Nyob rau hauv lej, modular arithmetic yog ib qho kev suav rau cov lej, nrog kev pab los ntawm lawv "tig" thaum lawv ncav cuag ib qho nqi - lub module (los yog ntau tshaj ntawm lawv). Txoj hauv kev niaj hnub rau hom kev tshawb fawb no tau tsim los ntawm Carl Friedrich Gauss hauv nws Disquisitiones Arithmeticae luam tawm xyoo 1801. Cov kws tshawb fawb hauv computer nyiam siv cov qauv no, vim nws nthuav dav heev thiab qhib qee qhov muaj peev xwm tshiab hauv kev ua haujlwm nrog cov lej.
Essence
Vim tias cov xuab moos pib dua tom qab nws mus txog 12, nws yog lej lej 12. Raws li cov ntsiab lus hauv qab no, 12 tsis yog tsuas yog rau 12 xwb, tab sis kuj mus rau 0, yog li ib tus tuaj yeem sau lub sijhawm hu ua " 12:00 Nws. "0:00". Tom qab tag nrho, 12 yog tib yam li 0 modulo 12.
Modular arithmetic tuaj yeem ua lej los ntawm kev qhia txog kev sib raug zoo rau cov lej uas sib xws nrog kev ua haujlwm ntawm cov lejtus lej: ntxiv, rho tawm thiab sib npaug. Rau tus lej zoo n, ob tus lej a thiab b tau hais tias yog qhov sib txuam modulo n yog tias lawv qhov sib txawv a - b yog ntau tus n (uas yog, yog tias muaj cov lej k xws li a - b=kn).
Kev txiav txim siab
Nyob rau hauv theoretical lej, modular arithmetic yog ib lub hauv paus ntawm tus lej txoj kev xav, cuam tshuam yuav luag txhua yam ntawm nws txoj kev kawm, thiab kuj tau siv dav hauv txoj kev xav ntawm pawg, rings, pob caus thiab abstract algebra. Hauv kev siv lej, nws yog siv hauv computer algebra, cryptography, computer science, chemistry, visual arts thiab music.
Kev xyaum
Ib daim ntawv thov siv tau zoo yog kev suav cov checksums hauv cov lej cim. Piv txwv li, qee cov qauv hauv phau ntawv siv lej lej modulo 11 (yog tias tso tawm ua ntej Lub Ib Hlis 1, 2007) lossis modulo 10 (yog tias tso tawm ua ntej lossis tom qab Lub Ib Hlis 1, 2007). Ib yam li ntawd, piv txwv li, hauv International Bank Account Numbers (IBANs). Qhov no siv modulo 97 tus lej lej txhawm rau txheeb xyuas cov neeg siv cov tswv yim yuam kev hauv cov lej nyiaj hauv tuam txhab nyiaj.
Hauv chemistry, tus lej kawg ntawm CAS tus lej sau npe (tus lej cim tshwj xeeb rau txhua cov tshuaj sib xyaw) yog tus lej kos. Nws yog xam los ntawm kev noj tus lej kawg ntawm thawj ob feem ntawm CAS tus lej sau npe muab faib ua 1, tus lej dhau los 2 zaug, tus lej dhau los 3 zaug, thiab lwm yam, ntxiv tag nrho thiab suav cov lej modulo 10.
cryptoography yog dab tsi? Qhov tseeb yog qhov ntawdnws muaj kev sib raug zoo heev nrog lub ntsiab lus hauv kev sib tham. Nyob rau hauv cryptography, cov kev cai ntawm modular arithmetic ncaj qha underlie public-key systems xws li RSA thiab Diffie-Hellman. Ntawm no nws muab cov finite teb uas underlie elliptic nkhaus. Siv nyob rau hauv ntau yam symmetric tseem ceeb algorithms, suav nrog Advanced Encryption Standard (AES), International Data Encryption Algorithm, thiab RC4.
Daim ntawv thov
Txoj kev no yog siv rau thaj chaw uas koj xav tau nyeem cov lej. Nws tau tsim los ntawm cov kws ua lej, thiab txhua tus siv nws, tshwj xeeb tshaj yog cov kws tshawb fawb hauv computer. Qhov no yog cov ntaub ntawv zoo hauv cov phau ntawv zoo li Modular Arithmetic rau Dummies. Txawm li cas los xij, ntau tus kws tshaj lij pom zoo kom tsis txhob muab cov ntaub ntawv zoo li no.
Hauv computer science, modular arithmetic feem ntau yog siv nyob rau hauv bitwise thiab lwm yam kev khiav dej num uas muaj qhov dav-dav voj voog cov ntaub ntawv qauv. Cov kws tshuaj ntsuam nyiam siv nws. Kev ua haujlwm modulo yog siv ntau hom lus programming thiab tshuab xam zauv. Hauv qhov no, nws yog ib qho piv txwv ntawm xws li daim ntawv thov. Kev sib piv ntawm Modulo, kev faib nrog ib qho seem, thiab lwm yam kev ua kom yuam kev kuj tau siv hauv kev ua haujlwm.
Nyob hauv suab paj nruag, lej lej 12 yog siv thaum xav txog qhov kev sib npaug ntawm kaum ob lub suab, uas cov octave thiab enharmonic sib npaug. Hauv lwm lo lus, cov yuam sij hauv qhov piv 1-2 lossis 2-1 yog sib npaug. Hauv suab paj nruag thiab lwm yam tib neeg, lej lej ua lub luag haujlwm tseem ceeb, tab sis hauv phau ntawvCov kws tshawb fawb hauv computer feem ntau tsis sau txog nws.
Txoj kev txo cuaj
Txoj kev hloov dua siab tshiab 9s muaj kev kuaj xyuas ceev ntawm phau ntawv lej lej lej. Nws yog raws li cov lej lej modulo 9 thiab tshwj xeeb ntawm cov cuab yeej txiav txim siab 10 10 1.
muaj lwm yam piv txwv. Arithmetic modulo 7 yog siv nyob rau hauv algorithms uas txiav txim siab hnub ntawm lub lim tiam rau ib hnub twg. Tshwj xeeb, Zeller's congruence thiab Doomsday algorithm ua hnyav siv cov lej lej 7.
Lwm daim ntawv thov
Nws twb tau hais txog modular lej lej hauv cryptography. Hauv cheeb tsam no, nws tsuas yog irreplaceable. Feem ntau, modular arithmetic kuj pom cov ntawv thov hauv kev qhuab qhia xws li kev cai lij choj, kev lag luam (xws li kev ua si txoj kev xav), thiab lwm qhov chaw ntawm social sciences. Hauv lwm lo lus, qhov kev faib ua feem thiab kev faib cov peev txheej ua lub luag haujlwm tseem ceeb.
Vim tias kev lej lej muaj ntau yam kev siv, nws tseem ceeb heev kom paub tias nws nyuaj npaum li cas los daws qhov kev sib piv. Ib txoj kab nruab nrab ntawm kev sib haum xeeb tuaj yeem daws tau hauv lub sijhawm polynomial hauv daim ntawv ntawm Gaussian tshem tawm. Qhov no tau piav qhia ntau ntxiv los ntawm linear congruence theorem. Algorithms xws li kev txo qis Montgomery kuj tseem muaj los tso cai rau kev ua lej lej yooj yim kom ua tau zoo. Piv txwv li, kev sib npaug thiab kev nthuav qhia modulo n, rau cov lej loj. Qhov no yog ib qho tseem ceeb heev kom paub kom nkag siab txog dab tsicryptoography. Tom qab tag nrho, nws tsuas yog ua haujlwm nrog cov haujlwm zoo sib xws.
Kev sib haum xeeb
Qee cov haujlwm, xws li nrhiav cov logarithm tsis sib xws lossis kev sib koom ua ke ntawm plaub, zoo li nyuaj li cov lej sib npaug thiab yog li yog qhov pib ntawm cryptographic algorithms thiab encryption. Cov teeb meem no tej zaum yuav yog NP-intermediate.
Examples
Cov hauv qab no yog peb txoj haujlwm C nrawm nrawm - ob qho rau kev ua haujlwm sib npaug thiab ib qho rau kev nce mus rau cov lej rau cov lej tsis tau kos npe mus txog 63 cov khoom, tsis muaj kev hla dhau.
Tsis ntev tom qab qhov kev tshawb pom ntawm cov lej (1, 2, 3, 4, 5…) nws pom meej tias lawv tau muab faib ua ob pawg:
- Even: divisible by 2 (0, 2, 4, 6..).
- Odd: tsis faib los ntawm 2 (1, 3, 5, 7…).
Vim li cas qhov kev sib txawv no tseem ceeb? Qhov no yog qhov pib ntawm abstraction. Peb pom cov khoom ntawm tus lej (piv txwv li, txawm lossis khib) thiab tsis yog tus lej xwb ("37").
Qhov no tso cai rau peb tshawb nrhiav lej ntawm qib tob dua thiab nrhiav kev sib raug zoo ntawm cov lej ntau dua li qhov tshwj xeeb.
Txoj kev ntawm tus lej
Ua "peb" tsuas yog lwm yam khoom ntawm tus lej. Tej zaum tsis muaj txiaj ntsig tam sim ntawd txawm tias / khib, tab sis nws nyob ntawd. Peb tuaj yeem tsim cov cai xws li "thirteen x three vein=kaum peb" thiab lwm yam. Tab sis nws yog vwm. Peb tsis tuaj yeem ua cov lus tshiab txhua lub sijhawm.
Kev ua haujlwm modulo (cov ntawv luv mod lossis "%" hauv ntau hom lus programming) yog qhov seem thaumkev faib. Piv txwv li, "5 mod 3=2", uas txhais tau tias 2 yog qhov seem thaum koj faib 5 los ntawm 3.
Thaum hloov cov lus niaj hnub rau lej, "tus lej txawm" yog qhov "0 mod 2", txhais tau tias cov seem yog 0 thaum muab faib los ntawm 2. Tus lej khib yog "1 mod 2" (muaj qhov seem ntawm 1).
Txiv thiab tus lej lej
x txawm x khib x khib? Zoo, nws yog 0 x 0 x 1 x 1=0. Qhov tseeb, koj tuaj yeem pom yog tus lej sib npaug yog qhov twg, qhov twg tag nrho cov txiaj ntsig yuav yog xoom.
Qhov ua kom yuam kev nrog kev lej lej yog qhov peb twb tau siv los khaws lub sijhawm - qee zaum hu ua "clock arithmetic".
Piv txwv li: 7:00 teev sawv ntxov (am / pm - tsis muaj teeb meem). Lub teev tes yuav nyob qhov twg hauv 7 teev?
Modulations
(7 + 7) mod 12=(14) mod 12=2 mod 12 [2 yog qhov seem thaum 14 muab faib los ntawm 12. Equation 14 mod 12=2 mod 12 txhais tau tias 14 teev thiab 2 teev saib tib yam li 12 teev. Lawv yog congruent, qhia los ntawm ib tug triple vaj huam sib luag kos npe: 14 ≡ 2 mod 12.
Ib qho piv txwv: nws yog 8:00 teev sawv ntxov. Lub tes loj yuav nyob qhov twg hauv 25 teev?
Hloov pauv 25 rau 8, koj tuaj yeem nkag siab tias 25 teev tsuas yog "1 hnub + 1 teev". Cov lus teb yog yooj yim. Yog li, lub moos yuav xaus 1 teev ua ntej - thaum 9:00.
(8 + 25) mod 12 ≡ (8) mod 12 + (25) mod 12 ≡ (8) mod 12 + (1) mod 12 ≡ 9 mod 12. Koj intuitively hloov dua siab tshiab 25 rau 1 thiab ntxiv qhov no rau 8.
Siv lub moos ua qhov piv txwv, peb tuaj yeem paub yog tias tuscov kev cai ntawm modular arithmetic, thiab lawv ua haujlwm.
Ntxiv / rho tawm
Cia peb hais ob zaug zoo ib yam ntawm peb lub moos ("2:00" thiab "14:00"). Yog tias peb ntxiv tib x teev rau ob qho tib si, yuav ua li cas? Zoo, lawv hloov rau tib tus nqi ntawm lub moos! 2:00 + 5 teev ≡ 14:00 + 5 teev - ob leeg yuav qhia 7:00.
Vim li cas? Peb tuaj yeem yooj yim ntxiv 5 rau 2 qhov seem uas ob leeg muaj thiab lawv nce mus rau tib txoj kev. Rau txhua tus lej sib xyaw (2 thiab 14), qhov sib ntxiv thiab qhov rho tawm tau zoo ib yam.
Nws nyuaj dua kom paub yog tias qhov sib npaug nyob li qub. Yog tias 14 ≡ 2 (mod 12), peb puas tuaj yeem muab ob tus lej thiab tau txais qhov txiaj ntsig zoo ib yam? Wb pom dab tsi tshwm sim thaum peb muab 3.
Zoo, 2:003 × 6:00. Tab sis yog 14:003?
Nco ntsoov, 14=12 + 2. Yog li peb hais tau
143=(12 + 2)3=(123) + (23)
thawj ntu (123) tuaj yeem tsis quav ntsej! Cov dej ntws ntawm 12 teev uas nqa 14 tsuas yog rov ua nws tus kheej ob peb zaug. Tab sis leej twg txhawj xeeb? Peb tsis quav ntsej qhov dhau lawm.
Multiplication
Thaum muab faib, tsuas yog qhov tseem ceeb, uas yog, tib 2 teev rau 14:00 thiab 2:00. Intuitively, qhov no yog li cas kuv pom kev sib faib tsis hloov kev sib raug zoo nrog modular lej (koj tuaj yeem muab faib ua ob sab ntawm kev sib raug zoo thiab tau txais cov txiaj ntsig zoo ib yam).
Peb ua nws intuitively, tab sis nws yog qhov zoo los muab nws lub npe. Koj muaj lub davhlau tuaj txog thaum 3 teev tsaus ntuj. Nwsncua los ntawm 14 teev. Nws yuav tsaws thaum twg?
14 ≡ 2 mod 12. Yog li ntawd, xav tias yog 2 teev, ces lub dav hlau yuav tsaws thaum 5 teev sawv ntxov. Kev daws yog yooj yim: 3 + 2=5 teev sawv ntxov. Qhov no yog qhov nyuaj me ntsis dua li kev ua haujlwm yooj yim modulo, tab sis lub hauv paus ntsiab lus yog tib yam.
