yuav tsum coj mus rau hauv tus account lub ntsiab lus ntawm lub ntsiab lus thiab kev ncaj ncees.
Qhov sib xws ntawm cov txheej txheem kev cai qhia txog qhov zoo sib xws ntawm kev suav lej, uas yog raws li induction, suav, transfinite tooj. Hauv kev tshawb fawb, axiomatization yog qhov tseem ceeb tshaj plawsib lub cuab tam uas muaj irrefutable lub tswv yim thiab nqe lus uas yog coj los ua lub hauv paus.
Lub ntsiab lus ntawm thawj nqe lus thiab lawv lub luag haujlwm hauv kev xav
Kev ntsuas ntawm txoj kev axiomatic qhia tias qee cov qauv nyob hauv nws cov ntsiab lus. Qhov system no yog tsim los ntawm kev txheeb xyuas cov ntsiab lus hauv qab thiab cov ntsiab lus tseem ceeb uas tsis tau txhais. Tib yam tshwm sim nrog theorems uas suav tias yog thawj thiab lees txais yam tsis muaj pov thawj. Nyob rau hauv natural sciences, cov nqe lus no tau txais kev txhawb los ntawm cov cai, kev xav, kev cai.
Tom qab ntawd cov txheej txheem ntawm kev kho cov txheej txheem tsim muaj tshwm sim. Raws li txoj cai, nws tau qhia tam sim ntawd tias lwm qhov raug txiav tawm ntawm ib txoj haujlwm, thiab hauv cov txheej txheem tus so tawm, uas, hauv qhov tseem ceeb, coincide nrog txoj kev txiav tawm.
Txoj kev ntawm cov txheej txheem niaj hnub no
Lub axiomatic system suav nrog:
- logical xaus;
- terms and definitions;
- ib nrab nqe lus tsis raug thiab cov ntsiab lus.
Nyob rau hauv kev tshawb fawb niaj hnub no, txoj kev no tau poob nws qhov kev xav. Euclidean geometric axiomatization yog raws li kev xav tau thiab qhov tseeb. Thiab txoj kev xav tau txhais nyob rau hauv ib tug tshwj xeeb, natural way. Niaj hnub no, ib qho axiom yog ib qho kev qhia uas pom tseeb hauv nws tus kheej, thiab kev pom zoo, thiab ib qho kev pom zoo, tuaj yeem ua raws li lub tswv yim pib uas tsis tas yuav muaj kev ncaj ncees. Yog li ntawd, tus nqi qub yuav nyob deb ntawm kev piav qhia. Txoj kev no yuav tsum muaj kev muaj tswv yim, kev paub txog kev sib raug zoo thiab kev xav hauv qab.
Cov ntsiab lus tseem ceeb ntawm kev txiav txim siab
Txoj kev txiav txim siab axiomatic yog kev paub txog kev tshawb fawb, ua raws li qee lub tswv yim, uas yog ua raws li cov kev xav tau tiag tiag, muab cov lus hais txog qhov tseeb. Qhov kev txiav txim siab zoo li no yog tsim los ntawm cov txheej txheem kev xav tau, los ntawm kev sib tw nyuaj. Axioms yog thawj zaug irrefutable nqe lus uas tsis xav tau pov thawj.
Thaum txiav tawm, qee qhov yuav tsum tau siv rau cov ntsiab lus pib: kev sib xws, kev ua tiav, kev ywj pheej. Raws li kev xyaum qhia, thawj qhov xwm txheej yog raws li kev paub txog kev paub zoo. Qhov ntawd yog, txoj kev xav yuav tsum tsis txhob muaj lub ntsiab lus ntawm qhov tseeb thiab qhov tseeb, vim nws yuav tsis muaj lub ntsiab lus thiab muaj nuj nqis ntxiv lawm.
Yog tias tus mob no tsis tau raws li qhov no, nws suav tias yog qhov tsis sib xws thiab txhua lub ntsiab lus poob rau hauv nws, vim hais tias lub semantic load ntawm qhov tseeb thiab qhov tsis tseeb yog ploj. Deductively, txoj kev axiomatic yog ib txoj hauv kev tsim thiab ua kom paub txog kev paub txog science.
Kev siv lub tswv yim ntawm txoj kev
Txoj kev axiomatic ntawm kev tsim kev paub txog kev tshawb fawb muaj kev siv tswv yim. Qhov tseeb, txoj kev no cuam tshuam thiab muaj qhov tseem ceeb thoob ntiaj teb rau kev ua lej, txawm hais tias qhov kev paub no tau mus txog qhov kawg. Piv txwv ntawm txoj kev axiomatic yog raws li nram no:
- affine dav hlau muaj peb nqe lus thiab txhais;
- kev sib npaug txoj kev xav muaj peb qhov pov thawj;
- kev sib raug zoo sib raug zoo tau muab faib ua qhov kev txhais lus, cov ntsiab lus thiab kev tawm dag zog ntxiv.
Yog koj xav tsim lub ntsiab lus tseem ceeb, koj yuav tsum paub qhov xwm txheej thiab cov ntsiab lus. Hauv cov ntsiab lus, txoj kev axiomatic tsim lub hauv paus ntawm ntau yam kev tshawb fawb.
