Ntau qhov kev sib raug zoo ntawm cov piv txwv ntawm cov teeb tsa yog nrog los ntawm ntau lub tswv yim, pib nrog lawv cov ntsiab lus thiab xaus nrog kev tshuaj ntsuam xyuas ntawm paradoxes. Qhov ntau yam ntawm lub tswv yim sib tham hauv kab lus ntawm lub teeb yog infinite. Txawm hais tias, thaum tham txog ob hom, qhov no txhais tau tias kev sib raug zoo binary ntawm ntau qhov tseem ceeb. Thiab ntawm cov khoom lossis nqe lus.
Raws li txoj cai, binary kev sib raug zoo yog qhia los ntawm lub cim R, uas yog, yog tias xRx rau ib qho nqi x los ntawm daim teb R, xws li cov cuab yeej hu ua reflexive, uas x thiab x tau txais cov khoom ntawm kev xav, thiab R yog ib qho kev qhia txog seb puas los yog lwm hom kev sib raug zoo ntawm tib neeg. Nyob rau tib lub sijhawm, yog tias koj nthuav qhia xRy® lossis yRx, qhov no qhia txog lub xeev ntawm kev sib raug zoo, qhov twg ® yog ib qho kev cuam tshuam zoo ib yam li lub koomhaum "yog … ces …". inscription (xRy Ùy Rz) ®xRz qhia txog kev sib raug zoo, thiab kos npe Ù yog kev sib txuas.
Ib qho kev sib raug zoo binary uas yog ob qho tib si reflexive, symmetrical thiab transitive yog hu ua kev sib npaug sib npaug. Kev sib raug zoo f yog kev ua haujlwm, thiab qhov sib npaug y=z ua raws los ntawm Î f thiab Î f. Ib qho yooj yim binary muaj nuj nqi tuaj yeem siv tau yooj yimrau ob qhov kev sib cav yooj yim hauv ib qho kev txiav txim, thiab tsuas yog nyob rau hauv cov ntaub ntawv no nws muab nws lub ntsiab lus qhia rau ob kab lus no coj nyob rau hauv ib rooj plaub.
Yuav tsum hais tias f maps x to y,
if f yog qhov ua haujlwm nrog ntau x thiab ntau y. Txawm li cas los xij, thaum f extrapolates x rau y, thiab y Í z, qhov no ua rau f qhia x hauv z. Ib qho piv txwv yooj yim: yog tias f(x)=2x yog qhov tseeb rau ib tus lej x, ces f yog hais rau daim duab kos npe ntawm txhua tus lej paub rau cov txheej ntawm tib tus lej, tab sis lub sijhawm no txawm tus lej. Raws li tau hais los saum toj no, binary kev sib raug zoo uas yog ob qho tib si reflexive, symmetric, thiab transitive yog qhov sib npaug kev sib raug zoo.
Raws li cov saum toj no, kev sib npaug ntawm kev sib raug zoo ntawm binary kev sib raug zoo yog txiav txim los ntawm cov khoom:
- reflexivity - ratio (M ~ N);
- symmetries - yog qhov sib npaug yog M ~ N, ces yuav muaj N ~ M;
- kev hloov pauv - yog tias ob qhov sib npaug M ~ N thiab N ~ P, ces yog M ~ P.
Cia peb xav txog cov khoom tshaj tawm ntawm kev sib raug zoo binary hauv kev nthuav dav ntxiv. Reflexivity yog ib qho ntawm cov yam ntxwv ntawm qee qhov kev sib txuas, qhov twg txhua lub hauv paus ntawm cov txheej txheem hauv kev kawm yog nyob rau hauv ib qho kev sib luag rau nws tus kheej. Piv txwv li, ntawm tus lej a=c thiab a³ c muaj kev sib txuas zoo, txij li ib txwm a=a, c=c, a³ a, c³ c. Nyob rau tib lub sijhawm, kev sib raug zoo ntawm qhov tsis sib xws a>c yog antireflexive vim yog qhov tsis muaj peev xwm ntawm qhov tsis sib xws a>a. Lub axiom ntawm cov cuab yeej no yog encoded los ntawm cov paib: aRc®aRa Ù cRc, ntawm no lub cim ® txhais tau tias lo lus "suav nrog" (lossis "cuam tshuam"), thiab kos npe Ù - yog lub koomhaum "thiab" (lossis sib txuas). Nws ua raws los ntawm cov nqe lus no tias yog qhov kev txiav txim siab aRc muaj tseeb, cov kab lus aRa thiab cRc kuj muaj tseeb.
Symmetry entails lub xub ntiag ntawm kev sib raug zoo txawm hais tias cov khoom puas siab puas ntsws interchanged, uas yog, nrog ib tug symmetrical kev sib raug zoo, lub rearrangement ntawm cov khoom tsis ua rau ib tug transformation ntawm hom "binary kev sib raug zoo". Piv txwv li, kev sib raug zoo ntawm kev sib npaug a=c yog symmetrical vim qhov sib npaug ntawm kev sib raug zoo c=a; cov lus hais a¹c kuj zoo ib yam, vim nws sib raug rau kev sib txuas nrog¹a.
A transitive set yog ib yam khoom uas ua tau raws li qhov yuav tsum tau muaj hauv qab no: y н x, z н y ® z н x, qhov twg ® yog ib qho kos npe uas hloov cov lus: "yog …, ces …". Cov mis yog lo lus nyeem raws li nram no: "Yog y nyob ntawm x, z belongs rau y, ces z kuj nyob ntawm x".
